新人教版初中数学八年级上册第十一章三角形全章教案.docx

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新人教版初中数学八年级上册第十一章三角形全章教案

第十一章　三角形

1.理解三角形及三角形的有关线段（边、高、中线、角平分线）的概念,证明三角形两边的和大于第三边,了解三角形的重心的概念,了解三角形的稳定性.

2.理解三角形的内角、外角的概念,探索并证明三角形内角和定理,探索并掌握直角三角形的两个锐角互余,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形,掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

3.了解多边形的相关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形）,探索并掌握多边形的内角和与外角和公式.

1.在学习三角形的有关线段时,要掌握好三角形的高、中线、角平分线的定义,最主要的是它们的性质以及利用它们解决实际问题.

2.三角形的内角和是学生学过的知识,可以借助复习旧知识,达到学生学习新知识的目的,不仅起到复习的作用,也可以灵活地掌握好新知识.

3.掌握多边形内角和的公式,并能利用它解决有关多边形的问题.

4.指导学生掌握好多边形内角和与外角和之间的联系,并能利用它们解决一些数学问题.

1.三角形的这部分知识在小学阶段已经学习,通过复习,可提高学生的学习兴趣,也可增加学生学习的自信心.

2.在教学中,通过同学之间的互相提问,小组的交流、研讨,提高同学们的合作精神.

3.在学习多边形的内外角和中,通过一些实物的图片,感知到数学来源于实际,也应用于实际.

三角形是一种基本的几何图形,是构建多边形知识体系的基础,也是学习各种特殊三角形,如等腰三角形、直角三角形与平行四边形等图形知识的基础,在解决实际问题中有着广泛的应用.本章在线段与角、相交线与平行线的基础上介绍三角形的概念与性质,进而研究多边形的概念与性质.在本章中,学生将进一步学习通过推理得出数学结论的方法,提高推理能力.

本章首先介绍三角形的有关概念和性质,分为三节:

11.1节研究与三角形有关的线段.首先结合引言中的实际例子给出三角形的概念,进而研究三角形的分类.对于三角形的边,证明了三角形两边的和大于第三边,然后给出三角形的高、中线与角平分线的概念,同时结合三角形的中线介绍了三角形的重心概念,最后结合实际例子介绍三角形的稳定性.

11.2节研究与三角形有关的角.对于三角形的内角,证明了三角形内角和定理;然后由这个定理推出直角三角形的性质“直角三角形的两个锐角互余”;最后给出三角形的外角的概念,并由三角形内角和定理推出“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”.

11.3节接着介绍多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式.三角形是多边形的一种,本章借助三角形介绍多边形的有关概念,如多边形的边、内角、外角、内角和都由三角形的有关概念推广而来.

【重点】

1.掌握好三角形的高、中线、角平分线的定义,并能画出这三种线段.

2.知道三角形具有稳定性,并能利用这种性质解释生活中的一些现象.

3.知道三角形及多边形的内角和计算方法与外角和度数,并能利用它们求解出有关三角形度数的问题.

【难点】

1.对于钝角三角形的三条高线,能准确画出.

2.能利用多边形的内角和公式或外角和,求解出有关多边形的问题,如求边数、角度等问题.

3.能解决有关三角形及多边形的综合性问题.

在认识三角形的过程中,要注意让学生理解三角形的基本元素和各类三角形的特征,要鼓励学生自主探索,大胆猜想,让学生通过剪一剪、拼一拼、做一做等活动探索发现有关结论.与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到理解的程度,进一步要求可通过后续学习达到.如对于三角形的角平分线,在本章中只要知道它的定义,能够从定义得出角相等就可以了.学生画角平分线时发现三条角平分线交于一点,可直接肯定这个结论,同样,三角形的三条中线交于一点的结论也可直接点明.

要让学生在操作的过程中探索三角形的内角和与外角和.对于三角形的稳定性,要让学生通过实践去感受;待以后学过“三边分别相等的两个三角形全等”,可进一步明白其中的道理.对于多边形的内角和与外角和,要让学生在观察和类比中总结结论,培养学生的数学推理能力,做到合情推理和演绎推理的有机结合.

镶嵌作为数学活动的内容安排在本章的最后,学习这个内容要用到多边形的内角和公式,通过这个数学活动,学生可以经历从实际问题抽象出数学问题,建立数学模型,综合应用已有知识解决问题的过程,从而加深对相关知识的理解,提高思维能力.

