足球生产计划模型.docx
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足球生产计划模型
2012安师院数学建模选拔赛
承诺书
我们仔细阅读了安师院数学建模选拔赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：
B题
我们的参赛报名号为（务必填写准确）：
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
日期：
2012年4月1日
生产计划安排
摘要
本文讨论的是足球生产最优化问题。
在不同的原则要求下，分别建立了相应的数学模型，利用专门解决规划问题的lingo软件，得出一些数据，通过比较，并设计出一个较为合理的生产计划。
在如今企业制度下，要使得企业的经济效益高，不光是降低成本这一条路径，更重要的是我们还可以有效地控制成本，根据每个时期的不同需求量﹑库存量，来寻求生产成本与储存成本之间的平衡点，这时储存率是两者的连接点，最后要使得总成本最优化，就得找出储存率的最优值，从而一个符合公司的生产计划就出炉了。
对于问题一，某生产足球公司制定要在满足客户的需求下，使生产总成本和储存成本最小化的生产计划。
对于这六个月的方案我们可以以一个月为生产周期，在每个月满足客户的需求后，还受给公司的最大生产量和最大库存量及最多储存量的制约，我们通过确定一个目标函数，在约束条件下，建立一个线性规划模型来解决这个问题。
对于问题二和问题三，本月的库存量是上个月的库存量加上本月的生产量减去本月的需求，本月和上月的库存量相互影响，储存率的变化，又会影响储存成本的变动，由于多个变量的原因，因此我们决定用枚举法来解决这个问题，首先我们将储存率降低时会出现的值一一列举出来，得到相应的生产计划，发现一些规律：
储存率在小于0.0040时，储存容量都达到最大。
此外，为了目标函数和约束条件的顺利表述。
在建模之前，我们用笔算一遍，找出生产成本，储存成本，库存率，库存量等之间的关系。
在本文的后面，我们对模型进行多方面多层次的分析是模型更加完善，同时还对模型的不足，提出几点建议，使得我们对求出的数据处理结果与实际的经验更接近。
关键词：
（4到6个）
一问题重述
某皮革公司生产足球，它必须确定每个月生产多少足球。
该公司决定以6个月为一个规划周期；根据市场调查：
1、今后6个月的预计需求量分别是10,000、15,000、30,000、35,000、25,000和10,000.
2、目前的存货是5,000
3、公司的最大产量是30,000个足球
4、公司在扣掉需求后，月底的库存量最多只能储存5000个足球
5、今后六个月的足球的生产单位成本分别是$12.50、$12.55、$12.70、$12.80、$12.85和$12.95
6、每一个足球在每个月中的持有成本是该月生产成本的5%
注意：
该公司可以用该月的生产量来满足该月的需求量（公司有一整个月的时间来生产，而需求则在月底发生）；持有成本包含了库存的成本和将货物搁置在仓库的成本；足球的销售金额和这次的生产决策无关，因为不管销售的金额为何，该公司都打算尽可能满足顾客的需求，因此该公司希望确定使生产总成本和储存成本最低的生产计划。
按时满足需求量的条件下，要解决的问题：
1、生产总成本和储存成本最小化的生产计划。
2、如果储存成本率降低，生产计划会怎样变化？
3、储存成本率是多少时？
储存容量达到极限。
二条件的假设与符号的约定
2.1条件的假设
1、足球市场是稳定的，需求量是可以预测的
2、公司的生产技术和设备等不会出现突变，足球的生产单位成本是可以预测的
3、每个月的需求量首先有库存补给，不足部分就本月生产量补足
4、足球的月生产量以万为单位
5、在今后的一个规划周期内，以预计需求量为输出量
6、在生产过程中，不存在人员或其他条件对生产的影响
2.2符号的约定（符号、公式用公式编辑器）
：
第i个月足球的生产成本（i=1,2,…,6）
：
第i个初月足球的储存量（i=1,2,…,6）
：
第i个月足球的需求量（i=1,2,…,6）
：
第i个月足球的生产量（i=1,2,…,6）
：
储存成本率
W：
足球生产的总成本
Q:
六个月的储存成本
P：
六个月的生产成本费
三问题的分析
3.1问题一
对于问题一，完全不考虑出售的问题，在尽可能满足顾客的需求，使生产总成本和储存成本最小化的生产计划。
已知每个月的需求量
和生产单位成本
，并且每个月足球的储存量
和生产量
均受到限制属于最优化配置的线性规划问题，建立单目标LP，列出相关的s.t.和目标函数，利用lingo软件求出结果。
3.2问题二
问题二是一个探究LP变化规律的问题，在生产总成本和储存成本最低的条件下，生产计划随储存成本率变化而变化的情况，即储存成本率降低，各月足球生产量的变化趋势。
在储存成本率变降低的情况下研究总生产成本及生产量，由于r的变化范围较小，且不能直接对因变量结果造成影响，所以很难建立线性模型。
考虑该变量的间隔性，建立离散模型，利用散点法则易发现其中的变化规律。
结合直方图，可直观的观察出其规律。
3.3问题三
问题三是依据问题二的基础，进一步探讨储存成本率对生产计划的影响，求在满足储存容量达到极限的前提下来求的储存变化率；在离散模型的基础上利用二分法思想进行枚举，列出表格求解。
并利用matlab描点画出图形，观察。
四模型的建立及求解
4.1问题一
问题一要求使生产总成本和储存成本最小化的生产计划，建立运筹学模型，列出单目标线性规划方程，列出目标函数:
总成本=生产总成本+存储成本
