浙江省名校协作体届高三下学期考试数学试题含答案.docx
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浙江省名校协作体届高三下学期考试数学试题含答案
2017学年第二学期浙江省名校协作体试题
高三年级数学学科
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合
，
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
.
2．在复平面内，复数
和
表示的点关于虚轴对称，则复数
=（）
A.
B.
C.
D.
3．已知
，
，
，则
的大小关系为（）
A.
B.
C.
D.
4.若不等式组
表示的平面区域经过四个象限，则实数
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
5.已知函数
，下列图像一定不能表示
的图像的是（）
A.B.C.
D.
6.已知袋子中装有若干个标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，若随机抽取一个小球，取到标有数字2的小球的概率为
，若取出小球上的数字
的数学期望是2，则
的方差为（）
A.
B.
C.
D.
7.设函数
，则“
”是“
为偶函数”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.设
为两个非零向量
的夹角且
，已知对任意实数
，
无最小值，则以下说法正确的是（）
A.若
和
确定，则
唯一确定
B.若
和
确定，则
有最大值
C.若
确定，则
D.若
不确定，则
的大小关系不确定
9.如图所示，在棱长为1的正方体
中，
分别为
上的动点，则
周长的最小值为（）
A.
B.
C.
D.
10.已知偶函数
满足
，当
时，
，
若函数
在
上有400个零点，求
的最小值（）
A.5B.8C.11D.12
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________，体积为_________．
12.已知
是公差为
的等差数列，
为其前
项和，则
成等比数列，则
，当
时，
有最大值.
13.在二项式
的展开式中，所有有理项系数之和为，把所有项进行重新排列，则有理项互不相邻的排法有种.
14．在
中，角
所对的边分别为
．若
，
，则
，若
，则
面积的最大值是______.
15.设集合
，
，若
，则实数
的取值范围是.
16．已知双曲线
的右焦点为
，过
的直线
与双曲线的渐近线交于
两点，且与期中一条渐近线垂直，若
，则此双曲线的离心率为.
17．空间单位向量向量
满足
.空间区域
是由所有满足
的点
构成，且区域
的体积为
，则
的最小值为_________.
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.（14分）函数
的图像过点
，且相邻个最高点与最低点的距离为
.
（1）求函数
的解析式和单调增区间；
（2）若将函数
图像上所有的点向左平移
个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的
，得到函数
的图像，求
在
上的值域.
19.（15分）在如图所示几何体中，平面
平面
，四边形
为等腰梯形，四边形
为菱形.已知
，∠
，
.
（1）线段
上是否存在一点
使得
平行于平面
？
证明你的结论；
（2）若线段
在平面
上的投影长度为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
20.（15分）已知实数
满足
，设函数
.
（1）当
时，求
在
上的最小值；
（2）已知函数
的极小值点与
的极小值点相同，求
极大值的取值范围.
21.（15分）已知抛物线
:
且抛物线
在点
处的切线斜率为
.直线
与抛物线交于不同的两点
，且直线
垂直与直线
.
（1）求证：
直线
过定点，并求出定点坐标；
（2）直线
交
轴于点
，直线
交
轴于点
求
的最大值.
22.（15分）已知数列
中，
，
.
（1）证明：
是等比数列；
（2）当
是奇数时，证明：
；
（3）证明：
.
首命题：
长兴中学次命题兼审校：
温岭中学审核：
嘉兴市第一中学
2017学年第二学期浙江省名校协作体参考答案
高三年级数学学科
首命题：
长兴中学次命题兼审校：
温岭中学审核：
嘉兴市第一中学
一、选择题（每小题4分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
D
D
B
C
B
B
C
二、填空题（11-14题每题6分；15-17题每题4分，共36）
11.
，
；12.
，10；
13.32，144；14.
，
；
15.
；16.
；
17.8
三、解答题（18题14分，19-22题每题15分，共74分）
18.（14分）
（1）由已知相邻的两个最高点和最低点的距离为
，
可得
，解得
2……（2分）
∵
∴
又∵
∴
………………（4分）
∴
……（6分）
当
单调递增时，
解得
的单调增区间为
.……（8分）
（2）由题意得到
的解析式为
……（10分）
当
时，
，
∴
……（14分）
19.（15分）
（1）在线段
上存在点
使得
平面
且
是
的中点.
证明如下：
如图，连接
交
于点
连接
.
∵四边形
为菱形，
∴
为
的中点.
在
中，由中位线定理可得
.……（4分）
∵
平面
，
平面
∴
平面
在线段
上存在点
使得
平面
且
是
的中点.（6分）
（2）
解法一：
在平面
上的投影长度为
平面
平面
作
则
平面
则
，且点
为线段
的中点
以
为原点，
方向为
轴，过
平行
方向为
轴，过
以垂直
平面方向为
轴，
轴在平面
内.
可得
，
，……………（9分）
…………（11分）
设平面
的法向量为
，则
，得
解得一个法向量为
.…………（13分）
若直线
与平面
所成角为
，则
…………（15分）
解法二：
在平面
上的投影长度为
平面
平面
作
则
平面
则
，且点
为线段
的中点
∴
…………（7分）
设点
到平面
的距离为
，
，…………（8分）
取
的中点
，连接
.取
的中点
，连接
.
且
为
的中点
∴
平面
即
为直角三角形
………………（12分）
∴
…………（14分）
设直线
与平面
所成角为
，则
……（15分）
20．（15分）
（1）当
时，
.……（1分）
，令
，解得
……（2分）
-1
1
2
∵
在
上单调递增，在
单调递减……（4分）
∴
……（6分）
……（8分）
（2）
当
时，
的极小值点
，则
的极小值点也为
.……（10分）
，则
，
，
仅有两根.
令
则
即，
.…………（12分）
当
，
，
时，
当
时，
所以
极大值的取值范围是
…………（15分）
21.（15分）
（1）
当
时，得
，∴
∴抛物线的方程为
……（2分）
设
∵
，
∴
，解得
…………（4分）
又∵
∴直线
即
…………（6分）
将
式代入
得
令
解得直线
过定点
…………（8分）
（2）设直线
方程为：
，不妨设
联立
，得
，
利用韦达定理得
，∴
由于
，同理可得
…………（10分）
又∵
∴
……（12分）
∴
∴
的最大值为
.…………（15分）
22.（15分）
（1）
又
数列
是首项为
，公比为
的等比数列.…………（5分）
（2）由
（1）可知
即
当
是奇数时，
…………（10分）
（3）当
为偶数时，
…………（11分）
…………13分
当
为奇数时，
…………（15分）
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