七年级数学上册 有理数的混合运算教案二 北师大版.docx

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七年级数学上册有理数的混合运算教案二北师大版

2019-2020年七年级数学上册有理数的混合运算教案二北师大版

教学目标

知识与技能：

1．能结合题目说出有理数混合运算的运算顺序，即先乘方后乘除、再加、减，如有括号要先算括号内部的；

2．在进行混合运算过程中，能合理地使用运算律简化运算；

过程与方法：

进行有理数混合运算的练习，养成在计算前认真审题，确定运算顺序，计算中按步骤审慎进行，最后要验算的好的习惯；

情感态度价值观：

通过实际问题的解决增强我们的应用意识，使自己形成“数学化”的思想．

教学重点

如何按有理数的运算顺序，正确而合理地进行有理数混合运算.

教学难点

如何按有理数的运算顺序，正确而合理地进行有理数混合运算.

教学方法

引导法

引导学生按有理数的运算顺序进行有理数的混合运算，从而提高学生灵活解题的能力.

教具准备

投影片四张

第一张：

运算顺序（记作§2．11A）

第二张：

例1、例2（记作§2．11B）

第三张：

练习（记作§2．11C）

第四张：

做一做（记作§2．11D）

教学过程

Ⅰ.复习回顾,引入课题

［师］前面我们学习了有理数的加、减、乘、除、乘方的意义及其运算.现在我们来回顾：

有理数的加法运算法则是什么？

减法运算法则是什么？

它们的结果各叫什么？

［生］有理数的加法法则是：

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

异号.两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

一个数同0相加，仍得这个数.

有理数加法运算的结果叫和.

有理数减法法则是：

减去一个数等于加上这个数的相反数.

有理数减法运算的结果叫差.

［师］很好，大家来一起背一下这两个运算法则.

（学生齐声背）

［师］好.我们再来回顾有理数的乘法运算法则是什么？

有理数的除法运算法则是什么？

它们的结果各叫什么？

［生］有理数的乘法法则是：

两数相乘，同号得正、异号得负，绝对值相乘.

任何数与0相乘，积仍为0.

有理数乘法的运算结果叫积.

有理数除法法则是：

法则1：

两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.

0除以任何非0的数都得0.

法则2：

除以一个数等于乘以这个数的倒数.

有理数除法运算的结果叫商.

［师］很好.除法有两个法则，在运算时要灵活运用.根据减法法则，减法可以转化为加法，以便利用运算律来简化运算.同样，在一些除法运算中，也可以利用除法法则二把除法运算转化为乘法运算,这样就可以利用运算律简化运算.

好，下面我们一起来背一下有理数的乘法法则和除法法则.

（学生背）

［师］我们除学习了有理数的加、减、乘、除运算外，还学习了有理数的第五种运算：

乘方.那什么叫乘方？

用示意图能表示幂、底数、指数等概念和关系吗？

［生］求n个相同因数a的积的运算叫做乘方.可以用示意图表示幂、底数、指数等概念和关系.示意图如下：

［师］很好.在进行有理数运算时，有时利用运算律可以简化运算，那有理数的运算律有哪些？

用式子如何表示？

［生］有理数的运算律有：

加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律.

用式子表示是：

a+b=b+a;

（a+b）+c=a+（b+c）

a·b=b·a;

（a·b）·c=a·（b·c）

a·（b+c）=a·b+a·c.

［师］回答得很好.在进行计算时适当运用这些运算律可以简化运算.

在小学我们学过四则运算，那四则运算顺序是什么？

［生］先算乘除，后算加减；若有括号，应先算括号内的.

［师］很好，下面我们看一算式：

3+22×（－）=_____.

在这个算式中，有加、有乘，还有乘方，那该如何计算呢？

这节课我们就来研究有理数的混合运算.

Ⅱ．讲授新课

［师］在小学，已学过了加、减、乘、除四则混合运算的运算顺序.同样，有理数的混合运算也有顺序问题.它与小学类似.有理数的混合运算顺序是：

（出示投影片§2.11A）

先算乘方，再算乘除，最后算加减.

如果有括号，先算括号里面的.

［师生共析］有理数的混合运算顺序包括两层意思：

如果有括号，应先算小括号内的，再算中括号，最后算大括号.如果没有括号，则先算乘方，再算乘除，最后算加减，即加和减是第一级运算，乘和除是第二级运算，乘方是第三级运算.运算顺序的规定应是先算高级运算，再算低一级运算，同级运算在一起，按从左到右的运算顺序.

好，知道了运算顺序后，我们看刚才的那道题：

3+22×（－）

这个题中，有乘方运算，则应先算乘方，再算乘法，最后算加法.即：

3+22×（－）=3+4×（－）=3+（－）=

下面我们通过例题来熟悉有理数的混合运算的法则：

（出示投影片§2.11B）

［例1］计算：

18－6÷（－2）×（－）

分析：

此题是含有乘、除和减法的混合运算,根据算式中的关系，运算时，第一步应先算除法，第二步算乘法，第三步算减法，最后得出结果.

解：

18－6÷（－2）×（－）=18－（－3）×（－）=18－1=17

下面我们再看一题.（出示投影片§2.11B）

［例2］计算：

（－3）2×［－+（－）］

［师］大家能不能独立完成呢？

［生］能.

［师］好.现在开始计算.（由两位学生上黑板计算）

［师］好，大家演算得都不错，在黑板上做题的这两位同学做得挺好.甲同学说说你的计算方法.

