自考线性代数真题.docx

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自考线性代数真题

全国2010年1月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：

04184

说明：

本卷中，AT表示矩阵A的转置，αT表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式

（）

A.

B.1

C.2D.

2.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）-1=（）

A.A-1B-1C-1B.C-1B-1A-1

C.C-1A-1B-1D.A-1C-1B-1

3.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，则|-2A|=（）

A.-32B.-4

C.4D.32

4.设α1，α2，α3，α4是三维实向量，则（）

A.α1，α2，α3，α4一定线性无关B.α1一定可由α2，α3，α4线性表出

C.α1，α2，α3，α4一定线性相关D.α1，α2，α3一定线性无关

5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（）

A.1B.2

C.3D.4

6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

7.设A是m×n矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（）

A.m≥nB.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解

C.r（A）=mD.Ax=0存在基础解系

8.设矩阵A=

，则以下向量中是A的特征向量的是（）

A.（1，1，1）TB.（1，1，3）T

C.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T

9.设矩阵A=

的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3=（）

A.4B.5

C.6D.7

10.三元二次型f（x1，x2，x3）=

的矩阵为（）

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.行列式

=_________.

12.设A=

，则A-1=_________.

13.设方阵A满足A3-2A+E=0，则（A2-2E）-1=_________.

14.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0}的维数是_________.

15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A（5α2-4α1）=_________.

16.设A是m×n实矩阵，若r（ATA）=5，则r（A）=_________.

17.设线性方程组

有无穷多个解，则a=_________.

18.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.

19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.

20.二次型

的秩为_________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算4阶行列式D=

.

22.设A=

，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A-1.

23.设向量α=（3，2），求（αTα）101.

24.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.

（1）求该向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.

25.求齐次线性方程组

的基础解系及其通解.

26.设矩阵A=

，求可逆方阵P，使P-1AP为对角矩阵.

四、证明题（本大题6分）

27.已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：

α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.

全国2010年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：

04184

一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.已知2阶行列式

=m,

=n,则

=（）

A.m-nB.n-m

C.m+nD.-（m+n）

2.设A,B,C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（）

A.ACBB.CAB

C.CBAD.BCA

3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（）

A.-8B.-2

C.2D.8

4.已知A=

，B=

，P=

，Q=

，则B=（）

A.PAB.AP

C.QAD.AQ

5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（）

A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2

B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2

C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0

D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0

6.下列命题中错误的是（）

A.只含有一个零向量的向量组线性相关

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关

C.由一个非零向量组成的向量组线性相关

D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（）

A.α1必能由α2,α3，β线性表出B.α2必能由α1,α3，β线性表出

C.α3必能由α1,α2，β线性表出D.β必能由α1,α2,α3线性表出

8.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（）

A.小于mB.等于m

C.小于nD.等于n

9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（）

A.ATB.A2

C.A-1D.A*

10.二次型f（x1,x2,x3）=

的正惯性指数为（）

A.0B.1

C.2D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.行列式

的值为_________________________.

12.设矩阵A=

B=

则ATB=____________________________.

13.设4维向量

（3,-1,0,2）T,β=（3,1,-1,4）T，若向量γ满足2

γ=3β，则γ=__________.

14.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=

则|A-1|=___________________________.

15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=__________________.

16.齐次线性方程组

的基础解系所含解向量的个数为________________.

17.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵

必有一个特征值为_____________.

18.设矩阵A=

的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.

19.已知A=

是正交矩阵，则a+b=_______________________________。

20.二次型f（x1,x2,x3）=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_______________________________。

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.计算行列式D=

的值。

22.已知矩阵B=（2，1，3），C=（1，2，3），求

（1）A=BTC；

（2）A2。

23.设向量组

求向量组的秩及

一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

24.已知矩阵A=

，B=

.

（1）求A-1；

（2）解矩阵方程AX=B。

25.问a为何值时，线性方程组

有惟一解？

有无穷多解？

并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。

26.设矩阵A=

的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使P-1AP=

。

四、证明题（本题6分）

27.设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明（A+B）-1=A-1+B-1。

全国2010年7月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：

04184

试卷说明：

在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；r（A）表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若|B|=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则|A|=（）

A.-12B.-6

C.6D.12

2.计算行列式

=（）

A.-180B.-120

C.120D.180

3.若A为3阶方阵且|A-1|=2，则|2A|=（）

A.

B.2

C.4D.8

4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有（）

A.α1，α2，α3，α4线性无关B.α1，α2，α3，α4线性相关

C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示

5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r（A）=（）

A.2B.3

C.4D.5

6.设A、B为同阶方阵，且r（A）=r（B），则（）

A.A与B相似B.|A|=|B|

C.A与B等价D.A与B合同

7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则|A+2E|=（）

A.0B.2

C.3D.24

8.若A、B相似，则下列说法错误的是（）

A.A与B等价B.A与B合同

C.|A|=|B|D.A与B有相同特征值

9.若向量α=（1，-2,1）与β=（2，3，t）正交，则t=（）

A.-2B.0

C.2D.4

10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则（）

A.A正定B.A半正定

C.A负定D.A半负定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.设A=

B=

，则AB=_________________.

12.设A为3阶方阵，且|A|=3，

则|3A-1|=______________.

13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.

14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.

15.设A为5阶方阵，且r（A）=3，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______________.

16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，

，1，则|5A-1|=______________.

17.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r（B）=3，则r（AB）=_________________.

18.实对称矩阵

所对应的二次型f（x1,x2,x3）=________________.

19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=

，α2=

且r（A）=2，则Ax=b的通解是_______________.

20.设α=

，则A=ααT的非零特征值是_______________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.计算5阶行列式D=

22.设矩阵X满足方程

X

=

求X.

23.求非齐次线性方程组

的通解.

24.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=（9,100,10,4），α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.

25.已知A=

的一个特征向量ξ=（1,1，-1）T，求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.

26.设A=

，试确定a使r（A）=2.

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.若α1，α2，α3是Ax=b（b≠0）的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.