11.1　与三角形有关的线段

11.1.1　三角形的边（1课时）

11.1.2　三角形的高、中线与角平分线（1课时）

11.1.3　三角形的稳定性（1课时）

3课时

11.2　与三角形有关的角

11.2.1　三角形的内角（2课时）

11.2.2　三角形的外角（1课时）

3课时

11.3　多边形及其内角和

11.3.1　多边形（1课时）

11.3.2　多边形的内角和（1课时）

2课时

单元复习

1课时

11.1　与三角形有关的线段

1.能正确地利用三角形的三边关系,判断所给的三条线段能否组成三角形.

2.掌握好三角形的高、中线、角平分线的定义,能画出这三条线段,并能灵活准确地应用这三条线段的性质解决问题.

3.掌握好三角形的稳定性在实际生活中的运用.

1.经历摆三角形,画三角形、测量三角形的三边长度的过程,培养学生自主、合作、探索的学习方式,并锻炼其发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

2.在学习三角形的稳定性时,可结合实际情况,让学生感受到数学与生活实际的联系.

3.三角形的重心在教学中可结合实际物体,让

学生通过观察与实践找到物体重心.

联系学生的生活环境,创设情景,使学生通过观察、操作、交流、归纳,获得必需的数学知识,让学生体会用数学思想方法解决生活中的实际问题的意义,激发学生的学习兴趣.

【重点】

1.三角形三边关系和高、中线、角平分线的运用.

2.三角形稳定性的应用.

【难点】

1.在具体的图形中不重复且不遗漏地识别所有三角形.

2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.

3.钝角三角形高的画法.

11.1.1　三角形的边

1.掌握三角形的定义,并能正确地表示出三角形,以及三角形的边、角、顶点等表示方法.

2.能正确地进行三角形的分类.

3.掌握三角形的三边关系,并能利用此关系判定已知三条线段能否构成三角形.

1.通过复习以前的知识,让学生更加容易接受新知识,并能提高学习的积极性,增加学习数学的信心.

2.在讲解三角形的分类时,可结合图形,让同学们更直观地接受新知识.

3.在利用三角形的三边关系解答问题时,要注意让学生有分类讨论的思想,这也是数学思想中的一个很重要的思想.

1.通过三角形三边关系的教学,培养学生的探索精神及分类讨论的思想.

2.通过本课的教学,能够让学生们知道数学知

识体系的连贯性及继承性.

3.在教学的过程中,培养学生勇于探索,敢于质疑的精神.

【重点】　掌握三角形的分类及三角形的三边关系.

【难点】　利用三角形的三边关系解答综合性问题.

【教师准备】　三根有刻度的小棒.

【学生准备】　有刻度的直尺.

导入一:

同学们,你们看这个图案美丽吗?

这个图案主要是由什么图形构成的?

（学生议论后）我们本节课要继续学习三角形的相关知识.　　　　

导入二:

（老师拿出三根不能拼成三角形的小棒）同学们请看,老师手中的三根小棒能首尾相搭组成一个三角形吗?

[设计意图]　学生此时对三角形三边关系的认识还是粗浅的,容易误认为任意长度的三根小棒都能按照要求拼出三角形.同时老师强调首尾相搭,也暗示了对三角形定义的启发,这就为学生认识和探索三角形三边关系做了铺垫.

　　[过渡语]　在小学的时候,我们仅仅是从形状和角的方面去认识了三角形.如果有人问,什么是三角形?

三角形又怎么表示呢?

你能做出回答吗?

希望大家在接下来的学习中能够解决这些问题.

一、三角形的相关概念

1.三角形的概念.

【学生活动一】　

（1）在一张纸上任意画三条线段;

（2）在同一条直线上任意画三条线段.

【问题思考】　任意画的三条线段都能组成三角形吗?

怎样才能组成一个三角形?

[设计意图]　帮助学生初步领会构成三角形的基本条件之一,即不在同一条直线上的三条线段才能组成三角形.

【学生活动二】　判断下列由三条线段组成的图形是不是三角形.

[设计意图]　三角形概念的获得,要让学生经历其描述的过程,借此培养学生的语言表述能力,加深学生对三角形概念的理解.

三角形定义:

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

[知识拓展]　三角形的特征:

三条线段;不在同一条直线上;首尾顺次相接.这三点表明三角形是一个封闭的图形.

2.三角形的表示方法.

“三角形”可用符号“Δ”表示,如图所示,顶点（相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点）是A,B,C的三角形,记作ΔABC,读作“三角形ABC”.∠A,∠B,∠C是ΔABC的三个角（相邻两边组成的、位于三角形内部的角叫做三角形的内角,简称三角形的角）;ΔABC的三边（组成三角形的线段叫做三角形的边）分别是AB,BC,CA,有时也可用小写字母来表示,顶点A,B,C所对的边分别可用a,b,c来表示,即AB可用c表示,BC可用a表示,CA可用b表示.

