第3章 1 12 函数的极值.docx
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第3章112函数的极值
1.2 函数的极值
1.理解极大值，极小值的概念.（难点）
2.掌握求极值的步骤.（重点）
3.会利用导数求函数的极值.（重点）
[基础·初探]
教材整理 极值点与极值
阅读教材P59“练习”以下至P61“例3”以上部分，完成下列问题.
1.极大值点与极大值
如图3 1 6，在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极大值点，其函数值f（x0）为函数的极大值.
图3 1 6
2.极小值点与极小值
如图3 1 7，在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极小值点，其函数值f（x0）为函数的极小值.
图3 1 7
3.极值的判断方法
如果函数y＝f（x）在区间（a，x0）上是增加的，在区间（x0，b）上是减少的，则x0是极大值点，f（x0）是极大值；如果函数y＝f（x）在区间（a，x0）上是减少的，在区间（x0，b）上是增加的，则x0是极小值点，f（x0）是极小值.
4.求函数y＝f（x）极值的步骤
（1）求出导数f′（x）.
（2）解方程f′（x）＝0.
（3）对于方程f′（x）＝0的每一个解x0，分析f′（x）在x0左、右两侧的符号（即f（x）的单调性），确定极值点：
①若f′（x）在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；
②若f′（x）在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；
③若f′（x）在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点.
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数f（x）＝x3＋ax2－x＋1必有两个极值.（ ）
（2）在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合.（ ）
（3）函数f（x）＝
有极值.（ ）
【答案】
（1）√
（2）√ （3）×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
求函数的极值
求下列函数的极值.
（1）f（x）＝x2－2x－1；
（2）f（x）＝
－
x3＋
－6；
（3）f（x）＝|x|.
【自主解答】
（1）f′（x）＝2x－2，令f′（x）＝0，解得x＝1.
因为当x<1时，f′（x）<0，
当x>1时，f′（x）>0，
所以函数在x＝1处有极小值，
且y极小值＝－2.
（2）f′（x）＝x3－2x2＋x＝x（x2－2x＋1）＝x（x－1）2.
令f′（x）＝0，解得x1＝0，x2＝1.
所以当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，0）
0
（0，1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
0
＋
f（x）
单调
递减
极小值
单调
递增
无极值
单调
递增
所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小值＝－6.
（3）f（x）＝|x|＝
显然函数f（x）＝|x|在x＝0处不可导，
当x>0时，f′（x）＝x′＝1>0，
函数f（x）＝|x|在（0，＋∞）内单调递增；
当x<0时，f′（x）＝（－x）′＝－1<0，
函数f（x）＝|x|在（－∞，0）内单调递减.
故当x＝0时，函数取得极小值，
且y极小值＝0.
1.讨论函数的性质要注意定义域优先的原则.
2.极值点与导数的关系
（1）可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点.
点x0是可导函数f（x）在区间（a，b）内的极值点的充要条件：
①f′（x0）＝0；
②点x0两侧f′（x）的符号不同.
（2）不可导的点可能是极值点（如本例（3）中x＝0点），也可能不是极值点（如y＝
，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值），所以函数的极值点可能是f′（x）＝0的根，也可能是不可导点.
[再练一题]
1.已知函数f（x）＝x2－2lnx，则f（x）的极小值是__________.
【导学号：
94210059】
【解析】 ∵f′（x）＝2x－
，
且函数定义域为（0，＋∞），
令f′（x）＝0，得x＝1或x＝－1（舍去），
当x∈（0，1）时，f′（x）<0，
当x∈（1，＋∞）时，f′（x）>0，
∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f
（1）＝1.
【答案】 1
利用函数的极值求参数
已知f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－
时都取得极值.
（1）求a，b的值；
（2）若f（－1）＝
，求f（x）的单调区间和极值.
【精彩点拨】
（1）求导函数f′（x），则由x＝1和x＝－
是f′（x）＝0的两根及根与系数的关系求出a，b.
（2）由f（－1）＝
求出c，再列表求解.
【自主解答】
（1）f′（x）＝3x2＋2ax＋b，
令f′（x）＝0，由题设知x＝1与x＝－
为f′（x）＝0的解.
∴
∴a＝－
，b＝－2.
（2）由
（1）知f（x）＝x3－
x2－2x＋c，
由f（－1）＝－1－
＋2＋c＝
，得c＝1，
∴f（x）＝x3－
x2－2x＋1，
∴f′（x）＝3x2－x－2.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
－
1
（1，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
单调递增
单调递减
－
单调递增
∴f（x）的递增区间为
和（1，＋∞），递减区间为
.
当x＝－
时，f（x）有极大值为f
＝
；
当x＝1时，f（x）有极小值为f
（1）＝－
.
