华罗庚学校思维训练导引四年级.docx

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华罗庚学校思维训练导引四年级

第01讲 计算问题第03讲 整数与数列

　　1、如图1-1所示的表中有55个数，那么它们的和加上多少才等于1994？

　　1  7 13 19 25 31 37 43 49 55 61

　　2  8 14 20 26 32 38 44 50 56 62

　　3  9 15 21 27 33 39 45 51 57 63

　　4 10 16 22 28 34 40 46 52 58 64

　　5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65

　　解答：

它们的和=3×5+9×5+15×5+21×5+27×5+33×5+39×5+45×5+51×5+57×5+63×5

　　　　=（33×11）×5

　　　　=1815

   [或者：

它们的和=（31+32+33+34+35）×11=1815]

          1994-1815=179

　　答：

它们的和加上179才等于1994。

　　2、计算：

1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101。

　　解答：

1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101

　　　　=（1000+999-998-997）+（996+995-994-993）+……+（108+107-106-105）+（104+193-102-101）

　　　　=4+4+……+4+4

　　　　=［（1000-101）÷1+1］÷4×4

　　　　=900

　　3、计算：

（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）。

　　解答：

（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）

　　　　　=1+（3-2）+（5-4）+……+（1989-1988）

　　　　　=1+1×（1989-1）÷2

　　　　　=1+994

　　　　　=995

　　4、利用公式l×l+2×2+……+n×n＝n×（n+1）×（2×n+1）÷6，计算：

15×15+16×16+……+21×21。

　　解答：

15×15+16×16+……+21×21

　　　　　=21×（21+1）×（2×21+1）÷6-14×（14+1）×（2×14+1）÷6

　　　　　=3311-1015

　　　　　=2296

　　5、计算：

20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1。

　　解答：

20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1

　　　　　=（20+19）×（20-19）+（18+17）×（18-17）+……+（2+1）×（2-1）

　　　　　=210  

　　6、计算：

3333×5555+6×4444×2222。

　　解答：

3333×5555+6×4444×2222

　　　　　=3×1111×5×1111+6×1111×4×2×1111

　　　　　=15×1111×1111+48×1111×1111

　　　　　=（15+48）×1111×1111

　　　　　=63×1111×1111

　　　　　=7×9×1111×1111

　　　　　=9999×7777

　　　　　=（10000-1）×7777

　　　　　=77770000-7777

　　　　　=77762223 

　　7、计算：

19931993×2×2。

　　解答：

19931993×2×2

　　　　　=19931993×1993-（19931992×1992+19931992）

　　　　　=19931993×2×（1992+1）

　　　　　=19931993×2×1993

　　　　　=1993×（19932）

　　　　　=1993 

　　8、两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有几个数字是奇数?

　　解答：

1111111111×9999999999

　　　　　=1111111111×（10000000000-1）

　　　　　=1111111111000000111

　　　　　=11111111

　　有10个奇数

　　答：

乘积中有10个数字是奇数。

　　9、我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数。

已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇数的和是多少？

　　解答：

1111155555=11111×100005=11111×3×33335=33333×33335，33333+33335=66668

　　答：

这两个奇数的和是66668。

　　10、求和：

l×2+2×3+3×4+……+9×10。

　　解答：

l×2+2×3+3×4+……+9×10

　　　=（1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5+……+9×10×11-8×9×10）÷3

　　　=9×10×11÷3

　　　=3×10×11

　　　=330

　　11、计算：

1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8。

　　解答：

1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8

　　　　=1！

+2×2！

+3×3！

+4×4！

+5×5！

6×6！

+7×7！

+8×8！

　　　　=（2！

-1！

）+（3！

-2！

）+（4！

-3！

）+（5！

-4！

）+（6！

-5！

）+（7！

-6！

）+（8！

-7！

）+（9！

-8！

）

　　　　=9！

-1！

　　　　=1×2×3×4×5×6×7×8×9-1

　　　　=362879

　　12、在两个数之间写上一个?

，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如：

13?

5=3，6?

2=0．试计算：

（2000?

49）?

9．

　　解答：

2000?