二、三角形的分类

　　[过渡语]　三角形的形状多种多样,对多种多样的三角形,怎样进行分类呢?

思路一

【生】　锐角三角形,钝角三角形,直角三角形.

【师】　刚才大家的分类是按照三角形角的特点划分的,大家还有什么别的分类方法吗?

【生】　可以按照三角形的边长进行分类.

【师】　是根据不同的三角形边的长度进行分类,还是同一个三角形的边长特点进行分类?

【生】　在同一个三角形之内.

【师】　按照边长进行分类,你想的分类标准是什么呢?

【生】　根据是否有相等的边.

【师】　按照这种分类方法,可以把三角形分为哪两大类?

【生】　三边都不相等的三角形和等腰三角形.

【师】　在等腰三角形中,什么样的边是腰呢?

等腰三角形的边和角有什么特殊的称呼吗?

【生】　在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.

【师】　按照有没有相等的边对三角形进行分类,等边三角形应该划到哪一类当中?

【生】　等腰三角形.

【师】　根据刚才的讨论,大家整理下三角形的分类吧!

[设计意图]　三角形的分类,在小学阶段已经学习过,只不过是比较浅显的内容,所以这里在复习以前知识的基础上进一步深入,特别要强调的是等边三角形是特殊的等腰三角形.

思路二

　　[过渡语]　我们知道,按照三个内角的大小,可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,如果要按照边的大小关系对三角形进行分类,又应该如何分呢?

小组之间进行交流,并说说你们的想法.

【师生活动】　通过讨论,学生类比按角的分类方法按边对三角形进行分类,接着引出等腰三角形及等边三角形的概念,引导学生了解等腰三角形与等边三角形的联系,强化学生对三角形按边分类的理解.

在等腰三角形中,相等的两边都叫腰,另一边叫底,两腰的夹角叫顶角,腰与底边的夹角叫底角.

三角形按边分类:

三

[设计意图]　通过这一活动的设计,提高学生分类讨论和归纳概括的能力,加深学生对三角形按边分类的理解.

三、三角形三边之间的关系

　　[过渡语]　我们在前面把三角形按照边进行分类,其实也是在研究三角形的三边关系.现在我们换个角度,研究三角形两条边的和与第三条边的关系.

探究一:

三角形两边之和与第三边之间的关系.

【情境引入】　如右图三角形中,假设你要从点B出发沿着三角形的边到点C,有几条路线可选择?

各条路线的长一样吗?

【师生活动】　引导学生讨论分析,得到两条路线:

（1）B直接到C,即BC.

（2）先由B到A再到C,即BA+AC.

显然,路线

（1）中的BC要短一些,即BC

一定要学生给出依据:

两点之间线段最短）

最后,师生共同得到:

BC

[设计意图]　分成三种情况验证三角形任意两条边和与第三边之间都存在着这种关系,加深学生对三边关系具有普遍性的认识.

探究二:

三角形两边的差和第三边之间的关系.

　　[过渡语]　三角形的两边的差和第三边又是什么关系呢?

【质疑1】　用测量的方法验证三角形两边之差和第三边的长度关系可以吗?

这个办法有说服力吗?

【简评】　可以,但不能做到一一验证,还有不足以让人信服的地方.

【质疑2】　是不是三角形任意两边的差都小于第三边?

【简评】　在ΔABC中,BC

BC>AB-AC,BC>AC-AB,这就是说,三角形两边的差小于第三边.

[设计意图]　引导学生用推导的方法验证相关的结论,事实上探究二是对探究一的进一步深化,培养学生严密思维的习惯.

　　[过渡语]　学习了三角形三边之间的关系问题,我们就可以利用它解决一些生活实际问题.

　（教材例题）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.

（1）如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少?

（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗?

为什么?

〔解析〕　

（1）设底边长为xcm,则腰长为2xcm,根据周长列出一元一次方程,解方程即可求得各边的长;

（2）题中没有指明4cm是底边长还是腰长,故应该分情况进行分析,同时注意利用三角形三边关系进行检验.

解:

（1）设底边长为xcm,

则腰长为2xcm.

2x+2x+x=18,解得x=3.6.

所以三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm.

（2）①当4cm为底边长时,腰长为7cm,任意两边之和都大于第三边,故可以构成三角形.