已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
（1）根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
[再练一题]
2.已知函数f（x）＝
x3－
（m＋3）x2＋（m＋6）x（x∈R，m为常数），在区间（1，＋∞）内有两个极值点，求实数m的取值范围.
【解】 f′（x）＝x2－（m＋3）x＋m＋6.
因为函数f（x）在（1，＋∞）内有两个极值点，
所以导数f′（x）＝x2－（m＋3）x＋m＋6在（1，＋∞）内与x轴有两个不同的交点，
如图所示.
所以
解得m>3，故实数m的取值范围是（3，＋∞）.
[探究共研型]
函数极值的综合应用
探究1 导数为0的点都是极值点吗？
【提示】 不一定，如f（x）＝x3，f′（0）＝0，但x＝0不是f（x）＝x3的极值点.所以，当f′（x0）＝0时，要判断x＝x0是否为f（x）的极值点，还要看f′（x）在x0两侧的符号是否相反.
探究2 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图像如图3 1 8所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有几个极小值点？
图3 1 8
【提示】 一个.x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点，x1，x3是极大值点.
探究3 函数y＝f（x）在给定区间（a，b）内一定有极值点吗？
【提示】 不一定，若函数y＝f（x）在区间（a，b）内是单调函数，就没有极值点.
已知函数f（x）＝x3－3x＋a（a为实数），若方程f（x）＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围.
【精彩点拨】 求出函数的极值，要使f（x）＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围.
【自主解答】 令f′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1）＝0，
解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′（x）>0；
当－1当x>1时，f′（x）>0.
所以当x＝－1时，f（x）有极大值f（－1）＝2＋a；
当x＝1时，f（x）有极小值f
（1）＝－2＋a.
因为方程f（x）＝0有三个不同实根，
所以y＝f（x）的图像与x轴有三个交点，如图.
由已知应有
解得－2方程f（x）＝0的根就是函数y＝f（x）的零点，是函数图像与x轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图像与x轴交点的问题.我们可以根据函数图像在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围.
[再练一题]
3.设a为实数，函数f（x）＝x3－x2－x＋a.
（1）求f（x）的极值；
（2）当a在什么范围内取值时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点？
【解】
（1）f′（x）＝3x2－2x－1.
令f′（x）＝0，则x＝－
或x＝1.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－
）
－
1
（1，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以f（x）的极大值是f
＝
＋a，极小值是f
（1）＝a－1.
（2）函数f（x）＝x3－x2－x＋a
＝（x－1）2（x＋1）＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f（x）>0，
x取足够小的负数时，有f（x）<0，
所以曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点.
由
（1）知f（x）极大值＝f
＝
＋a，
f（x）极小值＝f
（1）＝a－1.
∵曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点，
∴f（x）极大值<0或f（x）极小值>0，
即
＋a<0或a－1>0，
∴a<－
或a>1，
∴当a∈
∪（1，＋∞）时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点.
[构建·体系]
—
1.函数f（x）的定义域为R，导函数f′（x）的图像如图3 1 9，则函数f（x）（ ）
图3 1 9
A.无极大值点，有四个极小值点
B.有三个极大值点，两个极小值点
C.有两个极大值点，两个极小值点
D.有四个极大值点，无极小值点
【解析】 有极值点的定义可知答案应选C.
【答案】 C
2.函数y＝x3－3x2－9x（－2＜x＜2）有（ ）
A.极大值5，极小值－27
B.极大值5，极小值－11
C.极大值5，无极小值
D.极小值－27，无极大值
【解析】 由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.
当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0，
∴当x＝－1时，函数有极大值5；3∉（－2，2），故无极小值.
【答案】 C
3.已知a为函数f（x）＝x3－12x的极小值点，则a＝（ ）
A.－4B.－2
C.4D.2
【解析】 由题意得f′（x）＝3x2－12，令f′（x）＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′（x）>0；当－2∴f（x）在x＝2处取得极小值，∴a＝2.
【答案】 D
4.设a∈R，若函数y＝ex＋ax（x∈R）有大于零的极值点，则a的取值范围为________.
【导学号：
94210060】
【解析】 ∵y＝ex＋ax，
∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，
即x＝ln（－a），又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.
【答案】 a＜－1
5.求函数y＝x4－4x3＋5的极值.
【解】 y′＝4x3－12x2＝4x2（x－3）.
令y′＝4x2（x－3）＝0，得x1＝0，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
（－∞，0）
0
（0，3）
3
（3，＋∞）
y′
－
0
－
0
＋
y
单调递减
5
单调递减
－22
单调递增
故当x＝3时函数取得极小值，且y极小值＝f（3）＝－22，无极大值.
我还有这些不足：
（1）
（2）
我的课下提升方案：
（1）
（2）
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