二次函数与一元二次方程不等式的关系教案横版.docx

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二次函数与一元二次方程不等式的关系教案横版

二次函数与一元二次方程（不等式）的关系

适用学科

初中数学

适用年级

初中三年级

适用区域

全国新课标

课时时长（分钟）

60分钟

知识点

1.抛物线与x轴的交点；

2.图像法求一元二次方程的近似根；

3.二次函数与不等式（组）的关系；

4.抛物线与直线的交点。

教学目标

一、知识与技能

1.理解二次函数与一元二次方程的关系，会根据题意对两者进行转化，会求二次函数与x轴的交点，会根据两交点的横坐标求有关代数式的值；

2.会根据二次函数的图像，运用数形结合思想求一元二次方程的近似根；

3.理解二次函数与不等式（组）的关系，能够从图像上直观的求出二次函数的函数值大于（小于）某些函数值的自变量的取值范围；

4.会求抛物线与直线的交点，会进行二次函数函数与一元二次方程的转化。

二、过程与方法

1．找出二次函数与一元二次方程形式上的共同点与区别，通过直角坐标系建立二者的联系，让学生体会不同两个概念之间的相互转化；

2．让学生通过二次函数图像的作图求对应的一元二次方程的近似根，；

3．让学生作二次函数图像和一次函数图像，引导其去找到自变量在不同取值范围的函数值的大小关系；

4．让学生作二次函数图像和一次函数图像，体会交点的意义，然后对其进行引导，最终把握求抛物线与直线的交点的方法。

三、情感、态度与价值观

1．培养学生几何与方程、不等式转化的能力，灌输联系的学习方法；

2．养成善于观察、勤动手、勤思考的学习习惯；

3．培养学生学习数学的数学思想（数形结合、转化、方程等）。

4．激发学生学习数学的兴趣，形成良好的价值观。

教学重点

二次函数与一元二次方程（不等式）的关系

教学难点

二次函数与一元二次方程（不等式）的关系

教学过程

一、复习预习

1、二次函数的定义：

（1）一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据；

（2）当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数；

（3）只要函数通过变形能变为y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的形式都是二次函数，二次函数的另外两种形式为：

顶点式y＝a（x－h）2＋k（a≠0），交点式y=a（x-）（x-）。

2、二次函数的图像：

1）、y=ax2+bx+c（a≠0）的图像

（1）二次函数的图像是一条抛物线；

（2）在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：

开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．并能从图象上认识二次函数的性质；

（3）对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a决定了二次函数的开口方向，a>0时，开口向上，a<0时，开口向下；︱a︱的大小决定抛物线的开口大小．︱a︱越大，抛物线的开口越小，︱a︱越小，抛物线的开口越大．

（4）a、b共同决定了对称轴的位置，可以用四个字来概括“左同右异”，即：

当对称轴在y轴的左边时，a、b正负性相同，当对称轴在y轴的右边时，a、b正负性相反；

（5）c决定了图像与y轴的交点，即与y轴交点的横坐标，c>0，交于y轴正半轴；c<0，交于y轴负半轴；c＝0时，抛物线过原点。

（6）当△=b2－4ac>0时，图像与x轴有两个交点，且两交点之间的距离为=；当△=b2－4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当△=b2－4ac<0时，图像与x轴没有交点。

2）、y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像

（1）二次函数的图像是一条抛物线；

（2）在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：

开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．并能从图象上认识二次函数的性质；

（3）对于二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0），a决定了二次函数的开口方向，a>0时，开口向上，a<0时，开口向下；

（4）a、k共同决定了对称轴的位置，可以用四个字来概括“左同右异”，即：

当对称轴在y轴的左边时，a、k正负性相同，当对称轴在y轴的右边时，a、k正负性相反；

3）、y=a（x-）（x-）的图像：

（1）二次函数的图像是一条抛物线；

（2）在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：

开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．并能从图象上认识二次函数的性质；

（3）对于二次函数y=a（x-）（x-），a决定了二次函数的开口方向，a>0时，开口向上，a<0时，开口向下；

（4）、表示二次函数与x轴交点的横坐标，且有对称轴x=-=,两交点之间的距离为=。

3、二次函数的性质：

1）、y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：

（1）当a>0时，开口向上，在对称轴x=－

的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=－

的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最小值为y=

，顶点（－

，

）为最低点；

（2）当a<0时，开口向下，在对称轴x=－

的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴x=－

的右侧，y随x的增大而减小，此时y有最大值为y=

，顶点（－

，

）为最高点；

2）、y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的性质:

（1）当a>0时，开口向上，在对称轴x=h的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=h的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最小值为y=k，顶点（h,k）为最低点；

