力学#形心与静矩.docx

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力学#形心与静矩

B.1截面的形心和静矩Centroidandstaticmomentofsection

   在杆件的应力和变形公式中，遇到一些几何量，例如面积、静矩、形心位置、极惯性矩和轴惯性矩等，这些量只与构件的横截面形状和尺寸有关，而与构件的受力无关，称它们为截面的几何性质

   截面几何性质的计算在分析杆的强度和刚度时非常重要，首先应明确截面几何性质的定义，并熟练地掌握其计算方法。

1.形心与静矩

图B.1-1

   图示任一截面，选任一参考坐标系yoz，设截面形心C的坐标为yc和zc，取微截面积dA，由合力矩定理可知，均质厚度薄板中面的形心、或该板的重心在yoz坐标系中的坐标为

，

（B.1-1）

式中:

，

，分别定义为截面对z轴和y轴的静矩。

由公式（B.1-1）可知，当y轴和z轴通过截面形心时（即yc=zc=0），则Sz=Sy=0；反之，当静矩Sz=0时，说明z轴通过截面形心；而当静矩Sy=0时，说明y轴通过截面形心。

此概念在确定梁的中性轴时十分有用。

2.组合截面的形心与静矩

图B.1-2

   在工程实际中，经常遇到形状较为复杂的截面，它们由若干简单截面或标准型材组合而成，称为组合截面（图B.1-2）。

当确定它们的形心时，可将其分割成n个部分，形心坐标为

，

（B.1-2）

式中Ai为分割后的各面积，yi和zi为Ai的形心在参考系中的坐标。

式中

；

，称为组合截面的静矩。

B.2极惯性矩Polarmometofinertia

1.定义

图B.2-1

   任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在矢径为

处取一微面积dA，定义截面对原点O的极惯性矩为

（B.2-1）

极惯性矩的量纲为长度的4次方（mm4），它恒为正。

2.圆截面的极惯性矩

图B.2-2

   图示圆截面，取微面积为一薄壁环，即

（图B.2-2），

读者自行证明实心圆、空心圆和薄壁圆截面（图B.2-3）的极惯性矩分别为：

（B.2-2）

（B.2-3）

（B.2-4）

式中

，d—空心圆内径，D—空心圆外径，R0—薄壁圆平均半径。

图B.2-3

B.3轴惯性矩SecondAxialmomentofareaandParallelAxisTheory

1.定义

图B.3-1　

   任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在坐标为（y，z）处取一微面积dA，定义截面对z和y轴的惯性矩为

