七年级数学上第三章一元一次方程导学案人教版.docx
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七年级数学上第三章一元一次方程导学案人教版
2017年七年级数学上第三章一元一次方程导学案（人教版）
第三章一元一次方程
课题3.1.1一元一次方程
【学习目标】
1、能根据题意用字母表示未知数，然后分析出等量关系,再根据等量关系列出方程。
2、理解什么是一元一次方程。
3、理解什么是方程的解及解方程，学会检验一个数值是不是方程的解的方法。
【重点难点】体会找等量关系，会用方程表示简单实际问题，能验证一个数是否是一个方程的解。
【导学指导】
一、温故知新
1：
前面学过有关方程的一些知识，同学们能说出什么是方程吗?
答：
叫做方程。
2：
判断下列是不是方程,是打“√”，不是打“×”：
①；（）②3+4=7；（）
③；（）④；（）
⑤；（）⑥；（）
二、自主探究
例1根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程：
（1）用一根长为24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？
解：
设正方形的边长为cm，列方程得：
。
（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？
解：
设x月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时；
列方程得：
。
（3）某校女生人数占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
解：
设这个学校学生数为，则女生数为，
男生数为，依题意得方程：
。
1.一元一次方程的概念
观察下面方程的特点
（1）4=24；
（2）1700+150=2450
（3）0.52x-（1-0.52x）=80
小结：
象上面方程，它们都含有个未知数（元），未知数的次数都是，这样的方程叫做一元一次方程。
（即方程的一边或两边含有未知数）
2.方程的解
如何求出使方程左右两边相等的未知数的值？
如方程=4中，=？
方程中的呢？
请用小学所学过的逆运算尝试解决上面的问题。
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
例检验2和-3是否为方程的解。
解：
当x=2时，
左边==，
右边==，
∵左边右边（填＝或≠）
∴x=2方程的解（填是或不是）
当x=时，
左边==，
右边==，
∵左边右边（填＝或≠）
∴x=3方程的解（填是或不是）
【当堂训练】
1.判断下列是不是一元一次方程,是打“√”，不是打“×”：
①=4；（）②；（）
③；（）④；（）
⑤；（）⑥3+4=7；（）
2.检验3和-1是否为方程的解。
3.x=1是下列方程（）的解：
（A），（B），
（C）），（D）
4、已知方程是关于x的一元一次方程，则a=。
【课堂练习】
1.课本80页练习
2.练习本每本0.8元，小明拿了10元钱买了若干本，还找回4.4元。
问：
小明买了几本练习本？
3.长方形的周长为24cm，长比宽多2cm，求长和宽分别是多少。
4．检验2和是否为方程的解。
【课堂小结】：
上面的分析过程可以表示如下：
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
【拓展训练】：
1.根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程：
（1）某校女生人数占全体学生数的55%，比男生多50人，这个学校有多少学生？
（2）A、B两地相距200千米，一辆小车从A地开往B地，3小时后离B地还有20千米，求小卡车的平均速度。
2.老师要求把一篇有2000字的文章输入电脑，小明输入了700字，剩下的让小华输入，小华平均每分钟能输入50个字，问：
小华要多少分钟才能完成？
（请设未知数列出方程，并尝试求出方程的解）
3.1.2等式的性质
【学习目标】：
掌握等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程；
【重点难点】：
运用等式两条性质解方程；
【导学指导】
一、知识链接
1．什么是等式？
用等号来表示相等关系的式子叫等式．
例如：
m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y这样的式子，都是等式；
2.方程是__________的等式，为了讨论解方程，我们先来研究等式有什么性质？
二、自主学习
1．探索等式性质．
（1）观察课本82页图3．1-2，由它你能发现什么规律？
从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还_________；
从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是___________；
等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质．
等的性质1：
等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果________；
怎样用式子的形式表示这个性质？
注：