（2）当a<0时，开口向下，在对称轴x=h的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴x=h的右侧，y随x的增大而减小，此时y有最大值为y=k,顶点（h,k）为最高点；

4、二次函数图像与几何变换:

1、图像上对称的两点（）,（）满足x=－

=;

2、图像平移：

1在对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像进行平移时，需将一般式变形为顶点式y=a（x+h）²+k，然后再根据平移规律“左加右减，上加下减”来进行平移。

2在用“左加右减，上加下减”时应注意：

左右变换是在顶点式中平方项下h的后面进行加减，往左移则在h后面加上相应的平移量，往右移则在h后面减去相应的平移量；上下变换是在顶点式中k的后面进行加减，往上移则在k后面加上相应的平移量，往下移则在k后面减去相应的平移量。

5、二次函数图像上点的坐标特征:

1二次函数与x轴的交点纵坐标为零，形如（x,0），与y轴交点横坐标为零，形如（0，y），图像上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，如果设两点为（），（），则有：

，。

2比较图像上两点函数值的大小时，需要看两点跟对称轴的位置关系，如果两点在对称轴的同侧，则看此时y随x的变化如何变化来比较大小；如果是在对称轴两侧，需要先根据对称性将一个点转化了与另一个点在对称轴的同侧来进行比较。

二、知识讲解

考点/易错点1

抛物线与x轴的交点：

（1）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）在形式上有区别也有联系；

（2）令抛物线y=0时，二次函数就变为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）；反过来，令一元二次方程0=y时，一元二次方程就变为二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）；

（3）二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是二次函数与x轴交点的横坐标。

考点/易错点2

图像法求一元二次方程的近似根：

（1）作出二次函数的图像；

（2）观察二次函数图像与x轴的交点在哪些点之间；

（3）取适当的值进行试解，求方程的近似根。

考点/易错点3

抛物线与不等式（组）的关系：

（1）当抛物线的函数值大于或小于零时，即对应着一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0）；

（2）当ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0）时，即对应着抛物线的函数值大于或小于零；

（3）求解一个一元二次不等式的解集可以先画出对应的抛物线的图像，然后在图像上选取大于

或小于零的部分，再对应到自变量x的取值范围就可以求出不等式的解集；

（4）当ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0）时，对应二次函数的图像在x轴上方或x轴下方。

考点/易错点4

抛物线与直线的交点:

（1）若抛物线与直线有一个交点，则联立二次函数和直线关于自变量x的方程，即：

ax2+bx+c=kx+b，交点的横坐标就是一元二次方程ax2+（b-k）x-b=0的解，且判别式△=0；

（2）若抛物线与直线有两个交点，则联立二次函数和直线关于自变量x的方程，即：

ax2+bx+c=kx+b，交点的横坐标就是一元二次方程ax2+（b-k）x-b=0的解，且判别式△>0；

（3）若抛物线与直线没有交点，则联立二次函数和直线关于自变量x的方程，即：

ax2+bx+c=kx+b，此时一元二次方程ax2+（b-k）x-b=0无解，且判别式△<0；

三、例题精析

【例题1】

【题干】（南京）已知二次函数y=x2-2mx+m2+3（m是常数）．

（1）求证：

不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

【答案】

（1）证明：

∵△=（-2m）2-4×1×（m2+3）=4m2-4m2-12=-12＜0，

∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解，即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）解：

y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3，把函数y=（x-m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x-m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，所以，把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．

【解析】

（1）求出根的判别式，即可得出答案；

（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．

【例题2】

【题干】（滨州）已知二次函数y=x2-4x+3．

（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；

（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．

【答案】

（1）C（2，-1）;当x≤2时，y随x的增大而减少；当x＞2时，y随x的增大而增大；

（2）1;

【解析】解：

（1）y=x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=（x-2）2-1，

所以顶点C的坐标是（2，-1），

当x≤2时，y随x的增大而减少；

当x＞2时，y随x的增大而增大；

（2）解方程x2-4x+3=0

得：

x1=3，x2=1，

即A点的坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0），

过C作CD⊥AB于D，

∵AB=2，CD=1，∴S△ABC=AB×CD=×2×1=1．

【例题3】

【题干】（大庆）关于x的函数y=（m2-1）x2-（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．

【答案】1或3.

