备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题11 函数应用问题答案解析.docx

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备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题11函数应用问题答案解析

【高考地位】

应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。

数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。

在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.

【方法点评】

类型解函数应用题的一般步骤

使用情景：

函数的实际应用问题

解题模板：

第一步审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

第三步解模——求解数学模型，得到数学结论；

第四步还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理

性.

例1为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）。

（1）求函数的解析式及其定义域；

（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？

【答案】

（1），定义域为；

（2）11元．

【解析】

试题分析：

（1）分、根据净收入与日租金的关系分段求得函数的解析式；

（2）根据函数的单调性分段求得各段函数的最大值，从而求得自行车的日租金的定价．

（2）对于，显然当时，（元）．

对于，

当时，（元）∵，

∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．

考点：

1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．

【思路点睛】

（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；

（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．

例2如图，某单位准备修建一个面积为平方米的矩形场地（图中）的围墙，且要求中间用围墙隔开，使得图中为矩形，为正方形．已知围墙（包括）的修建费用均为元/米．设米，围墙（包括）的修建总费用为元．

（1）求出关于的函数关系式；

（2）当为何值时，围墙（包括）的修建总费用最小？

并求出的最小值．

【答案】

（1）；

（2）当为米时，最小，的最小值为元．

【解析】

试题分析：

（1）借助题设条件建立方程求解；

（2）借助题设运用基本不等式的知识探求．

考点：

基本不等式等有关知识在实际生活中的综合运用．

【易错点晴】应用题是高中数学问题中的常见题型,也是高考常考题型之一．这类问题的解答思路是:

一、仔细阅读问题中的文字叙述；二、理解题意搞清问题中的数量关系；三、构建合适的数学模型；四、运用数学知识进行分析和求解．本题以修建围墙的费用为背景设置的实际问题,其目的是考查基本不等式等有关知识的综合运用．求解时先阅读理解题意,再构建函数关系,最后再运用基本不等式求解,从而使得问题获解．

例3某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为．计划修建的公路为，如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为5千米和40千米，点到的距离分别为20千米和2．5千米，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系．假设曲线符合函数（其中为常数）模型．

（1）求的值；

（2）设公路与曲线相切于点，的横坐标为．

①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；

②当为何值时，公路的长度最短？

求出最短长度．

【答案】

（1）；

（2）①；②当时，公路的长度最短，最短长度为千米．

【解析】

试题解析：

（1）由题意知，点的坐标分别为．

将其分别代入，得，解得．

（2）①由

（1）知，，则点的坐标为，

设在点处的切线交轴分别交于点，，

则的方程为，由此得．

故

考点：

导数及其应用．

【变式演练1】在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南方向300km的海面处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

受到台风侵袭的时间有多少小时？

【答案】小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风侵袭的时间有小时．

【解析】

试题分析：

建立坐标系，设在时刻：

台风中心的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中，若在时，该城市受到台风的侵袭，则有，进而可得关于的一元二次不等式，求得的范围，答案可得．

答：

12小时后该城市开始受到台风气侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时．

考点：

解三角形的实际应用．

【变式演练2】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：

一年内上游来水与库区降水之和，单位：

亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．

（Ⅰ）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；

年入流量

发电机最多可运行台数

1

2

3

若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

【答案】（Ⅰ）根据题意先分别计算的概率，再根据二项分布原理计算年、和年年入流量超过的概率即可；（Ⅱ）分别计算安装台、台、台发电机时水电站利润的均值，比较它们的大小，可得到应安装台发电机.

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）；（Ⅱ）台.

（Ⅱ）记水电站总利润为（单位：

万元），由于水库年入流量总大于，所以至少安装台.

①安装台发电机的情形：

由于水库处入流量总大于，所以一台发电机运行的概率为，

对应的年利润为，，

②安装台发电机的情形：

当时，一台发电机运算，此时，所以

；

当，两台发电机运行，此时，

因此，

此时的分布列如下：

.

此时，所以的分布列如下：

所以

综上，欲使水电站年利润的均值达到最大值，应安装台发电机.

考点：

1.古典概型；2.二项分布；3.离散型随机变量的分布列与期望.

【变式演练3】重庆某重点中学高一新生小王家在县城A地，现在主城B地上学。

周六小王的父母从早上8点从家出发，驾车3小时到达主城B地，期间由于交通等原因，小王父母的车所走的路程（单位：

km）与离家的时间（单位：

h）的函数关系为。

达到主城B地后，小王父母把车停在B地，在学校陪小王玩到16点，然后开车从B地以的速度沿原路返回。

（1）求这天小王父母的车所走路程（单位：

km）与离家时间（单位：

h）的函数解析式；

（2）在距离小王家60处有一加油站，求这天小王父母的车途经加油站的时间。

【答案】

（1）

（2）小王父母这天途经该加油站的时间分别为9点和17点30分

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）根据题意，可得分段函数解析式，关键是确定返回时函数的解析式；（Ⅱ）利用分段函数解析式，建立方程，即可求得结论

试题解析：

（1）依题意得当时，。

。

即小王家距B点150km。

小王父母的车在B地逗留时间为。

小王父母从B地回家所花时间为。

。

故

（2）当时，令，得（舍去）。

当时，时间为9点。

当，所以当时，时间为17点30分。

答：

小王父母这天途经该加油站的时间分别为9点和17点30分。

考点：

根据实际问题选择函数类型.

【变式演练4】某企业共有20条生产线，由于受生产能力和技术水平等因素的影响，会产生一定量的次品.根据经验知道，每台机器产生的次品数万件与每台机器的日产量万件之间满足关系：

.已知每生产1万件合格的产品可以以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元.

（Ⅰ）试将该企业每天生产这种产品所获得的利润表示为的函数；

（Ⅱ）当每台机器的日产量为多少时，该企业的利润最大，最大为多少？

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）,利润最大，最大为.

【解析】

试题解析：

（Ⅰ）根据题意，该企业所得利润为：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

.

考点：

导数的实际应用.

【变式演练5】市场上有一种新型的强力洗衣粉，特点是去污速度快，已知每投放（且）个单位的洗衣粉液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起有效去污的作用.

（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟？

（2）若先投放2个单位的洗衣液，6分钟后投放个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：

取）.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】

试题分析：

（1）当时，代入，依题意有效去污满足，即或，解得，故有效去污时间可能达分钟；

（2）由于某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，故设项对应的浓度为，此时，，，，令，将浓度相加，得，分离参数得，利用换元法和基本不等式求得，故的最小值为.

试题解析：

考点：

应用问题，分段函数．

【高考再现】

1.【2016高考江苏卷】（本小题满分14分）

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高的四倍.

（1）若则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当为多少时，仓库的容积最大？

【答案】

（1）312

（2）

【解析】

所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积

所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.

（2）设A1B1=a（m）,PO1=h（m），则0

因为在中，

所以，即

于是仓库的容积，

从而.

令，得或（舍）.

当时，，V是单调增函数；

当时，，V是单调减函数.

故时，V取得极大值，也是最大值.

因此，当时，仓库的容积最大.

考点：

函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积

【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏应用题，往往需结合导数知识解决相应数学最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.

2.【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）

（