高中数学教案直线与圆锥曲线.docx
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高中数学教案直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线
课程目标
知识点
考试要求
具体要求
考察频率
直线与圆锥曲线
C
了解圆锥曲线的初步应用，理解数形结合的思想，掌握直线与圆锥曲线的位置关系.
必考
弦长与面积
C
能求直线被曲线截得的弦长和有关面积问题.
常考
直线与圆锥曲线的位置关系
C
熟练掌握直线与圆锥曲线的位置关系，理解数形结合的思想．
常考
动态圆锥曲线问题的参数求解
C
1.理解数形结合的思想;
2.理解圆锥曲线的简单应用．
少考
动态圆锥曲线问题的性质证明
C
1.理解数形结合的思想;
2.理解圆锥曲线的简单应用;
3.熟练掌握圆锥曲线的几何性质.
少考
知识提要
直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线相结合的问题是平面几何中的重点问题，也是难点问题．包括直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，及直线与圆锥曲线位置关系的应用问题．
直线与圆锥曲线有相交、相切、相离三种位置关系．把直线和圆锥曲线的方程进行联立后，得到关于或的一元二次方程，通过分析这个方程，就可以得到直线与圆锥曲线的三种位置关系．
弦长与面积
∙若直线与圆锥曲线相交时有两个交点，则以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长．直线与圆锥曲线相交于点，点，则直线被圆锥曲线所截得的弦长公式为；其中和可由两根差公式，得到．
∙面积问题首先需要选择恰当的面积公式，常见的有：
1、直线方程为，与椭圆相交于点、，垂直于弦于点，则，因此，的面积．
2、直线方程为，与椭圆相交于点、，且过椭圆右焦点，则的面积为．
3、过椭圆上一动点，引直线、交椭圆于另外两点、，且，则．
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切与相离三种，可以通过联立直线与圆锥曲线的方程，消元后利用判别式的符号得到位置关系．需要注意的是，直线与椭圆的位置关系与它们的交点个数有对应关系，即相交时有两个交点，相切时有一个交点，相离时没有交点；直线与双曲线的位置关系没有这样的对应关系，直线与双曲线的相交时也可能只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行；直线与抛物线相交时也可能只有一个交点，此时直线与抛物线的轴平行．
动态圆锥曲线问题的参数求解
在圆锥曲线问题中有某些量不确定，需要设定某些参数，去求解这些参数的值或取值范围．
动态圆锥曲线问题的性质证明
通过代数的方法去探索与证明圆锥曲线的一些几何性质，比如满足某种条件的直线过定点，某些线段的长度比值确定，证明某些点在同一条直线上等等．
精选例题
直线与圆锥曲线
1.已知实数，满足，则的最大值为 ．
【答案】
2.已知点，是椭圆上两点，且，则 ．
【答案】
3.已知直线交抛物线于，两点，若该抛物线上存在点使得为直角，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】 设，，，
则，，
由，得，
由，解得，
即．
4.已知，分别是椭圆的左、右焦点，为过点且斜率为的弦，则的值为 ．
【答案】
5.已知直线经过抛物线的焦点，与交于，两点．若，则的值为 ．
【答案】
6.在双曲线上求一点．使它到直线的距离最短．并求这个最短距离．
【解】 设与直线平行的双曲线的切线方程为．
由得
由直线与双曲线相切，得，
解得．
由本题题意，得．
此时方程化为，
解得，从而．
则切点坐标为，这就是所求的点．
由于直线与切线的距离为，
所以双曲线上的点到直线的最短距离为．
7.如图，，是焦点为的抛物线上的两动点，线段的中点在直线上．
（1）当时，求的值；
【解】 的焦点坐标是，准线方程是
设，，则，
所以
因为线段的中点在定直线上
所以，
所以；
因为，所以．
（2）记得最大值为，求．
【解】 设，由得，
所以，
故可设直线的方程为，
即．
联立消去得，
，，
所以，
因为，所以，
所以
8.已知圆，动圆与圆内切并且经过定点，圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
【解】 由已知得圆的圆心为，半径为；