【解析】解：

①当m2-1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；

②当m2-1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则

△=（2m+2）2-8（m2-1）=0，

解得m=3，m=-1（舍去）．

综上所述，m的值是1或3．

【例题4】

【题干】（佛山）利用二次函数的图象估计一元二次方程x2-2x-1=0的近似根（精确到0.1）．

【答案】x=-0.4（或x=-0.5），x=2.4（或x=2.5）。

【解析】解：

方程x2-2x-1=0根是函数y=x2-2x-1与x轴交点的横坐标．

作出二次函数y=x2-2x-1的图象，如图所示，

由图象可知方程有两个根，一个在-1和0之间，另一个在2和3之间．

先求-1和0之间的根，

当x=-0.4时，y=-0.04；当x=-0.5时，y=0.25；

因此，x=-0.4（或x=-0.5）是方程的一个近似根，

同理，x=2.4（或x=2.5）是方程的另一个近似根．

【例题5】

【题干】（浙江）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（　　）

x

3.23

3.24

3.25

3.26

ax2+bx+c

-0.06

-0.02

0.03

0.09

A．3＜x＜3.23

B．3.23＜x＜3.24

C．3.24＜x＜3.25

D．3.25＜x＜3.26

【答案】C。

【解析】解：

函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，

函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；

由表中数据可知：

y=0在y=-0.02与y=0.03之间，

∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．

故选：

C．

【例题6】

【题干】（龙东地区）如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

（1）请直接写出D点的坐标．

（2）求二次函数的解析式．

（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

【答案】

（1）D（-2，3）；

（2）y=-x2-2x+3；（3）x＜-2或x＞1．

【解析】解：

（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，

∴对称轴是x==-1．

又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，

∴D（-2，3）；

（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），

根据题意得 ：

9a−3b+c＝0，a+b+c＝0，c＝3

解得：

a=1,b=-2,c=3

所以二次函数的解析式为y=-x2-2x+3；

（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜-2或x＞1．

【例题7】

【题干】（广元）有一次函数y1=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c的大致图象如图，请根据图中信息回答问题（在横线上直接写上答案）

（1）不等式ax2+bx+c＜0的解集是_______________2＜x＜6；

kx+m＞ax2+bx+c的解集是1＜x＜8_________________．

（2）当x=1或8____________时，y1=y2．

（3）要使y2随x的增大而增大，x的取值范围应是

x＞4________________．

【答案】

（1）2＜x＜6；1＜x＜8；

（2）x=1或8；（3）x＞4。

【解析】解：

（1）如图，

∵二次函数y2=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为2、6，

∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是：

2＜x＜6；

∵一次函数y1=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c交点的横坐标为1、8，

∴kx+m＞ax2+bx+c的解集是：

1＜x＜8；

（2）∵一次函数y1=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c交点的横坐标为1、8，

∴当x=1或8时，y1=y2；

（3）∵二次函数y2=ax2+bx+c的对称轴为x=4，

∴当x＞4时，y2随x的增大而增大．

故答案为：

（1）2＜x＜6；1＜x＜8；

（2）1或8；（3）x＞4．

【例题8】

【题干】（重庆）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q．过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A，与这个二次函数的图象交于另一点B，若S△BPQ=3S△APQ，求这个二次函数的解析式．

【答案】y=x2-4x+4．

【解析】解：

∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点P，

∴点P的坐标为（-，0），根据图形可得b＜0，

即可得到b2-4ac=0，

∵a=1，

∴b2-4c=0，

解得c=

∵二次函数与y轴的交点为Q

∴点Q的坐标为（0，c），

∵Q在y=2x+m上，

∴m=c

∴一次函数解析式为y=2x+c

y＝2x+c,y=

∴B（2-b，4-2b+）

∵S△BPQ=3S△AQP

∴S△ABP=4S△AQP

∴点B的纵坐标与Q的纵坐标的比为4：

1，

那么4-2b+=b2，

解得b=-4或b=（舍去）．

当b=-4时，c=4，∴二次函数为y=x2-4x+4．

【例题9】

【题干】过点（4，3）的二次函数的顶点坐标是（2，-1），M、N是抛物线与x轴的交点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）直线y=x+3与二次函数交于A、B两点，P是二次函数上任意一点，是否能够在对称轴上找到一点K，使得四边形KAPB为平行四边形？

如果存在，求出点K的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】

（1）y=（x-2）2-1或y=x2-4x+3；

（2）K（2，11）．

【解析】解：

（1）∵抛物线顶点坐标（2，-1），

∴设抛物线解析式为y=a（x-2）2-1（a≠0），

∵抛物线经过点（4，3），

∴a（4-2）2-1=3，

解得a=1，

所以，该抛物线解析式为y=（x-2）2-1或y=x2-4x+3；

（2）能够在对称轴上找到一点K，使得四边形KAPB为平行四边．

理由如下：

根据题意，得

y＝x+3,y＝x2−4x+3;

解得:

x＝0,y＝3或x＝5,y＝8

则点A（0，3），B（5，8）．

假设四边形KAPB为平行四边形．

则AK∥BP，AK=BP，

∵点A坐标为（0，3），点K的横坐标为2，点B的横坐标为5，

∴点P的横坐标为5-2=3，点P的纵坐标y=32-4×3+3=0，点K的纵坐标为8+3=11，

∴K（2，11）．

四、课堂运用

【基础】

1.（温州）如图，抛物线y=a（x-1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（-1，0）

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求梯形COBD的面积．

【答案】

（1）y=-（x-1）2+4；

（2）6.

