工程力学作业参考答案.docx
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工程力学作业参考答案
工程力学课后解答
5.9题图5.9所示中段开槽的杆件，两端受轴向载荷P的作用，试计算截面1-1和2-2上的应力。
已知：
P=140kN，b=200mmbo=100mmt=4mm。
题图2.9
解：
（1）计算杆的轴力
N1=N2=P=140kN
（2）计算横截面的面积
2
A二bt=2004=800mm
A2=（b-b0）t=（200-100）4=400mm2
（3）计算正应力
N
A1
1401000
800
=175MPa
N2
A2
1401000
400
=350MPa
（注：
本题的目的是说明在一段轴力相同的杆件内，横截面面积小的截面为该段的危险截面）
2.10横截面面积A=2cm的杆受轴向拉伸，力P=10kN求其法线与轴向成30
的及45°斜截面上的应力；［.及■-.，并问-max发生在哪一个截面?
（1）
解:
计算杆的轴力
N=P=10kN
（2）计算横截面上的正应力
101000
2100
=50
MPa
计算斜截面上的应力
=37.5
MPa
3「訥（230）哼訂.6MPa
'45
MPa
JI
=—=45
4
sin（245）=501=25
22
⑷・max发生的截面
dcos（2H0取得极值d：
cos（2二）=0
因此：
2〉
2
故：
Fax发生在其法线与轴向成45°的截面上。
（注：
本题的结果告诉我们，如果拉压杆处横截面的正应力，就可以计算该处任意方向截面的正应力和剪应力。
对于拉压杆而言，最大剪应力发生在其法线与轴向成45°的截面上，最大正应力发生在横截面上，横截面上剪应力为零）
2.17题图2.17所示阶梯直杆ACF=10kN,li=l2=400mmA=2Ae=100mmE=200GPa试计算杆AC的轴向变形△l。
题图2.17
解：
（1）计算直杆各段的轴力及画轴力图
弘=P=10kN（拉）
N2—P二-10kN（压）
丨L
jV
iokjsr
XT
IOkN
（2）计算直杆各段的轴向变形
Nili
EAi
101000400
2001000100
=0.2mm
（伸长）
ea2
1000400=-0.4mm
200100050
（缩短）
⑶直杆AC的轴向变形
l=./：
=|2=-0.2mm
（缩短）
（注：
本题的结果告诉我们，直杆总的轴向变形等于各段轴向变形的代数和）
2.20题图2.20所示结构，各杆抗拉（压）刚度EA相同，试求节点A的水平和垂直位移。
题图2.20
（a）解：
（1）计算各杆的轴力
以A点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得
'X=0,2二P（拉）
'Y=0，N’=0
（2）计算各杆的变形
11=0
二Hk二Pl/cos45
EAEA
Pl
EA
（3）计算A点位移
%
■'7A
以切线代弧线，A点的位移为:
_心12二2PI
—Q—
cos45EA
=0
（b）解：
（1）计算各杆的轴力
以A点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得
'X=0,Ni=2P（拉）
'Y=0，N2二-P（压）
（2）计算各杆的变形
'li
N1I1
.2P2a
2Pa
EA
EA
EA
伸长）
习2
NA
EA
Pa_Pa
EAEA
（缩短）
（3）计算A点位移
以切线代弧线，A点的位移为:
：
xa=ABCA=「hi2
cos45
22PaPa
EAEA
=（221）EA
-■:
ya一~■：
12
EA
［注：
①本题计算是基于小变形假设（材料力学的理论和方法都是基于这个假设）,在此假设下，所有杆件的力和变形都是沿未变形的方向。
②计算位移的关键是以切线代弧线。
）
2.15如题图2.15所示桁架，a=30。
，在A点受载荷P=350kN,杆AB由两
根槽钢构成，杆AC由一根工字钢构成，设钢的许用拉应力［「］=160MPa，许用
压应力［匚J=100MPa。
