数学期望值.docx

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数学期望值

3-3數學期望值

重點整理

1.事件的數學期望值（簡稱期望值）：

設某事件成功之機率為，若該事件成功即可得到元，則元稱為此事件的數學期望值。

2.試驗的數學期望值（簡稱期望值）：

設一試驗的樣本空間為Ｓ，為樣本空間Ｓ的一個分割，且設事件發生的機率為，。

若事件發生，可得元，則稱為此試驗數學期望值，簡稱期望值。

3.期望值有平均價值的概念。

重要例題：

例1.統一發票共八碼，每期開出一個特獎號碼，五個頭獎號碼。

與特獎號碼完全相同可得2000000元，與頭獎任一號碼相同，可得200000元，與頭獎末7碼相同可得40000元（貳獎），與頭獎末6碼同可得10000元（參獎），與頭獎末5碼同可得4000元（肆獎），與頭獎末4碼同可得1000元，與頭獎末三碼同可得200元。

則一張統一發票的平均價值為多少？

（期望值）

例2.投擲一粒公正的骰子一次，若出現點則可得元，求其期望值。

例3.投擲二粒公正的骰子，

（1）若出現點數和為，則可得元，則其期望值為；

（2）若出現點數差為，則可得元，則其期望值為。

類1.投擲十粒公正的骰子，若出現點數和為，則可得元，則其期望值為。

類2.袋中有大小相同的紙牌10張，分別寫3張100元，2張50元，5張10元，任取一張，則獎金的期望值為多少？

類3.設袋中有1號球1個，2號球2個．．．號球個，自袋中任取一球，若取得號球可得元，則其期望值為。

Ans:

1.35，2.45，3.。

例4.投擲四顆骰子有如下的獎金，則期望值為。

出現

四骰同點

恰三骰同點

兩兩同點

獎金

200元

100元

50元

類1.設袋中有10元、5元硬幣各3枚，自袋中任取2枚，則期望值為。

類2.同時擲10個公正的硬幣，若有個硬幣出現正面，可得元，則

（1）恰得32元之機率為；

（2）期望值為。

類3.一人擲三個公正的硬幣一次，若出現個正面，則可得元（），若不出現正面則輸15元，求其期望值。

Ans:

1.15，2.

（1）,

（2），3.。

例5.一袋子中有12個球，其中有4個白球，

（1）從中一次取出3球，

（2）每次取一球，取後放回，連取三次，（3）每次取一球，取後不放回，連取三次，求白球個數的期望值。

類1.三人同解數學題，解出之機率分別為，今三人合解48題，則解對題數的期望值為。

類2.一箱子內有9個燈泡，其中有4個是壞的，從中取出3個，求壞燈泡個數的期望值。

類3.一袋中有3紅4白球，每次從中取出一球，取後不放回，取到紅球取完為止，求所取次數的期望值。

類4.從1,2,3,4,5中取出三相異數相加，求所得和的期望值？

Ans:

1.46，2.，3.6，4.9。

例6.將5個球任意分配到三個不同的箱子中，求空箱的期望值。

類1.將3個球投入3個不同的袋子中，每次投一球，連續投3次，則

（1）每個袋子都有球的機率為？

（2）3個球都在同一個袋子的機率為？

（3）空袋子個數的期望值為？

類2.依據經驗，某人完成一件工作，可能是1天、2天、3天、4天，在1天完成的機會是0.2，2天完成的機會是0.4，3天完成的機會是0.3，4天完成的機會是0.1，求完成此工作天數的期望值。

ans:

1.

（1）,

（2）,（3）。

例7.某次考試中，

（1）單一選擇題每題有五個選項，答對得五分，若希望五個選項用猜的得分的數學期望值為0，則答錯應倒扣幾分？

（2）複選題，每題五個選項，至少有一個選項是正確的，完全答對給六分，若希望隨機猜題的得分期望值為0，則答錯應到倒扣幾分？

Ans:

（1）1.25,

（2）0.2。

類1.一遊戲機，投10元玩一次，若中獎則得100元，若希望讓玩家每玩10次，商家則得50元，則商家在機器的設定上應讓玩家贏的機率為。

類2.擲三個均勻的硬幣，若規定出現3正面可得12元，2正面可得8元，一正面可得4元，為了公平起見，出現三反面應賠。

Ans:

1.，2.48。

例8.甲乙二人桌球比賽，規定先勝3場者為贏，敗者應付給贏者100元，已知兩人獲勝機率均等，於甲勝2場、乙勝1場時，因故終止比賽，則乙應付給甲元才合理。

類1.1654年在法國有甲乙兩人棋藝相等，約定比賽，先勝三場者可得賭金64披索（金幣名），開始比賽甲先勝一次後，有要事停止比賽，對賭金難於分配，於是請教當時有名的數學家巴斯卡。

這些賭金應如何分配？

類2.設一年間一家失火的機率為，鄰家失火而被波及的機率為，且各家同時失火的機率為0。

若投保期間一年100萬元的火險時，住在相鄰二家中之一家的人應至少繳多少錢才合理。

類3.某保險公司銷售一年期的人壽保險給一位59歲的先生，保額100000，保費520元，根據統計，59歲男人活到60歲的機率為0.997，求保險公司的期望利潤？

類4.設擲某銅板出現正面的機率為，。

連續擲此銅板4次，若第次出現正面則得，否則得0，1、2、3、4。

設總所得的期望值為，總所得超過的機率為，則（A）為之一次多項式（B）（C）為之二次多項式（D）（E）。

Ans:

1.甲44,乙20，2.，3.220，4.ADE。

例9.某人擲兩粒骰子，若擲出之點數和為7點時，可得100元，並得繼續投擲的權利，否則就停止，求此人所得的期望值。

類1.某人射箭，每回射中紅心的機率為，

（1）若欲使命中紅心的機率達，至少需幾發？

（2）若規定射中一次紅心可得1000元，且可繼續發射直到沒有射中為止，求獲利的期望值？

類2.一袋中有6個黑球、3白球，今自袋中取出一球，若取出的球為白球，則停止取球，若取出黑球，則將球放回袋中，再從袋中取出一球，如此進行，直到取得白球為止。

求取球次數的期望值。

Ans:

1.

（1）6,

（2）500，2.3。

預備題目：

類2.設擲某銅板出現正面的機率為，。

連續擲此銅板4次，若第次出現正面則得，否則得0，1、2、3、4。

設總所得的期望值為，總所得超過的機率為，則（A）為之一次多項式（B）（C）為之二次多項式（D）（E）。

類2.設擲某銅板出現正面的機率為，。

連續擲此銅板4次，若第次出現正面則得，否則得0，1、2、3、4。

設總所得的期望值為，總所得超過的機率為，則（A）為之一次多項式（B）（C）為之二次多項式（D）（E）。

類2.設一袋中裝有1個1號球，2個2號球個號球25個25號球，。

現自袋中任取一球，設每一個球被取到的機會都相等，而取得號球可得元，則取到19號球的機率為，而任取一球的期望值為元。

（80.社）

例10.甲乙二人輪流投擲二粒公正骰子，約定先擲得點數和為7者可得110元，若由甲先擲，則甲乙兩人的期望值各為多少？

類1.甲乙丙三人輪流投擲二粒公正骰子，約定先擲得點數和為6者可得110元，若由甲先擲，則甲乙丙三人的期望值各為多少？

類2.甲出資60元，乙出資40元，甲先乙後輪流擲一骰子，先擲出6點的可獲此100元，何者較有利？

Ans:

1.