运用性质1时，应注意等号两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式才能保持所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系；
（2）观察课本图3．1-3，由它你能发现什么规律？
可以发现，如果把平衡的天平两边的量都乘以（或除以）同一个量，天平还________；
等式性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，结果仍_________；
怎样用式子的形式表示这个性质？
注：
运用性质2时，应注意等式两边都乘以（或除以）同一个数，才能保持所得结果仍是等式，但不能除以0，因为0不能作除数。
2.等式的性质的应用
例2利用等式的性质解下列方程：
（1）x+7=26；
（2）-5x=20；（3）-x-5=4．
解：
（1）根据等式性质____，两边同______，得：
（2）分析：
-5x=20中-5x表示-5乘x，其中-5是这个式子-5x的系数，式子x的系数为1，-x的系数为-1，如何把方程-5x=20转化为x=a形式呢？
即把-5x的系数变为1，应把方程两边同除以______．
解：
根据等式性质____，两边都除以____，得
于是x=_____
（3）分析：
方程-x-5=4的左边的-5要去掉，同时还要把-x的系数化为1，如何去掉-5呢？
根据两个互为相反数的和为______，所以应把方程两边都加上____。
解：
根据等式性质______，两边都加上_____，得
-x-5+5=4+5
化简，得-x=9
再根据等式性质____，两边同除以-（即乘以-3），得
-x•（-3）=9×（-3）
于是x=_____
请同学们自己代入原方程检验；
【当堂训练】：
1．课本第83页练习；
【课堂小结】：
1．根据等式的两条性质，对等式进行变形必须等式两边同时进行，即：
同时加或减，同时乘或除，不能漏掉一边；
2．等式变形时，两边加、减、乘、除的数或式必须相同．
3．利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0；
【拓展训练】
1.回答下列问题：
（1）从a+b=b+c，能否得到a=c，为什么？
（2）从a-b=c-b，能否得到a=c，为什么？
（3）从ab=bc能否得到a=c，为什么？
（4）从=，能否得到a=c，为什么？
（5）从xy=1，能否得到x=，为什么？
2.利用等式的性质解下列方程并检验
（1）-3x=15；
（2）x-1=5；
【总结反思】：
3.2解一元一次方程
（一）
──合并同类项
【学习目标】：
会列一元一次方程解决实际问题，并会合并同类项解一元一次方程；
【重点难点】重点：
会合并同类项解一元一次方程；
难点：
会列一元一次方程解决实际问题；
【导学指导】
一、温故知新：
1．等式性质1：
等式性质2：
2．解方程：
（1）x-9=8；
（2）3x+1=4；
二、自主探究：
1．问题1：
某校三年级共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？
分析：
设前年这个学校购买了x台计算机，已知去年购买数量是前年的2倍，那么去年购买___台，又知今年购买数量是去年的2倍，则今年购买了______（即____）台；
题目中的相等关系为：
三年共购买计算机140台，即
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140
列方程：
_____________
如何解这个方程呢？
根据分配律，x+2x+4x=（______）x=7x；
这样就可以把含x的项合并为一项，合并时要注意x的系数是1，不是0；
下面的框图表示了解这个方程的具体过程：
x+2x+4x=140
↓合并同类项
7x=140
↓系数化为1
x=20
由上可知，前年这个学校购买了20台计算机．
上面解方程中“合并”起了化简作用，把含有未知数的项合并为一项，从而达到把方程转化为ax=b的形式，其中a、b是常数．
2.自己试着完成
例1解方程
（1）
（2）；
例2：
有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243……其中某三个相邻数的和是－1701，这三个数各是多少？
引导学生观察这列数有什么规律？
（从符号和绝对值两方面）
学生讨论后发现：
后面一个数是前一个数的－3倍。
师生共同分析，完成解答过程：
解：
设这三个相邻数中的第一个数为x,则第2个数为－3x，第3个数为－3×（－3x）=9x
根据这三个数的和是－1710，得
x－3x＋9x=－1710
合并同类项，得
7x=－1710
系数化为1，得
x=－243
所以－3x=729
9x=－2187
答：
这三个数是－243、729、－2187
引导学生讨论以上列方程解决实际问题的关键。
学生讨论、分析：
探索规律，找出相等关系
如有学生提出不同的设未知数的方法，同样给予鼓励。
【当堂训练】
1．课本第88页练习；
2．某班学生共60人，外出参加种树活动，根据任务的不同，要分成三个小组且使甲、乙、丙三个小组人数之比是2：
3：
5，求各小组人数．
思路：
这里甲、乙、丙三个小组人数之比是2：
3：
5，就是说把总数60人分成___份，甲组人数占___份，乙组人数占___份，丙组人数占___份，如果知道每一份是多少，那么甲、乙、丙各组人数都可以求得，所以本题应设每一份为x人．
关键：