试为两根杆选择型钢号码
题图2.15
解：
（1）计算杆的轴力
以A点为研究对象，如上图所示，由平衡方程可得
'X=0,N2cos：
-2cos：
=0
二丫=0，Nisin二：
N2sin:
-P=0
•••弘=P=350kN（拉）
N2=N1=350kN（压）
（2）计算横截面的面积
根据强度条件：
二max=N乞［二］，有
A
_N13501000=2187.5mm2，A_1093.75mm2
[G]160
A2
N2
［；「c］
3501000
100
2
二3500mm
（3）选择型钢
通过查表，杆AB为No.10槽钢，杆BC为No.20a工字钢。
（注：
本题说明，对于某些材料，也许它的拉、压许用应力是不同的，需要根据杆的拉、压状态，使用相应得许用应力）
2.25题图2.25所示结构，AB为刚体，载荷P可在其上任意移动。
试求使CD杆重量最轻时，夹角a应取何值？
题图2.25
解：
（1）计算杆的轴力
载荷P在B点时为最危险工况，如下图所示
以刚性杆AB为研究对象
Ma=0，NCDsin：
I-P21=0
NCD
2P
sin-■
（2）计算杆CD横截面的面积
设杆CD的许用应力为［匚］，由强度条件，有
ANNcd2PA
［二］［匚］［匚］sin:
-
⑶计算夹角:
设杆CD的密度为t，则它的重量为
W=Z=-ACD='A-cosa
2「pi_Bi
［二］sin：
cos：
［二］cos2：
从上式可知，当--45时，杆CD的重量W最小。
（注：
本题需要注意的是：
①载荷P在AB上可以任意移动，取最危险的工作状
况（工况）：
②杆的重量最轻，即体积最小。
）
2.34题图2.34所示结构，AB为刚性梁，1杆横截面面积A=1cm1,2杆A=2cm1,a=1m两杆的长度相同，E=200GPa许用应力[ct]=160MPa[（Tb]=100MPa试
以刚性杆AB为研究对象，如下图所示
'MA=0，NaN22a-P3a=0
即：
N「2N2=3P⑴
该问题为一次静不定，需要补充一个方程。
（2）变形协调条件
B
2A11=△12
计算杆的变形由胡克定理，有
代入式⑵得:
2N1aN2a
EAi
EA2
即：
空n2
1
AiA2
计算载荷与内力之间关系由式⑴和⑶，解得：
3A1
二A_^N2
6A2
计算许可载荷
如果由许用压应力［cb］决定许可载荷，有:
R］二人］^［汕］=A；：
A2［竹］人+4A2）［阵］
3A］3A］3
1
=（1004200）100=30000（N）=30（kN）
3
如果由许用拉应力［ct］决定许可载荷，有：
A+4A2A+4A21
[R]1-[N2]-±t]A辽（Al4A2）[「]
6A26A26
1（1004200）160=24000（N）=24（kN）
6
比较两个许可载荷，取较小的值，即
[P]二minjPb],[Pt]?
二24（kN）
（注：
本题需要比较由杆1和杆2决定的许可载荷，取较小的一个值，即整个结构中，最薄弱的部位决定整个结构的许可载荷。
）
2.42题图2.42所示正方形结构，四周边用铝杆（Ea=70GPaaa=21.6X10-6C-1）；对角线是钢丝（兵=70GPaas=21.6X10-6C-1），铝杆和钢丝的横截面面积之比为2:
1。
若温度升高△T=45C时，试求钢丝内的应力。
解:
示,
（1）利用对称条件对结构进行简化
由于结构具有横向和纵向对称性，取原结构的1/4作为研究的结构如下图所
（2）计算各杆的轴力
以A点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得
'X=0，Nscos45-Na=0
即：
Ns=2Na①
（3）变形协调关系
2
如上图所示，铝杆与钢丝的变形协调关系为:
钢丝的伸长量为:
（设钢丝的截面积为A）
讥八「si
EMJNA）
铝杆的伸长量为:
Nala=4（2：
T：
丄1-黒）
4EaA
EaAa
由①②③④式，可解得:
22EaEs
Ns
2'2EaEs°a
（4）计算钢丝的应力
Ns2、2EaEs
Cj==
A2^2Ea+E
^"r7^io?
