中考数学复习指导中考数学中的新概念数学.docx

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中考数学复习指导中考数学中的新概念数学

中考数学中的“新概念数学”

近年来，各地中考出现了一类在新定义下求解的试题，即所谓“新概念数学题”，本文列举如下，供读者练习参考．

一、以平行四边形、菱形为载体的“n阶准菱形”

例1）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依次类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．

如图1

（1），□ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则□ABCD为1阶准菱形．

（1）判断与推理：

①邻边长分别是2和3的平行四边形是_______阶准菱形；

②小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：

如图1

（2），把□ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．

（2）操作、探究与计算：

①已知□ABCD的邻边长分别为1，a（a>1），且是3阶准菱形，请画出□ABCD及裁减线的示意图，并在图形下方写出a的值；

②已知□ABCD的邻边长分别是a，b（a>6），满足a＝6b＋r，b＝5r，请写出□ABCD是几阶准菱形．

解

（1）①2阶；

②由折叠知∠ABE＝∠EBF，AB＝BF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥BF，∠AEB＝∠EBF，

∴∠ABE＝∠AEB，

∴AB＝AE，AE＝BF．

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴四边形ABFE是菱形．

（2）

①

评析此试题以平行四边形、菱形、一元一次方程等核心知识为载体，要求学生通过阅读理解、判断推理、操作计算、抽象概括等方式进行即时的学习和研究，倡导了以学生自主学习为主体的新课程理念，很好地引导师生转变教与学的方式，问题的设置简洁而内涵丰实，试题呈现方式新颖独特，很清晰地展示了开展一类课题学习的研究模式：

定义——问题——推理判断——操作探究——抽象概括．试题以能力立意，要求学生灵活运用分类讨论等数学思想，以及从具体到抽象、从特殊到一般、正逆向并存的思维方式．

二、以函数、正方形为载体的“伴侣正方形”

例2已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：

如图3，正方形ABCD是一次函数y＝x＋1图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数y＝x＋1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数y＝

（k>0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m<2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；

（3）若某函数是二次函数y＝ax2＋c（a≠0），它的图像的伴

侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣

正方形在抛物线上的另一个顶点坐标_______，写出符合题意

的其中一条抛物线解析式_______，并判断你写出的抛物线的

伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？

_______．

解

（1）当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，正方形ABCD的边长为

；当点A在x轴负半轴、点B在y在半轴上时，设正方形的边长为a，易得3a＝

，解得a＝

，所以正方形边长为

；

（2）如图3，作DE，CF分别垂直于x、y轴，

易知△ADF△BAO△CBF．

此时，m<2，DE＝OA＝BF＝m，

OB＝CF＝AE＝2－m．

∴OF＝BF＋OB＝2．

∴C点坐标为（2－m，2），

∴2m＝2（2－m，），解得m＝1．

反比例函数的解析式为y＝

（3）（－1，3）；（7，－3）；（－4，7）；（4，1）．

对应的抛物线分别为：

所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．

评析此试题以一次函数、反比例函数、二次函数和正方形等核心知识为载体，以能力立意，要求学生灵活运用分类讨论、数形结合等数学思想，以及从易到难、正逆向并用的思维方式进行推理．学生对函数概念的理解有一个逐步发展的过程，此题对函数内容的编排体现了螺旋上升的、不断深化的过程，

三、以抛物线、等腰三角形、中心对称为载体的“抛物线三角形”

例3如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）“抛物线三角形”一定是_______三角形；

（2）若抛物线y1＝－x2＋bx（b>0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；

（3）如图4，△OAB是抛物线y2＝－x2＋bx（b>0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?