设圆的圆心为，半径为．
因为圆经过定点，所以，
又圆与圆内切，所以，
所以．
由椭圆的定义可知，曲线是以，为左、右焦点的椭圆，
，，得，
椭圆方程为．
（2）设过点的直线与曲线相交于，两点，当的面积最大时，求的方程．
【解】 当轴时，不符合题意，则可设．
由得．
由，得．
设，，解方程得．
因为直线与轴交于点，
所以．
设，则，．
由均值不等式，得．
当且仅当，即时等号成立．
此时满足，且的最大值为．
所以当的面积最大时，的方程为或．
9.如图所示，以原点为圆心的两个同心圆的半径分别为和，过原点的射线交大圆于点，交小圆于点在轴上的射影为．动点满足且．
（1）求点的轨迹方程；
【解】 由且可知三点共线且．
过点作，垂足为，设，
因为，，由相似可知．
因为在圆上，，即．
所以点的轨迹方程为．
（2）过点作斜率分别为，的直线，与点的轨迹分别交于，两点，．求证：
直线过定点．
【解】 证明：
设，，依题意，
由，
解得或．
所以，，
所以．
因为，所以．
用替代中的，
同理可得．
显然，关于原点对称，所以直线必过原点．
10.已知椭圆：
的焦距为，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
【解】 依题意，，椭圆的焦点为，，
，
所以，椭圆的方程为
（2）、的椭圆上两点，线段的垂直平分线经过，求面积的最大值（为坐标原点）．
【解】 根据椭圆的对称性，直线与轴不垂直，设直线：
，
由得，．
设，，则，，
，到直线的距离，的面积，
依题意，，
，
，，
代入整理得，，
若，则，等号当且仅当时成立，
若，则，，等号当且仅当，时成立．
综上所述，面积的最大值为．
弦长与面积
1.椭圆的一个焦点为，过原点的直线交椭圆，两点，则的面积的最大值为 ．
【答案】
2.已知，是椭圆的两个焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，则直线的斜率为 ．
【答案】
3.直线被椭圆截得的线段的中点横坐标为，则中点的纵坐标为 ．
【答案】
【分析】 设直线与椭圆交于，两点．将直线方程代入椭圆方程消去得，所以．因为线段中点横坐标为，所以，得．所以线段中点纵坐标为．
4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，，则 ．
【答案】
【分析】 设，，由焦半径公式，得
即
设直线的方程为
与抛物线方程联立，得
则
解得，所以方程变为
解得
于是
5.正方形的边在直线上，两点在抛物线上，则正方形的面积为 ．
【答案】 或
【分析】 设所在直线方程为，代入，利用弦长公式可求出的长，利用的长等于两平行直线与间的距离，求出的值，再代入可求出的长，则面积可求．
6.已知大西北某荒漠上，两点相距千米，现准备在荒漠上围垦出一片以为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园．按照规划，围墙总长为千米：
（1）试建立适当的平面直角坐标系，求四边形另两个顶点的轨迹方程；
【解】 设四边形另两个顶点为，，则．
即．
则顶点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（长轴顶点除外）．
以的中点为原点，以所在直线为轴，建立坐标系．
设椭圆方程为，
则，，从而．
所以椭圆方程为．
（2）该荒漠上有一条直线形小溪刚好通过点，且与成角．现要对整条小溪进行改造，但考虑到小溪可能被农艺园围进的部分今后将重新设计改造，因此对该部分暂不改造．问暂不改造的部分有多长？
【解】 即求：
被椭圆截得的线段长．
设与椭圆交于，两点．
由得，
则，
所以．
7.已知椭圆，以点为中点的弦为，求弦的长度．
【解】 设，．
由中点的坐标为，得
由得，
则，
所以直线的方程为，
即，代入椭圆方程整理，得，
则从而
8.已知双曲线，它的弦的长是实轴长的倍，如果弦所在的直线过点，求直线的方程．
【解】 设的方程为，有
消去并整理，得．
设，，则，．
因为，
所以．
即，
．
解得．
当时，中，符合题意，所以；
当不存在时，，符合题意．
故的方程为或．
9.双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
【答案】
【分析】 本小问考察双曲线的对称性．
【解】 根据题意，通径与焦距的比为，即，从而解得，进而双曲线的渐近线方程为．
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率．