2o^io：
（2i^io-
2270103200103
-11.710冷45=44.3（MPa）3.8
3.8所示夹剪，销钉B的直径d=5mmf肖钉与被剪钢丝的材料相同，剪切极限应力\=200Mpa销钉的安全系数n=4，试求在C处能剪断多大直径的钢丝
onn匚3
4
解：
设B,C两点受力分别为F1,F2
剪切许用应力为：
丨」-u=50Mpa
n
对B点，有力矩和为零可知：
Mb=0,即：
F1=4P
由力平衡知：
F1+P=F2
F2=5F（
4
其中：
F2=「A=12.5二d2
故：
Fi=10二d2
又由强度要求可知:
即:
Fi
=、.5=2.24mm
3.11车床的转动光杆装有安全联轴器，当超过一定载荷时，安全销即被剪断。
已知安全销的平均直径为5mm其剪切强度极限^=370Mpa求安全联轴器所能
传递的力偶矩m.
轴套筒安全栓光杆
解：
设安全销承受的最大力为，贝U:
F=b丄二d2
4
那么安全联轴器所能传递的力偶矩为：
m=FD
其中％=370Mpab=5mmD=20mm
代入数据得：
力偶矩m=145.2Nm
4.7求题图4.7中各个图形对形心轴
z的惯性矩I
3
解：
（1）M1部分：
姑習mm4
2
Iz=1z1+aA=
3
80020
12
44
2080mm=287.57cm
对II部分:
_201203
Iz=mm
Z212
zii
Z2
+a2A=20120
12
120
+—
2
20-52
44
20120mm=476.11cm
所以：
―+吒=763.73cm4
200
**120
⑵
33
对完整的矩形:
.bh1202004
Iz===8000cm
弓1212
对两个圆:
Iz
II
=2
Gd4
64
a2A
=2
502二202
=653.12cm4
所以：
—匚|=7346.88曲
4.9题图4.9所示薄圆环的平均半径为r，厚度为t（r_t）.试证薄圆环对任意直径的惯性矩为I=~r3t，对圆心的极惯性矩Ip=2二r3t。
解：
（i）设设圆心在原点，由于是圆环，故惯性矩对任意一直径相等，为:
4
I=/（1_0（）其中G=
64D
所以：
•■
*
I=丄M（2r+t4]l_11
64L⑵+t丿」
兀工22
——汉（8r2+2t2><8rt
64
r工t
二I=丄汉8r2汉8rt=兀r*
64
3
⑵由一知：
极惯性矩ip=2i=2二rt
5.7
（1）用截面法分别求题图5.7所示各杆的截面1-1,2-2和3-3上的扭矩，并画出扭矩图的转向；
（2）做图示各杆的扭矩图
解：
（1）mi=m2=-2kNm,m3=3kNm
3
扭矩图
（2）T；=-20kNm,T2=-10kNm,T3=20kNm
扭矩图
-15
-EO
5.11一阶梯形圆轴如题图5.11所示。
已知轮B输入的功率NB=45kW轮A和轮
C输出的功率分别为Na=30Kw,Nc=15kW轴的转速n=240r/min,d1=60mm,
d2=40mm许用扭转角卜门=2［：
“m，材料的Ll=50Mpa,G=80Gpd试校核轴的强度和刚度。
解：
（1）设AB,BC段承受的力矩为T1,T2.计算外力偶矩：
mA=9549山=1193.6Nm
n
NC
mC=9549-=596.8Nm
n
那么AB,BC段的扭矩分别为：
T,=-mA=—1193.6Nm
T2.=-叫=596.8Nm
（2）检查强度要求
圆轴扭转的强度条件为：
隔=仏'•I可知：
（其中Wt—,di=60mm,
Wt16
d2=40mm）
TimaxT2max.