本题中相等关系是什么？
_____________________________________．
解：
设每一份为x人，则甲组人数为__人，乙组人数为___人，丙组为___人，列方程：
_______________
合并，得________
系数化为1，得x=___
所以2x=____，3x=_____，5x=______
答：
甲组_____人，乙组___人，丙组______人．
请同学们检验一下，答案是否合理，即这三组人数的比是否是2：
3：
5，且这三组人数之和是否等于60；
3.三个连续偶数的和是30，求这三个偶数。
【课堂小结】：
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤中，找等量关系是关键也是难点，本节课的两个问题的相等关系都是：
“各部分量的和＝总量”；这是一个基本的相等关系；
合并就是把类型相同的项系数相加合并为一项，也就是反用乘法分配律，合并时，注意x或-x的系数分别是1，-1，而不是0；
【拓展训练】
1.足球的表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑白皮块的数目比为3：
5，一个足球的表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？
解：
设每份为_____个，则黑色皮块有_____个，白色皮块有_______个
列方程_________
合并，得_________
系数化为1，得x=_____
黑色皮块为___×___=____（个），白色皮块有____×___=____（个）
2.某学生读一本书，第一天读了全书的多2页，第二天读了全书的少1页，还剩23页没读，问全书共有多少页？
（设未知数，列方程，不求解）
解：
设全书共有____页，那么第一天读了（）页，第二天读了（）页．
本问题的相等关系是：
_____________+_______________+_____________=全书页数；
列方程：
_______________________。
3.在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这三天的日期的数字之和是39；
（1）培训时间是连续的三天，你知道这几天分别是当月的哪几号吗？
（2）若培训时间是连续三周的周六，那这几天又分是当月的哪几号？
学生练习，教师点评。
【总结反思】：
3.2解一元一次方程
（一）
──移项
【学习目标】：
运用方程解决实际问题，会用移项法则解方程；
【重点难点】重点：
运用方程解决实际问题，会用移项法则解方程；
难点：
理解“移项法则”的依据，以及寻找问题中的等量关系；
【导学指导】
一、知识链接
解方程：
（1）3x-2x=7；
（2）x+x=3；
二、自主探究
1.问题2：
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？
分析：
设这个班有x名学生，根据第一种分法，分析已知量和未知量间的关系；
（1）每人分3本，那么共分出______本；共分出3x本和剩余的20本，可知道这批书共有________本；
根据第二种分法，分析已知量与未知量之间的关系．
（2）每人分4本，那么需要分出_______本；需要分出4x本和还缺少25本那么这批书共有________本；
这批书的总数是一个定值（不变量）,表示它的两个式子应相等；
根据这一相等关系，列方程：
__________________；
本题还可以画示意图，帮助我们分析：
注意变化中的不变量，寻找隐含的相等关系，从本题列方程的过程，可以发现：
“表示同一个量的两个不同式子相等”．
分析：
方程3x+20=4x-25的两边都含有x的项（3x与4x），也都含有不含字母的常数项（20与-25）怎样才能使它转化为x=a（常数）的形式呢？
要使方程右边不含x的项，根据等式性质1，两边都减去4x，同样，把方程两边都减去20，方程左边就不含常数项20，即
3x+20-4x-20=4x-25-4x-20
即3x-4x=-25-20
将它与原来方程比较，相当于把原方程左边的+20变为-20后移到方程右边，把原方程右边的4x变为-4x后移到左边．
像上面那样，把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程等号右边的项改变符号后移到等号的左边，也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边，注意要先变号后移项，别忘了变号．
下面的框图表示了解这个方程的具体过程．
3x+20=4x-25
↓移项
3x-4x=-25-20
↓合并同类项
-x=-45
↓系数化为1
x=45
由此可知这个班共有45个学生．
2.例3解方程
（1）3x+7=32-2x
（2）（自己动手做一做）
【当堂训练】：
1．解方程：
（1）6x-7=4x-5
（2）x-6=x（3）3x+5=4x+1（4）9-3y=5y+5
【课堂小结】：
上面解方程中“移项”的作用很重要：
“移项”使方程中含x的项归到方程的同一边（左边），不含x的项即常数项归到方程的另一边（右边），这样就可以通过“合并”把方程转化为x=a形式．
在解方程时，要弄清什么时候要移项，移哪些项，目的是什么？
解方程时经常要“合并同类项”和“移项”，前面提到的古老的代数书中的“对消”和“还原”，指的就是“合并”和“移项”；
【拓展训练】