若存在，求出过D、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

解

（1）等腰；

（2）∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形，

∴该抛物线的顶点坐标（

，

）满足

＝

（b>0），

∴b＝2：

（3）存在．作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD是平行四边形，当OA＝OB时，平行四边形ABCD是矩形．

又∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，作AE⊥OB，

评析此题以抛物线、等腰三角形等核心知识为载体，引出抛物线三角形这个数学新概念，结合中心对称、矩形知识，考察学生的认知、应用等能力．

四、以坐标系中两点之间距离为载体的“非常距离”

例4在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：

若

≥

，则点P1与P2的“非常距离”为

；

若

＜

，则点P1与P2的“非常距离”为

；

例如：

点P1（1，2）与P2（3，5），因为

＜

，所以点P1与P2的“非常距离”为

＝3．

（1）已知点A（－

，0），B为y轴上的一个动点．

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；

②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．

（2）已知C是直线y＝

x＋3上的一个动点．

①点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．

解

（1）①（0，－2）或（0，2）；②0.5

点C与点D的“非常距离”的最小值1．

评析此题将坐标系中两点之间距离、一次函数、直线与圆的位置关系等核心知识相结合，从求两个定点的非常距离，到求定点与动点非常距离的最小值，由浅入深、由易到难，体现数学知识的迁移性．

五、以直角三角形中的勾股定理逆定理为背景的“奇异三角形”

例5阅读下面的情境对话，然后解答问题：

老师：

我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：

等边三角形一定是奇异三角形！

小明：

那直角三角形是否存在奇异三角形呢？

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：

“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？

（2）在Rt△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：

b：

c：

（3）如图5，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆

的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．

①求证：

△ACE是奇异三角形；

②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

评析此题要求学生通过观察、实验、归纳、类比、推断获得数学猜想，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性．

六、以角平分线、四边形为载体的“准内点、准等距点”

例6　定义：

到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图6，PH＝PJ，PI＝PC，则点P就是四边形ABCD的准内点．

（1）如图7，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：

点P是四边形ABCD的准内点；

（2）分别画出平行四边形和梯形的准内点；

（3）判断下列命题的真假：

①任意凸四边形一定存在准内点；

②任意凸四边形一定只有一个准内点；

③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA＋PB＝PC＋PD或PA＋PC＝PB＋PD．

解

（1）如图7，过点P作PG⊥AB．PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD．

∵EP平分∠DEC，P⊙＝PH．

同理PG＝PI．

∴P是四边形ABCD的准内点；

（2）平行四边形对角线AC，BD的交点P1就是准内点，如图8

（1）；

或者取平行四边形两对边中点连线的交点P1就是准内点，如图8

（2）；

梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是准内点．如图8（3）．

（3）真；真；假．

例7.四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准

等距点．如图9，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD＝PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．

（1）如图10，画出菱形ABCD的一个准等距点．

（2）如图11，作出四边形ABCD的一个准等距点．

（3）如图12，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF＝∠CBE，CE＝CF．求证：

点P是四边形ABCD的准等距点；

（4）试研究四边形的准等距点个数的情况（说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明）．

解

（1）

（2）略；

（3）连结DB．在△DCF与△BCE中，

∠DCF＝∠BCE，∠CDF＝∠CBE，

∠CF＝CE．

∴△DCF≌△BCE，

∴CD＝CB，∠CDB＝∠CBD．

∴∠PDB＝∠PBD，

∴PD＝PB．

∵PA≠PC．

∴点P是四边形ABCD的准等距点；

（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；

②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；

③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；

④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个；

以上“新概念数学”问题，都属于原创题，很好地体现命题的创新性原则，问题的设置起点低、层次明显，源于书本，又高于书本，是考查学生数学素养和潜能的好题，试题设计灵活开放，有助于学生拓宽思维空间，引导培养学生的创新意识和能力．这些“新概念数学”特别重视学生对新知识的理解和应用能力，彰显了新课标中“由知识立意向能力立意”过渡的要求，是以数学课本内容为本，是坚持学生“可持续发展”理念的体现°这些“新概念数学”对教师来说具有较好的导向作用，引导教师复习中注重教材，避免题海战术，减轻学生的过重的学业负担，同时引领教师研究教材，创造性的使用教材．