代入imax和2max得：
WWt
•imax=28.2Mpa,.2max=47.5Mpa
故:
max=47.5Mpa
（3）检查强度要求
圆轴扭转的刚度条件式为:
所以：
；'.Timaxi80
；imax=4=0.67m
G二di二
32
8
Timax
i80
2max
.4
■di
32
JT
=i.7m
Tmaxi80
A=
Tmax
i80
Glp二g
d4
32
JI
max
故：
"max=i.7m
5.i3题图5.i3所示，汽车驾驶盘的直径为520mm驾驶员作用于盘上的力P=300N转向轴的材料的许用剪应力Ix]=60Mpa试设计实心转向轴的直径。
若
改用：
=d=0.8的空心轴，则空心轴的内径和外径各位多大？
并比较两者的重
D
量。
解：
（i）当为实心转向轴时
外力偶矩m=pl=i56Nm
则扭矩T=i56Nm
圆轴扭转的强度条件为:
max
vU可知：
（其中Wt
16
-max
Wt
-J
⑵当改为-=—=0.8的空心轴时
D
圆轴扭转的强度条件为：
-max
Wt
3
D4、
（其中Wt1->）
16vf
D_28.2mmd_22.6mm
故：
空心轴D=28.2mm,d=22.6mm
（3）实心轴与空心轴的质量之比就应该是两者的横截面积之比，即:
2
=0.514
5.16题图5.16所示钻探机钻杆的外径D=60mm内径d=50mm,钻入的深度l=40m;A端输入的功率NA=15Kw转速n=180r/min,B端钻头所受的扭转力矩
Mb=300kNm；材料的丨.1=40MPaG=80GPa假设土壤对钻杆的阻力沿杆长度均匀分布，试求：
（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力距m。
（2）作钻杆的扭矩图，并校核其扭转强度。
（3）A,B两端截面的相对扭转角。
7957
300
解：
（1）钻探机A端的偶矩为:
Ma=9549Na=795.75Nm
n
那么单位长度的阻力矩为：
（2）圆轴扭转的强度条件为：
3
汀1得：
（其中WJ'^：
4）
M
m=
A-'Mb
l
=12.4N/m
max=36.2Mpa:
:
40MPa
所以满足强度要求
1T」
（3）由两截面之间的相对转角为：
=0dx
Glp
其中Ip二匝D4—d4=1.5910^m4
—dx=
GIp0
40795.75
GIp
495.75
x
—40dx=0.416rad
A,B两端截面的相对扭转角为0.416rad
6.6求题图6.6中各梁的剪力方程和弯矩方程，作剪力图和弯矩图，并求|Q|max和廿|M|max。
b）
解:
支座反力：
Xb=0,Yb=P=200N,MB=950N,
剪力方程：
Q（x）=-200N.
弯矩方程：
AC段：
M（x）=-PX
=-200Xi（0次乞2m）;
-Mo=-（200X+150）（2m乞X2乞4珂
AB
©
200
㊀
550^
—
AB
950
CB段：
M（x）=-PX
因此：
|Q|max=200N；
|M|max=950N•m
Yb
f）
ya
q
Xa-nn
2a
解:
支座反力：
3、，
9
Xa=0,丫A=
4qa，YB=
=4qa
剪力方程：
AB段:
Q（x）=^qa—qx.