【答案】
【分析】 本小问是一个典型的焦点弦长问题，用“焦半径公式”即可轻松解决．
【解】 当时，双曲线的方程为，其焦距．设为双曲线右支上一点，则，在中应用余弦定理有
代入数据整理得
类似地，当为双曲线左支上一点时，有
（推导中用到：
[a]）
因此设直线的倾斜角为，则
整理得，因此直线的斜率为．
10.设椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆与轴的一个交点坐标为．
（1）求椭圆的方程；
【解】 由双曲线的离心率为，得椭圆的离心率为，
又由椭圆与轴的一个交点坐标为，得．
由解得
所以椭圆的方程为．
（2）若直线交椭圆与，两点，椭圆上一点，求面积的最大值．
【解】 由得．
由，得．
设，，则，．
又到的距离为，则
当且仅当，即时等号成立．
因此．
直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与双曲线有且仅有一个公共点，则 ．
【答案】 或
【分析】 由得．
当，即时，方程有唯一解，满足题意．
当时，，即，此时方程有唯一解，满足题意．
2.过点引抛物线的一条弦，且被点平分，则此弦所在的直线方程为 ．
【答案】
3.直线截椭圆所得弦的中点与椭圆中心连线所在的直线方程为 ．
【答案】
4.直线与抛物线仅有一个公共点，则 ．
【答案】
5.如果是椭圆的任意一条与轴不垂直的弦，为椭圆的中心，为椭圆的离心率，为的中点，那么的值为 ．
【答案】
6.在直角坐标系中，曲线上的点到两定点，的距离之和等于，直线与交于两点，若，求的值．
【解】 由椭圆定义可知，曲线是以，为焦点，长半轴为的椭圆，它的短半轴，故曲线的方程为．
设，其坐标满足
消去并整理得，由题意符合，
故．
若，即，而
于是，
化简得，所以．
7.设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点，为抛物线的焦点，求的值．
【解】 直线的方程为，显然．
由得．
因为直线与抛物线相切，所以，所以．
所以直线的方程为．
令，得，所以．
设切点坐标为，则，
解得．
由题意得，则
8.已知两点，，曲线上的动点满足．
（1）求曲线的方程；
【解】 依题意，，且，
所以曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆．
设椭圆的方程为，其半焦距长为．
因为，，，
所以曲线的方程为．
（2）设曲线的方程为，当和有四个不同的交点时，求实数的取值范围．
【解】 因为曲线的方程为，
所以当，时，曲线的方程可化为；
所以当，时，曲线的方程可化为；
所以当，时，曲线的方程可化为；
所以当，时，曲线的方程可化为．
所以曲线是以，，，四个点为顶点的正方形．
因为曲线和有四个不同的交点，且曲线，均是关于轴，轴对称的曲线，
所以曲线与有且仅有一个交点．
所以方程组有且仅有一组解．
即关于的方程在区间内有且仅有一个实数根．
设．
情形①
解得．
情形②
解得．
所以实数的取值范围是或．
9.在平面直角坐标系中，曲线上的点到两定点，的距离之和等于，直线与交于，两点，若，求的值．
【解】 由椭圆定义可知，曲线是以，为焦点，长半轴长为的椭圆，它的短半轴，故曲线的方程为．
设，，其坐标满足：
消去并整理得，
由题意符合，
故，．
若，即．
而，
于是，
化简得，所以．
10.已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点．
（1）求椭圆的方程；
【解】 依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为，从而有
解得
又，所以
故椭圆的方程为．
（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于？
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解】 假设存在符合题意的直线，其方程为，由
得
因为直线与椭圆有公共点，所以有
解得
另一方面，由直线与的距离可得
解得
由于
所以符合题意的直线不存在．
动态圆锥曲线问题的参数求解
1.已知抛物线与过点的直线交于，两点．若，则实数的值为 ．
【答案】
2.椭圆的内接正方形的周长为 ．
【答案】
3.直线交抛物线于，两点，为抛物线的顶点，若，则 ．
【答案】
4.已知椭圆，若此椭圆上存在不同的两点，关于直线对称，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】 设椭圆上两点关于直线对称，的中点为，则，．两式相减得：