，

（B.3-1）

其量纲为长度的四次方（mm4），恒为正。

由于

，于是得出极惯性矩和轴惯性矩之间的关系为

（B.3-2）

2.简单截面的轴惯性矩

图B.3-2

∙矩形：

如图所示高为h，宽为b的矩形，计算矩形截面对形心轴z和y的惯性矩。

取dA=bdy，则

     （B.3-3）

同理得：

∙圆形：

如计算圆截面对形心轴y和z的惯性矩可借助公式（B.3-2）：

          对于圆截面：

，代入上式得：

          于是，实心圆、空心圆、薄壁圆截面的轴惯性矩分别为

（B.3-4）

（B.3-5）

（B.3-6）

式中

，d—空心圆内径，D—空心圆外径，R0—薄壁圆平均半径。

3.平行轴间惯性矩的移轴公式

   对简单截面而言，它们对自身形心轴的惯性矩很容易计算，如矩形、圆形、三角形等，并有现成表格可查附录C，本节研究截面对任一根与形心轴平行之轴的惯性矩。

如图B.3-3所示，设y0、z0为截面的一对形心轴，如果截面对形心轴的惯性矩为

和

，则截面对任一平行于它的轴y和z的惯性矩为：

，

       （B.3-7）

   上式称为惯性轴的移轴公式或称平行轴定理（Parallelaxis theorem）。

式中A为截面面积，a和b分别为坐标轴y0和y以及z0和z之间的垂直距离。

图B.3-3

 证明如下：

根据面积对z轴的惯性矩的定义，

。

图B.3-3中微面积dA距z轴的垂直距离为y=y0+b，代入上式，得

式中

，故

，同理得

 如为组合截面，则上式表示为

，

（B.3-8）

读者自行计算下图各截面对z轴的静矩和惯性矩：

图B.3-4

4.例题

    试计算三角形截面对形心轴z的惯性矩。

图B.3-5

解：

三角形形心位于距底边1/3h处，取

，式中

可由如下比例式求出：

，得

，于是

   图示截面，求对形心轴z和y的惯性矩。

图B.3-6　

解：

截面对形心轴惯性矩应为矩形截面对形心轴惯性矩和圆形截面对形心轴惯性矩之差，即：

，

   试求I字形截面对形心轴z的惯性矩Iz=？

图B.3-7

B.4惯性积Productofinertia

1.定义

图B.4-1

   任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在坐标为（y，z）处取一微面积dA，定义截面对z和y轴的惯性积为

（B.4-1）

显然，惯性积根据截面在坐标系的不同象限有正负之别，其量纲是长度的四次方（mm4）。

图B.4-2

当坐标轴之一为截面的对称轴时，惯性积Iyz=0

2.惯性积的移轴公式

图B.4-3

惯性积和惯性矩一样（图B.4-3），同样可以推导出它的移轴公式：

（B.4-2）

式中

为截面对形心轴y0z0的惯性矩，a和b分别为坐标轴y0和y以及z0和z之间的垂直距离。

如为组合截面，则上式表示为

（B.4-3）

3.例题

   试计算图B.4-4所示截面对y、z轴的惯性矩。

图B.4-4

解：

y0或z0均为对称轴，故

   试求上节图B.3-9所示截面对形心轴y、z轴的惯性积。

图B.4-5

解：

形心C的坐标已知yc=44.57mm，zc=14.57mm

   将截面分割为两个矩形，它们的形心分别为C1和C2，通过形心C1和C2且与y和z相平行之轴为两个矩形的对称的对称轴，故

第一个矩形：

，

，

，

第二个矩形：

，

，

，

代入公式，得：

B.5转轴公式Transformationequation

1.转轴公式

   图示任意截面，假设该截面对任意轴y1和z1的惯性矩和惯性积分别为

、

和

，本节研究当坐标轴逆时针旋转

角之后，截面对新坐标轴y与z的惯性矩Iy与Iz以及惯性积Iyz。

步骤如下:

图B.5-1

∙先求出两个坐标系之间的几何关系，由图B.5-1可以看出，任一点K处的两个坐标系之间的几何关系为

∙代入惯性矩和惯性积的定义式中，得

于是，得：

（B.5-1）

同理，得：

（B.5-2）

（B.5-3）

以上三式称为转轴公式。

将（B.5-2）与（B.5-3）相加，得出：

（B.5-4）

由上式可知，截面对于通过同一点的任一对坐标轴的两个惯性矩之和恒为常数。

 推论1  由公式（B.5-1）可知，当

时，

；当

时，

，表明当坐标由

旋转至

时，必有一处

。

 推论2 对于通过同一点的所有坐标系中，一定存在一对特殊的坐标系，截面对其中一轴的惯性矩最大，而对另一轴的惯性矩最小。

2.主轴与主惯性矩

图B.5-2

 定义：

惯性矩

的轴称为主轴（Principalaxis），对主轴的惯性矩称为主惯性矩（Principalmomentofinertia）。

设主轴方位角为

，令式（B.5-1）等于零，

得：

（B.5-5）

上式即可确定主轴的方位。

将公式（B.5-5）代入式（B.5-2）和（B.5-3），得主惯性矩：

（B.5-6）

用极值条件

，求得的之与公式（B.5-5）相同。

证明了在上述的两个主惯性矩中，一个为最大值，另一个为最小值。

联合式（B.5-6）、（B.5-7）和（B.5-5），可得主惯性矩的另一表达式：

（B.5-9）

3.形心主轴、主形心惯性矩

   通过形心的主轴称为形心主轴（Principalcentroidalaxis），相应的主惯性矩称为主形心惯性矩（Principalcentroidalmomentofinertia）。

当截面有一根对称轴时，截面对于和对称轴互垂的任一对轴的惯性积为零，说明对称轴也是主轴。

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