火眼金睛：
下列移项对不对？
如果不对，错在哪里？
应当怎样改正？
（1）从3x+6=0得3x=6；
（2）从2x=x-1得到2x-x=1；
（3）从2+x-3=2x+1得到2-3-1=2x-x；
【总结反思】：
3.3解一元一次方程
（二）
----去括号
【学习目标】：
1、了解“去括号”是解方程的重要步骤；
2、准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的方程；
3、列一元一次方程解应用题时，关键是找出条件中的相等关系。
【重点难点】重点：
了解“去括号”是解方程的重要步骤。
难点：
括号前是“－”号的，去括号时，括号内的各项要改变符号，乘数与括号内多项式相乘，乘数应乘遍括号内的各项。
【导学指导】
一、知识链接
1、叙述去括号法则，化简下列各式：
（1）=；
（2）=；
（3）=；
2、解方程：
2x+5=5x-7
前几节学习的是不带括号的一类方程的解法，本节课是学习带有括号的方程的解法，如果去掉括号，就与前面的方程一样了，所以我们要先去括号。
要去括号，就要根据去括号法则，及乘法分配律，特别是当括号前是“－”号，去括号时，各项都要变号，若括号前有数字，则要乘遍括号内所有项，不能漏乘并注意符号。
二、自主学习
问题：
你会解方程吗？
这个方程有什么特点？
解：
去括号，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得。
例1解方程
（1）
（2）
注意：
1、当括号前是“－”号，去括号时，各项都要变号。
2、括号前有数字，则要乘遍括号内所有项，不能漏乘并注意符号。
解：
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得
。
学生学着完成第
（2）题，（指导学生正确书写格式）
例2一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。
已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。
（教师引导学生寻找相等关系，列出方程。
）
顺水行速=船速度+水流速度
逆水行速=船速度-水流速度
船速度指水不动（静水中）的速度.
一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，由此可填空：
顺流速度________顺流时间________逆流速度_________逆流时间
解：
设船在静水中的平均速度为千米/时，则顺流行驶的速度为千米/时，逆流行驶的速度为千米/时，
根据相等，得方程
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
答：
船在静水中的平均速度为千米/时。
【当堂训练】
1、解方程：
（1）
（2）
2、课本95页练习
【课堂小结】
去括号时要注意什么？
【拓展训练】
列方程求解：
（1）当x取何值时，代数式和的值相等？
（2）当x取何值时，代数式4x－5与3x－6的值互为相反数？
（3）当y取何值时，代数式2（3y＋4）的值比5（2y－7）的值大3？
【总结反思】：
1.3解一元一次方程
（二）
----去分母
【学习目标】：
1、会运用等式性质2正确去分母解一元一次方程。
2、会运用方程解决实际问题。
【重点难点】重点：
去分母解方程。
难点：
去分母时，不含分母的项会漏乘公分母，及没有对分子加括号。
【导学指导】
一、知识链接
1、解方程：
（1）4-3（2-x）=5x
（2）=3x-1
2、求下列各数的最小公倍数：
（1）2，3，4；
（2）3，6，8；
（3）3，4，18；
在上面的1、
（2）中，可以保留分母，也可以去掉分母，得到整数系数，这样做比较简便。
所以若方程中含有分母，则应先去掉分母，这样过程比较简便。
二、自主探究
1.解方程：
解：
两边都乘以，去分母，得依据
去括号，得依据
移项，得依据
合并同类项，得依据
系数化为1，得依据
练习：
解方程：
例3解方程：
（1）
（2）
解：
（1）两边都乘以，去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（2）学生上述格式自己写出解答过程。
（老师点拔：
去分母时不要漏乘每一项，去分母后分子是多项式的要用括号括起来。
）
【当堂训练】
1.小明是个“小马虎”下面是他做的题目，我们看看对不对？
如果不对，请帮他改正。
（1）方程去分母，得；
（2）方程去分母，得；
（3）方程去分母，得；
（4）方程去分母，得。
2.课本第98页练习
【课堂小结】：
1、解一元一次方程的一般步骤为：
①去分母,②去括号,③移项,④合并同类项,⑤系数化为1。
2、去分母时要注意什么？
（两点：
去分母时不要漏乘每一项，去分母后分子是多项式的要用括号括起来）
【拓展训练】
解方程：
（1）；
（2）；
（3）（4）。
1、k取何值时，代数式的值比的值小1？
【总结反思】：
3.4实际问题与一元一次方程
-----产品配套问题与工程问题
【学习目标】1、进一步熟悉一元一次方程的解法。
2、会用一元一次方程解决配套问题和工程问题。
【重点难点】能准确熟练地解一元一次方程，能根据题意设未知数，列出一元一次方程
【导学指导】
一、知识链接
解一元一次方程的一般步骤为：
①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1.