（公式1）
约束条件：
特殊月：
①第四个月足球预计需求量为3.5①
=3
②每个月最大产量为3
③每个月最多储存0.5②
=0.5
①
=3
②
=0.5
一般月：
第一个月：
0.5
第二个月：
，
第三个月：
第五个月：
第六个月：
总体：
，
即
整理得：
将已知条件和限制条件带入公式1，得
整理为规范式，可得
在编辑窗口中输入如下模型：
min=16.3175*x1+15.7425*x2+15.265*x3+14.73*x4+14.14*x5+13.5975*x6-25.02;
x1>=0.5;
x1<=1;
x2>=2;
x2<=2.5;
x1+x2-2=0.5;
x3=3;
x4=3;
x5>=2.5;
x5<=3;
x6>=0.5;
x6<=1;
x5+x6>=3.5;
x5+x6<=4;
利用lingo程序可解得（求解结果见附件1）
由上述模型可以得出，当第一月生产为0.5（万个），第二月生产为2（万个），第三月生产为3（万个），第四生产为3（万个），第五生产为2.5（万个），第六月生产为1（万个）；可得出最低总成本为153.5562（万美元）。
推广：
下个月储存量=本月月初储存量-本月需求量，即
（i=1,2,…,5）（公式2）已给出第一个月的库存为0.5万件，即
；
又公司月底的库存量最多只能储存1万个足球，故
；
公司每个月足球的最大产量是3万个，所以
；
又第4各月足球的需求量为3.5万个，则
；
（
4.2问题二
问题二是探讨在满足需求量的条件下，储存成本率降低，生产计划的变化规律。
利用散点模型对所得数据进行分析，由lingo求的结果如表
（1）（部分有关数据，详细数据见附录2）
表
（1）（单位：
个）
由表
（1）数据可知
由直方图可知在一定区间内，月生产量为定值，
即r与生产量在分区间内成定量关系；
且由表中信息可知，随着r的递减，总成本呈递减趋势。
4.3问题三
由问题二中变量r的递减关系可得出r与储存容量之间的关系，为一定区间内的定量关系，可进一步建立散点模型，结合二分法思想得出表
（2）
r
x1
x2
x3
x4
x5
x6
w
Q
0.0031
10000
15000
30000
30000
30000
5000
1529284
20000
0.0035
10000
15000
30000
30000
30000
5000
1529384
20000
0.0038
10000
15000
30000
30000
30000
5000
1529384
20000
0.0039
10000
15000
30000
30000
30000
5000
1529487
20000
0.004
5000
20000
30000
30000
30000
5000
1529512
15000
0.00391
10000
15000
30000
30000
30000
5000
1529487
20000
0.00395
10000
15000
30000
30000
30000
5000
1529499
20000
0.00398
10000
15000
30000
30000
30000
5000
1529507
20000
0.00399
10000
15000
30000
30000
30000
5000
1529509
20000
0.003999
10000
15000
30000
30000
30000
5000
1529512
20000
表
（2）
结合问题二的结果及表2利用matlab画出r与Q的关系函数图，可得：
x=0.00:
0.00001:
0.05;
y=1.*（x>=0.008）+1.5.*（x>=0.004&x<0.008）+2.*（x<0.004）;
plot（x,y）
进一步缩小定义域有：
可直接观察得：
当r在区间[0,0.004]之间时，储存容量达到极限。
五模型的评价和改进
对于该静态规划模型，主要讨论的是多元线性规划问题，通过散点模型及枚举方法对不同的变量进行定量研究，但考虑到存在许多未考虑到的问题及模型的局限性，对该模型做相关的评价和进一步的改进。
5.1模型的优点：
1）对于限制多元自变量的问题，通过lingo软件可以进行简易的计算，简单方便；
2）模型中的数据则通过表格方式表示出来，且通过直方图分析结果，较为精确，且直观，具有说服力和可读性；
3）对于单位区间内因变量为定值的多元函数，通过二分法能更快的得出近似值。
4）本文建立的模型的原理简单易懂，简化了算法，并切实可行，还运用优化软件LINGO进行高效求解，结果真实可靠。
5）便于问题的简化，我们忽略了一些市场因素的干扰，使问题在稳定的条件下进行，便于模型得出结果。
6）对问题一，为了便于分析，我们用笔算算出部分关系，简化生产、需求和存储之间的关系。
7）对问题二和问题三，我们采取的是枚举法，避免多元变量讨论，简易了问题，容易得出结果，找出规律。
5）可移植强，对于类似生产计划都可通用。
6）本文中使用了表格，图形，来对模型进一步诠释，使得模型更加可靠。
5.2模型的劣势：
1）在实际市场中，任一个商品生产都会受到竞争，供应关系的影响，而本文中却忽略这一类的影响，所以不能很好地反映实际情况。
2）在此模型的生产计划中生产，生产总量,需求量，和存储量过于单一，不太符合实际生产的计划。
3）我们的模型要求最后一个月的库存量为0，在实际情况下是不太可能的，一般的企业生产会供大于求的。
4）规划中的约束条件太少，因为市场上的商品的价格也会对生产计划也有影响。
5）还有本文中研究的是厂家六个月的生产计划，对于一个有一定规模生产厂家来说，六个月的时间太短，不能有效的把握该公司持久的生产计划。