即．
所以
所以，代入直线得
因为在椭圆内部，所以，解得：
．
5.已知点在抛物线的准线上，点在抛物线上，且位于轴的两侧，是坐标原点，若，则点到动直线的最大距离为 ．
【答案】
【分析】 由已知可求得，设，由（\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=3\）可得又因为，代入式解得，设动直线方程为把方程与抛物线方程联立解得，故过定点，从而到动直线的最大距离为到定点的距离．
6.如图，椭圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，且圆的面积为．椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点，，直线，与椭圆的另一个交点分别是点，．
（1）求椭圆的方程；
【解】 由题意得：
，则，
所以椭圆方程为：
．
（2）求面积最大时直线的方程．
【解】 由题意得：
直线，的斜率存在且不为，，
不妨设直线的斜率为，则．
由：
得：
或
所以：
．
同理得：
，．
由得：
，
所以：
．
所以：
．
设，则．
当且仅当时取等号，
所以．
则直线，
所以所求直线方程为：
．
7.已知，是椭圆的两个焦点，为坐标原点，是以为直径的圆，直线与相切，并与椭圆交于不同的两点，．
（1）求和的关系式
【解】 由与直线相切，得，
即．
（2）当，且时，求直线的倾斜角的取值范围．
【解】 由得．
由，得．
设，，则，．
所以
由，得，
解得，即，
故直线倾斜角的取值范围为．
8.一条斜率为的直线与离心率为的椭圆交于，两点，直线与轴交于点，且，，求直线和椭圆的方程．
【解】 由，得，即，
则椭圆方程变为．
设的方程为．
由消去并整理，得．
由与椭圆交于两点，得，
即．
设，，则．
．
由，得．
而，
所以．
将代入上式，得，
化简，得．
由及，得，
从而．
由，得．
联立，解得，，适合（）．
因此，直线方程为或；
椭圆的方程为．
9.已知中心在原点的椭圆：
的一个焦点为，为椭圆上一点，的面积为．
（1）求椭圆的方程；
【解】 因为椭圆的焦点为，
所以，则椭圆的方程为．
因为椭圆上一点，的面积为．
所以，
所以，
所以．
代入椭圆的方程，可得．
所以，
所以，
所以椭圆的方程为．
（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于，两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？
若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【解】 假设存在符合题意的直线存在，设直线方程为，代入椭圆方程，消去，可得．
设，，则，，
因为以线段为直径的圆恰好经过原点，所以
所以．
所以．
所以．
所以
此时
所以直线方程为．
10.设，是抛物线上相异两点，并且，交轴于点：
（1）若点，到轴距离之积为，求的值；
【解】 设，，由得．
又，，代入上式得，即，
所以．
（2）若为常数，在轴上是否存在异于点的点，交抛物线另一个交点为，交轴于，使？
若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【解】 假设存在点满足条件，设，，，，直线方程为，
与联立得，
因此．
记，同上面做法可得．
故．
记，由有，
可得．
所以．
由
（1）知得，所以，．
从而存在点满足条件．
动态圆锥曲线问题的性质证明
1.已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于，与的一个交点为，若，则 ．
【答案】
【分析】 直线，代入，得，又，所以，解得，即，（舍去）．
2.已知直线过点，且与抛物线交于、两点，则 ．
【答案】
【解】 由题可设直线的方程为，与抛物线联立，得，得，．
3.已知抛物线，过定点作一弦，则 ．
【答案】
【分析】 直线的斜率不存在时，的方程为，代入，解得
从而
直线的斜率存在时，设的方程为，代入中，消去得
设，，则
则有
从而
综上，．
4.设，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，过原点的直线与椭圆相交于两点，且直线的斜率
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