【解析】解：

（1）将A（-1，0）代入y=a（x-1）2+4中，得：

0=4a+4，

解得：

a=-1，

则抛物线解析式为y=-（x-1）2+4；

（2）对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3，

∵抛物线解析式为y=-（x-1）2+4的对称轴为直线x=1，

∴CD=1，

∵A（-1，0），

∴B（3，0），即OB=3，

则S梯形COBD==6．

2.（咸宁）已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（-3m，0）（m≠0）．

（1）证明4c=3b2；

（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．

【答案】

（1）证明：

依题意，m，-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根

根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=m+（-3m）=-b，x1•x2=m（-3m）=-c，

∴b=2m，c=3m2，

∴4c=3b2=12m2；

（2）解：

依题意，−＝1，即b=-2，

由

（1）得c＝b2＝×（−2）2＝3，

∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴二次函数的最小值为-4．

【解析】

（1）由根与系数关系得出等式，消去m，得出b、c的关系式；

（2）根据对称轴公式可求系数b，代入

（1）的结论可求c，可确定二次函数解析式，再求函数的最小值．

3.（佛山）

（1）请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象；

（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2-2x=1的根在图上近似的表示出来（描点）；

（3）观察图象，直接写出方程x2-2x=1的根．（精确到0.1）

【答案】

（1）如图；

（2）如图；（3）-0.4，2.4．

【解析】解：

（1）如下图，

y=x2-2x=（x-1）2-1，

作出顶点，作出与x轴的交点，图象光滑．

（2）正确作出点M，N；

（3）写出方程的根为-0.4，2.4．

4.（南通）根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：

则方程x2+px+q=0的正数解满足（　　）

x

0

0.5

1

1.1

1.2

1.3

x2+px+q

-15

-8.75

-2

-0.59

0.84

2.29

A．解的整数部分是0，十分位是5

B．解的整数部分是0，十分位是8

C．解的整数部分是1，十分位是1

D．解的整数部分是1，十分位是2

【答案】C．

【解析】解：

根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2．

所以解的整数部分是1，十分位是1．故选C．

5、（贵阳）已知二次函数y=-x2-2x+3的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点（如图所示），点D在二次函数的图象上，且D与C关于对称轴对称，一次函数的图象过点B、D；

（1）求点D的坐标；

（2）求一次函数的解析式；

（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

【答案】

（1）D（-2，3）；

（2）y=-x+1;（3）x＜-2或x＞1时，一次函数值大于二次函数值.

【解析】解：

（1）由y=-x2-2x+3得到C（0，3），

而对称轴为x=-1，由抛物线的对称性知：

D（-2，3）；

（2）设过点B（1，0）、D（-2，3）的一次函数为y=kx+b

∴3＝−2k+b，3＝−2k+b⇒k＝−1，b＝1；

∴一次函数的解析式为：

y=-x+1．

（3）当x＜-2或x＞1时，一次函数值大于二次函数值．

【巩固】

1.（孝感）已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．

（1）求k的取值范围；

（2）试说明x1＜0，x2＜0；

（3）若抛物线y=x2-（2k-3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB-3，求k的值．

【答案】

（1）k＜;

（2）见解析;（3）k=-2;

【解析】解：

（1）由题意可知：

△=[-（2k-3）]2-4（k2+1）＞0，

即-12k+5＞0                

∴k＜．

（2）∵x1+x2＝2k−3＜0,x1x2＝k2+1＞0

∴x1＜0，x2＜0．

（3）依题意，不妨设A（x1，0），B（x2，0）．

∴OA+OB=|x1|+|x2|=-（x1+x2）=-（2k-3），

OA•OB=|-x1||x2|=x1x2=k2+1，

∵OA+OB=2OA•OB-3，

∴-（2k-3）=2（k2+1）-3，

解得k1=1，k2=-2．                   

∵k＜，

∴k=-2．

2.（宁波）利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时，我们采用的一种方法是：

在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．

（1）请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法；

（2）已知函数y=x3的图象