②当4cm为腰长时,底边长为18-4-4=10（cm）,

∵4+4<10,∴不能构成三角形,故舍去.

∴能构成底边长为4cm的等腰三角形,不能构成腰长为4cm的等腰三角形.

[知识拓展]　三角形两边之和是指任意两边之和.理论依据:

两点之间线段最短.

推论:

由a+b>c,根据不等式的基本性质,得c-b

三角形三边关系的作用:

（1）已知三角形两边,求第三边的取值范围.

（2）判断三条线段能否组成三角形.（3）利用三角形三边关系解决含绝对值符号的化简问题.

　已知三角形一边长为5,另一边长为3,求第三边长c的取值范围.

解:

因为5-3

所以第三边长c的取值范围是2

[易错提示]　两条线段的和不大于第三条线段,就不能组成三角形.例如,三条线段a=2cm,b=3cm,c=4cm能组成三角形,因为2+3>4,而三条线段d=2cm,e=3cm,f=5cm就不能组成三角形,因为2+3=5.

[解题策略]　一般地,判断三条线段能否组成一个三角形时,只需判断两条短的线段之和是否大于最长的线段即可,无需再从任意两边之和大于第三边的角度进行判断.

1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2.三角形的分类:

三边都不相等的三角形和等腰三角形.

3.在一个三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

注意:

三角形任意两边和与第三边的关系不包括等于这种关系.等边三角形也是等腰三角形,等腰三角形的范围要大于等边三角形,且包含等边三角形.

1.下列各组数可能是一个三角形的边长的是（　　）

　　A.1,2,4B.4,5,9

C.4,6,8D.5,5,11

解析:

以最长边为第三边,看其他两边之和是否大于最长边,若大于则能构成三角形;若小于或等于则不能构成三角形.∵1+2<4,∴1,2,4不可能是一个三角形的三边长;∵4+5=9,∴4,5,9不可能是一个三角形的三边长;∵4+6>8,∴4,6,8能构成一个三角形的三边长;∵5+5<11,∴5,5,11不可能构成一个三角形的三边长.故选C.

2.如果一个三角形的两边长分别是2和4,则第三边长可能是（　　）

A.2B.4C.6D.8

解析:

本题考查了三角形的三边关系.选项A中2+2=4,不能构成三角形;选项C中2+4=6,不能构成三角形;选项D中2+4<8,不能构成三角形;只有选项B能构成三角形.本题也可以根据三角形的三边关系先确定第三边长x的取值范围是2

3.有长为3cm,6cm,8cm,9cm的四条线段,任选其中的三条线段组成一个三角形,则最多能组成三角形的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

解析:

组成的三角形的情况是:

①3,6,8;②3,8,9;③6,8,9三种情况.注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度,即可判定这三条线段能构成一个三角形.三角形的三边关系一般和不等式（组）联系,甚至涉及分类讨论的思想方法.故选C.

11.1.1　三角形的边

一、三角形的相关概念

二、三角形的分类

三、三角形三边之间的关系

探究一:

三角形两边之和与第三边之间的关系

探究二:

三角形两边的差和第三边之间的关系

一、教材作业

【必做题】

教材第4页练习第1,2题.

【选做题】

教材第8页习题11.1第1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列每组数分别表示三根木棒的长度,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是（　　）

A.1,2,6B.2,2,4

C.1,2,3D.2,3,4

2.一个三角形的三条边长分别为1,2,x,则x的取值范围是（　　）

A.1≤x≤3B.1

C.1≤x<3D.1

3.以下列各组线段的长为边长,能组成三角形的是（　　）

A.2cm,3cm,4cmB.2cm,3cm,5cm

C.2cm,5cm,10cmD.8cm,4cm,4cm

4.如果三角形的两边长分别为3和5,第三边长是偶数,则第三边长可以是（　　）

A.2B.3C.4D.8

5.一个等腰三角形的两边长分别为2.5和5,求这个三角形的周长.

【能力提升】

6.已知一个三角形的两边长分别是4cm,7cm,则这个三角形的周长的取值范围是什么?

7.在三角形ABC中,如果AB=3x,AC=4x,BC=21,那么x的取值范围是多少?

【拓展探究】

8.已知a,b,c分别为三角形ABC的三边长,化简:

|a+b-c|-|b-c-a|-|c-a+b|.