49＝40，40?

9＝4

　　答：

计算结果是4。

　　13、羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。

所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用△表示：

羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼。

以上运算的意思是：

羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。

小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：

羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼。

这个运算的意思是：

羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。

对羊和狼，可以用上面规定的运算作混合运算。

混合运算的法则是从左到右，括号内先算。

　　羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）。

　　解答：

羊△（狼☆羊）☆羊△（狼☆狼）

　　　　　=羊△羊☆羊△狼

　　　　　=羊☆羊△狼

　　　　　=羊△狼

　　　　　=狼

　　答：

运算结果是狼。

　　14、对于自然数1，2，3，…，100中的每一个数，把它非零数字相乘，得到100个乘积（例如23，积为2×3=6；如果一个数仅有一个非零数字，那么这个数就算作积，例如与100相应的积为1）。

问：

这100个乘积之和为多少?

　　解答：

1，2，……，9，和是45；11，12，……，19，和是1×45；21，22，……，29，和是2×45；……；91，92，……，99，和是9×45；10，20，……，90，和是45；100的为1。

　　总和是（1+1+2+3+……+9+1）×45+1

　　　　＝47×45+1

　　　　=2116

　　答：

这100个乘积之和是2116。

　　15、从1到1989这些自然数中的所有数字之和是多少？

　　解答：

把1到1998之间的所有自然数，都表示成四位数字的形式：

0001，0002，0003，……，1989，……，1996，1997，1998。

从两头开始配对组合：

（0001+1998），（0002+1997），（0003+1996），……共999对。

每对的四位数字之和都是1+9+9+9=28，所以1到1998的数字和是28×999=27972。

多算了1990到1998的数字和，即多算了1×9+9×9+9×9+1+2+3+4+5+6+7+8=207。

27972-207=27765

　　答：

从1到1989这些自然数中的所有数字之和是27765。

第02讲  应用题第07讲  和差倍问题之三

　　1.四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人？

　　解答：

由“不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人”得到131+134=265，这265人包括1个甲班和1个丁班，以及2个乙班和2个丙的总和，又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，所以用265-1=264就刚好是3个乙班和3个丙班之和，264÷3=88，就是说乙、丙两个班的和是88人，那么，甲、丁两个班的和就是88+1=89人。

所以，四个班的和是88+89=177人。

　　2.有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？

　　解答：

把4个数全加起来就是每个数都加了3遍，所以，这四个数的和等于（45+46+49+52）÷3=64。

用总数减去最大的三数之和，就是这四个数中的最小数，即64-52=12。

　　3.在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。

例如：

在72中间插入数字6，就变成了762。

有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，求出所有这样的两位数。

 　　解答：

两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，即这个数的个位乘以9以后的个位还等于原来的个位，那么个位只能是0或5。

如果是0，显然不行。

因为20×9=180，30×9=270，......所以个位只能是5。

试验得到：

15，25，35，45是满足要求的数。

　　4.某班买来单价为0.5元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本。

那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?

　　解答：

这题要求的是“平均分给全班同学，每人应付多少钱”，我们可以用设数法来求解。

假设班上有2个女生，那么就是一共有30个练习本，这30本“只给男生，平均每人可得10本”，说明男生有3个。

那么，分给全部按同学，每人得30/（2+3）=6本，因此每人应该付6本练习本的钱，即每人要付3元钱。

　　5.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？

 　　解答：

由题意可知，花生总数必定是12、15、20的倍数。

同上题一样，我们也可以用设数法。

假设共有花生12*15*20粒，那么第一群猴子有15*20只，第二群猴子有12*20只，第三群猴子有12*15只，即共有（15*20+12*20+12*15）只猴子，12*15*20/（15*20+12*20+12*15）=5，所以平均分给三群猴子，每个猴子可得5粒。

　　注：

如果懂得最小公倍数，那么应该设花生总数为60粒，这样，计算就方便很多。

　　6.一个整数，减去它被5除后余数的4倍是154，那么原来整数是多少？

　　解答：

被除数除以除数，余数肯定小于除数。

所以，余数只可能是0、1、2、3、4，