5.3模型的推广：
对单一药物治疗艾滋病效果的研究是很有意义的.但研制一种新药品往往需要具备巨大的人力、物力、财力，而且研制周期很长，这对有效控制传染性疾病的蔓延是非常不利的.如果能深入研究多种药物对疾病的协同作用就显得更加明智并且至关重要了.如著名的“鸡尾酒疗法”，多种治疗艾滋病的有效药物理“混合”.
参考文献
[1]蔡锁章,数学建模原理与方法,北京：
海洋出版社,2000。
[2]刘来福,曾文艺,数学模型与数学建模北京：
北京师范大学出版社，1997。
[3]陈如栋,于延荣,数学模型与数学建模，北京：
国防工业出版社,2006。
[4]姜启源,谢金星,叶俊,数学模型（第三版），北京：
高等教育出版社,2003。
[5]梁炼，数学建模。
华东理工大学大学出版社2005.3。
[6]周义仓，赫孝良，西安交通大学出版社，1998.8。
[7]邓俊辉译,计算几何-算法与应用（第二版）北京：
清华大学出版社，2005.9。
[8]刘卫国，MATLAB程序设计教程，北京：
中国水电水利出版社,2005。
[9]熊慧,论人口预测对上海市未来十年人口总数的预测,人口研究,28
（1）:
88-90,2003。
[10]2003年国民经济和社会发展统计公报，Http:
//。
2008年9月20日。
附录
附件1：
问题一用lingo软件运行的结果
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
153.5563
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
X10.50000000.000000
X22.0000000.000000
X33.0000000.000000
X43.0000000.000000
X52.5000000.000000
X61.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1153.5563-1.000000
20.000000-0.5750000
30.50000000.000000
40.0000000.000000
50.50000000.000000
60.000000-15.74250
70.000000-15.26500
80.000000-14.73000
90.0000000.000000
100.50000000.000000
110.50000000.000000
120.0000000.5425000
130.000000-14.14000
140.50000000.000000
附件2：
让r=0.04时，用lingo软件的编程及其结果
model:
data:
r=0.04;
enddata
min=12.50*x1+12.55*x2+12.70*x3+12.80*x4+12.85*x5+12.95*x6+12.50*b1*r+12.55*b2*r+12.70*b3*r+12.80*b4*r+12.85*b5*r+12.95*b6*r;
b1=x1+5000-10000;
b2=b1+x2-15000;
b3=b2+x3-30000;
b4=b3+x4-35000;
b5=b4+x5-25000;
b6=b5+x6-10000;
b1<=5000;
b2<=5000;
b3<=5000;
b4<=5000;
b5<=5000;
b6<=10000;
x1<=30000;
x2<=30000;
x3<=30000;
x4<=30000;
x5<=30000;
x6<=30000;
@gin（x1）;@gin（x2）;@gin（x3）;@gin（x4）;@gin（x5）;@gin（x6）;
@gin（b1）;@gin（b2）;@gin（b3）;@gin（b4）;@gin（b5）;@gin（b6）;
End
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
1534300.
Objectivebound:
1534300.
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
R0.4000000E-010.000000
X15000.00012.50000
X220000.0012.55000
X330000.0012.70000
X430000.0012.80000
X525000.0012.85000
X610000.0012.95000
B10.0000000.5000000
B25000.0000.5020000
B35000.0000.5080000
B40.0000000.5120000
B50.0000000.5140000
B60.0000000.5180000
RowSlackorSurplusDualPrice
11534300.-1.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
70.0000000.000000
85000.0000.000000
90.0000000.000000
100.0000000.000000
115000.0000.000000
125000.0000.000000
1310000.000.000000
1425000.000.000000
1510000.000.000000
160.0000000.000000
170.0000000.000000
升级会员 