【答案与解析】

1.D（解析:

A选项,1+2<6,故不能构成三角形;B选项,2+2=4,故也不能组成三角形;C选项,1+2=3,故也不能组成三角形;D选项,2+3>4,能构成三角形.故选D.）

2.D（解析:

∵已知三角形两边的长分别是1和2,∴第三边长x的范围是1

3.A（解析:

∵2+3>4,∴2cm,3cm,4cm长的线段能组成三角形,选项A正确;∵2+3=5,∴2cm,3cm,5cm长的线段不能构成三角形,选项B错误;∵2+5<10,∴2cm,5cm,10cm长的线段不能构成三角形,选项C错误;∵4+4=8,∴8cm,4cm,4cm长的线段不能构成三角形,选项D错误.故选A.）

4.C（解析:

因为三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,所以第三边长的取值范围在2与8之间,注意不能等于2和8,根据选项在此之间的偶数只能是4,所以选择C.）

5.解:

①若2.5为腰长,则2.5+2.5=5,两边之和等于第三边,所以不能构成三角形.②若5为腰长,则2.5+5=7.5>5,两边之和大于第三边,所以能构成三角形.所以三角形的周长为2.5+5+5=12.5.

6.解:

根据构成三角形的条件得:

第三边长的范围为3cm<第三边长<11cm,则此三角形的周长范围是14cm<周长<22cm.

7.解:

由三角形三边的大小关系可得3x+4x>21,且4x-3x<21,可解得3

8.解:

因为a,b,c分别为三角形ABC的三边长,所以根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,可得:

a+b>c,则a+b-c>0;ba,则c-a+b>0.根据正数的绝对值等于它的本身,负数的绝对值等于它的相反数,得原式=a+b-c-[-（b-a-c）]-（c-a+b）=a+b-c+b-a-c-c+a-b=a+b-3c.

本课是由日常生活情景引入的,这样有利于增强学生的学习兴趣,也能让学生知道数学来源于实际,又反作用于实际.

本节的重点与难点均是三角形的三边关系,要求学生能利用此定理判定所给的三条线段能否组成三角形,如果老师直接给出定理,学生的理解会不深.教案的设计思路是让学生通过自己的思考得出结论,不是直接去接受结论,而是让学生亲自实践,这样既增强了学生的动手能力,也能让他们更加深刻地理解三角形三边关系定理:

三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边,还能让他们在解答问题时,更加游刃有余.

在刚开始阶段引入三角形的定义时,学生在画三条线段的环节中,应该对所画的线段提出不同的要求,这样更有利于学生给三角形做出严密的定义.还有此处应该添加一些简单的练习,让学生即时练习,能让他们更加深刻地接受三角形的有关定义,并能熟练地运用它们,为后续的学习打下良好的基础.

在引入三角形的定义时,要更加严谨,如“由不在同一条直线上”这句话,老师要让学生思考这样说的原因,另外在定义教学后,即时给出一些练习,让学生巩固所学的知识,在讲解三角形的分类时,也要这样,给出些练习,让学生巩固,并加深对它们的理解.

在讲解三角形的三边关系时,可让学生自己也准备一些这样的带刻度的小棒,让每一位学生都参与进来,这次参与的学生少,只起到演示的作用了,还是多多给学生参与的机会为好.

练习（教材第4页）

1.解:

图中有5个三角形,分别是ΔABC,ΔBCD,ΔBCE,ΔABE,ΔCDE.

2.解:

（1）不能组成三角形,因为3+4<8,即两条线段的和小于第三条线段,所以不能组成三角形.　

（2）不能组成三角形,因为5+6=11,即两条线段的和等于第三条线段,所以不能组成三角形.　（3）能组成三角形,因为任意两条线段的和都大于第三条线段.

中学数学学习的是数学学科的基础知识,而数学作为研究数量关系和空间形式的科学,是人们实践中出现的种种数学现实的反映,也是人们不断研究、创造的知识体系,是人们在各类科研和生产实践中的有力工具,具有广泛的应用性.数学教学必须重视揭示数学与客观现实的密切联系,揭示数学结论的真理性和真实性,揭示数学理论是怎么从现实世界中得到并不断发展的,必须重视数学知识体系的条理性、逻辑性,也应该重视数学在实践中的巨大作用.

　长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有（　　）

　　A.1种B.2种C.3种D.4种

〔解析〕　四根木条中的三根的所有组合:

9,6,5;9,6,4;9,5,4;6,5,4.根据三角形的三边关系,得能组成三角形的有9,6,5;9,6,4和6,5,4.故选C.

〔方法指导〕　要把四根木条中的三根的所有组合列出来,再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数.

11.1.2　三角形的高、中线与角平分线

1.让学生了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念.

2.掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法.

3.能利用三角形的高、中线、角平分线的性质解决问题.

1.经历画、折等实践