（0乞x乞2a）
BC段:
Q（x）二q（3a-x）,
（2a次乞3a）
弯矩方程:
AB段:
M（x）
3qa-2qx，（0"）
BC段:
M（x）
-尹®-%）2，（2a—x—3a）
6.10不列剪力方程和弯矩方程，作题图6.10中各梁的剪力图和弯矩图，并求出
|Q|max和|M|max。
（b）
P-qay
Mo=qa2
A|
解：
支座反力:
qa
M
—52
因此：
Qmax=qa；Mmax=4qa
（f）
Ya
Yb
rq
9mmmHmnHiiiHtaHnnnn
a
T
解：
支座反力:
13
——qa
6
因此:
2
max
52
6qa
6.12作题图6.12中各构件的内力图
（b）
解:
®l1
e
wJ
2qa尸
Q
qa
（d）
解:
qa
13.设梁的剪力图如题图6..13所示，试做弯矩图和载荷图，已知梁上没有作用集中力偶。
（b）
lm
im
解:
2・5KNm
10KN
2oKN/m
H**4M*HH*MM*昇昇昇艸昇j
10KN
2oKN/m
6.14已知梁的弯矩图如题图6.14所示，是做梁的载荷图和剪力图
（b）
解:
M
Q
1KN
1KN
11
-**3KNni
3©m
1
1KN
7.920a工字钢梁的支承和受力情况如题图7.9所示。
若
［二］=160Mpa,试求许可载荷P的值
P
/]CDB\R呂
i
I」
2eu
-«n
2m
P2m
图7.9
解:
（1）求支座反力
Ra
（2）画出弯矩图
（3）求许可载荷
查表，20a工字钢的WZ=237103mm3
max
max
Wz
P誇心/kN
7.11题图7.11所示一铸造用的钢水包。
试按其耳轴的正应力强度确定充满钢水时所允许的总重量。
已知材料的许用应力［二］=100MPa
d=200mm
解：
1
Mmax二PlGl
・、“max
Mmax
wz
^2WdL]
i
21二d3I
32
l
二523kN
7.14题图7.14所示轴直径D=280mm跨长L=1000mml=450mm
b=100mm轴材料的弯曲许用应力［；「］=100NPa,求它能承受的最
大轧制力。
解：
（1）求支座反力
ra=rb=q
（2）画出弯矩图
2
max
qbl世
（3）求最大轧制力Pmax
max
Mmax
Wz
丄二D3I
=9069N/mm
32
blb2
2828
因此：
Pmax乞qb二906.9kN
7.15铸铁梁的载荷及横截面尺寸如题图7.15所示。
许用拉应力
的强度。
D
[f]=40MPa许用压应力[打=160MPa试按正应力强度条件校核梁
200
I册」—L
30
解:
（1）支座反力
Rb二30KN,Rd二10KN
（2）画弯矩图
由上面弯矩图可知，B,D两个点可能为危险截面。
|MB|=20kNmMe=10kNm
（3）强度校核
二-157.5mm
lz=lZi+IZ厂丄*20cm*（3cm）3+20cm*3cm*（20-15.75+1.5）2
12
132
*3cm*30cm3cm*20cm*（15.75cm-lOcm）
12
=6012.5cm4
B截面下边缘二bc二牛鱼二52.4MPa
1Z
MB（230-yJ…z
B截面上边缘，Bt---M/MPa
IZ
C截面下边缘二c厂牛去二26.2MPa
IZ
MC（230-yC）彳cclr仆
C截面上边缘'bc=I=12.05MPa
IZ
所以二cmax二52.4「二c汗tmax二262乞〔二J
安全
7.19题图7.19所示梁由两根
36a工字梁铆接而成。
铆钉的间距为
s=150mm直径d=20mm许用剪应力［叮=90MPa梁横截面上的剪力
Q=40KN试校核铆钉的剪切强度。
解:
查表，单个工字梁的截面参数为：
42
lz=15760cm；A=76.3cm2；h=36cm
两个工字梁重叠以后对中性轴的惯性矩
h
I厂2『zi+（?
）2A厂8096.2cm4
两个工字梁重叠后对中性轴的静矩
Sz=ydA=yA=1373.4cm2
A
设工字梁翼板的宽度为b,贝忡性层上的剪应力为
*
Izb
每一对铆钉分担的剪力为
*
‘（QSzs
Q二bsz10.2kN
Iz
铆钉的剪应力为
Q16.2MPa[]=90MPa
2A
所以安全
8.5用积分法求题图8.5中各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的
转角和挠度。
已知抗弯刚度EI为常数
图8.5
解：
（1）求支座反力
Ra=牛,向上，Rb吟，向下
（2）以A为原点，写出弯矩方程：
M（x）=Mox
l
（3）求挠曲线方程
EI^Mox3CxD
6l
带入边界条件yA=yB=0得
Mol
6
D=0
故转角方程和挠曲线方程为
Mo（x2
El（2l
6El（
M0x,x2
I）
叫B
6EIB
Mol
3El
yc
M
16El
8.7写出题图8.7所示各梁的边界条件。
其
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