二、合作探究
1、老师引导学生学习课本中例1，例2
列一元一次方程，解决实际问题的一般步骤：
1、审题，弄清题意，找出数量关系；2、设适当的未知数，根据题中的数量关系表示出另一个未知量；3、列方程，根据题意中的另一个数量关系，列出一元一次方程；4、解方程，依据解方程的步骤解出未知数的值。
5、作答。
【当课训练】
1、课本101页1、2
【课堂小结】
解配套问题的关键是找出参加配套的两个量之间的比例关系进而列方程求解；解决工程问题的关键：
（1）把总的工作量看作“1”；
（2）工作量=人均效率×人数×时间；（3）三者之间的关系：
工作总量=工作效率×工作时间
【拓展训练】
3.4实际问题与一元一次方程
销售中的盈问题
【学习目标】1、使学生能根据商品销售问题中的数量关系找出等量关系，列出方程，
掌握商品盈亏的求法；
2、培养学生分析问题，解决实际问题的能力；
3、让学生在实际生活问题中，感受到数学的价值。
【学习重点】用列方程的方法解决打折销售问题。
【学习难点】准确理解打折销售问题中的利润（利润率）、成本、销售价之间的关系。
【导学指导】
一、知识链接
随着市场经济的不断发展，商品交易成了人们日常生活中最为普遍的一种社会现象，反应在数学上，商品销售问题也成了一类非常重要的实际问题，在商品销售问题中，首先理解几个概念：
（1）成本价：
有时也称进价，是商家进货时的价格；
（2）标价：
商家在出售时，标注的价格；
（3）售价：
消费者购买时真正花的钱数；
（4）利润：
商品出售后，商家所赚的部分；
（5）利润率：
商品出售后利润与成本的比值；
（6）打折：
商家为了促销所采用的一种销售手段，打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售，如：
打8折，就是按标价的80℅出售。
其次掌握几个等量关系式：
（1）利润＝售价－进价；
（2）利润率=℅；（3）实际售价=标价×打折率；
尝试练习：
1、进价为90元的篮球，卖了120元，利润是元，利润率是元；
2、原价100元的商品打9折后价格为元；
3、原价100元的商品提价40%后的价格为元；
4、一件衬衣进价为100元,利润率为20%这件衬衣售价为______元；
5、一台电视售价为1100元,利润率为10%,则这台电视的进价为_____元；
6、一件商品按原定价八五折出售，卖价是１７元，那么原定价是____元。
二、自主探究
自学课本P102探究1：
1．提问：
①如何判定是盈还是亏？
②盈利率、亏损率指的是什么？
③这一问题情境中哪些是已知量？
哪些未知量？
如何设未知数？
相等关系是什么？
如何列方程?
2．写出正确的、完整的解题过程。
【当堂训练】
1、两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（）。
A．赢利16.8元B．亏本3元C．赢利3元D．不赢不亏
2、一批校服按八折出售，每件为x元，则这批校服每件的原价为（）
A.80%χ元B.C.20%χ元D.
3、一家三人（父、母、女儿）准备参加旅行团外出旅游,甲旅行社告知:
“父母买全票,女儿按半价优惠”,乙旅行社告知:
“家庭旅游可按团体票计价,即每人均按8折优惠收费。
”若这两家旅行社每人的原票价相同,那么优惠
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