［生甲］这个题是含有乘方、乘、加的混合运算，并且带有括号.根据算式的关系，第一步先算乘方和括号内的加法运算.第二步再算乘法，得出结果.

解：

（－3）2×［－+（－）］=9×（－）=－11

［师］很好，有没有其他方法呢？

乙同学说说吧.

［生乙］这个题是含有乘方、乘法和加法的混合运算，根据算式关系，可将算式分为两段，“×”号前边的部分为第一段，“×”后边的部分为第二段.第一段是乘方，它的结果正好是第二段括号内两个分数的分母的最小公倍数，因此，我就想到运用乘法对加法的分配律进行计算，这样简化了运算.

解：

（－3）2×［－+（－）］=9×（－）+9×（－）=－6+（－5）=－11

［师］很好.大家来讨论一下，看看这个题的这两种方法，哪种较简便一些.

［生］第二种方法较简便，因为第一种方法中要先计算分数的加法，这时需要通分,而第二种方法，在运用了分配律后，只需要计算整数的加法.

［师］对，在运算时，有时可以利用运算律简化运算.所以，大家拿到一个题后，不要急于动笔计算.先考虑、分析题的类型，然后根据题型来选择合适的计算方法.提高运算速度及准确性.

下面我们通过做练习来进一步熟悉有理数混合运算的法则.（出示投影片§2.11C）

（课本P79随堂练习）

计算：

（1）8+（－3）2×（－2）

（2）100÷（－2）2－（－2）÷（－）

解：

（1）8+（－3）2×（－2）=8+9×（－2）=8+（－18）=－10

（2）100÷（－2）2－（－2）÷（－）=100÷4－（－2）×（－）=25－3=22.

［师］从练习知道大家基本掌握了有理数的混合运算的法则.接下来，我们做一做：

玩个游戏，看规则（出示投影片§2.11D）

你会玩“24点”游戏吗？

从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4取，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或－24.其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数.J、Q、K分别代表11，12，13.

（1）小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：

7×（3+3÷7）=24.

如果抽到的是黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，你能凑成24吗？

如果是黑桃7，黑桃3，红桃7，红桃3呢？

（2）请将下面的每组扑克牌凑成24.

黑桃Q，红桃Q,梅花3,方块a；

黑桃a，方块2，黑桃2，黑桃3；

［师］大家讨论讨论，看看谁最先凑成24.

［生甲］黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7可以这样凑成24：

7×［3－（－3）÷7］=24.

［生乙］由黑桃7，黑桃3，红桃7，红桃3，可以这样凑成24.

7×［3+（－3）÷（－7）］=24.

［师］很好，那第2小题呢？

［生丙］由黑桃Q，红桃Q，梅花3，方块a可以由以下算式凑成24.

12×3－（－12）×（－1）=24.

［生丁］也可以这样凑成24.

（－12）×［（－1）12－3］=24.

［生戊］由黑桃a，方块2，黑桃2，黑桃3可以这样凑成24：

（－2－3）2－1=24.

［师］每位同学表现得都挺好.并且大家讨论的结果都很正确.老师真为有你们这样的学生而自豪.

下面大家拿出准备好的扑克牌，与同伴来玩“24”点游戏.

Ⅲ.课堂练习

课本习题2.15

2．与你的同伴玩“24”点游戏.

Ⅳ.课时小结

本节主要学习了有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算.进行有理数混合运算的关键是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则运算律及运算顺序.

本节还通过玩游戏进一步加深理解了有理数混合运算的法则，积累了运算技巧，提高了运算速度.

Ⅴ．课后作业

（一）看课本P77~78

（二）课本P79习题2.151.

（三）１．预习内容：

P80~82

2.预习提纲：

（1）了解计算器的功能.

（2）如何运用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算.

3.每人准备一个计算器.

Ⅵ.活动与探究

1.用符号＞、＜、=填空：

42+32_____2×4×3

（－3）2+12_____2×（－3）×1

（－2）2+（－2）2_____2×（－2）×（－2）

通过观察、归纳，试猜想其一般结论.

过程：

先让学生计算、填空，然后通过观察、归纳、猜想、验证得出一般结论.

结论：

42+32＞2×4×3

（－3）2+12＞2×（－3）×1

（－2）2+（－2）2=2×（－2）×（－2）

当a、b表示任一有理数时,

a2+b2≥2×a×b

2.十边形有多少条对角线？

若将十边形的对角线全部画出比较麻烦，我们可以通过边数较少的多边形的对角线寻找规律.观察下表：

边数

3

4

5

6

7

……

对角线数

0

2

5

9

14

……

对角线增加数

0

2

3

4

5

你发现规律了吗？

过程：

让学生充分观察表，从表可以看出对角线随多边形边数增加的规律：

四边形的对角线是2条

五边形的对角线是5条，即5=2+3

六边形的对角线是9条，即9=2+3+4

七边形的对角线是14条，即14=2+3+4+5

八边形的对角线是20条，即20=2+3+4+5+6

九边形的对角线是27条，即27=2+3+4+5+6+7

十边形的对角线是35条，即35=2+3+4+5+6+7+8

……

n边形的对角线是：

2+3+4+5+6+…+（n－2）=（条）.

结果：

十边形有35条对角线.

n边形有：

2+3+4+5+6+…+（n－2）=）〗条对角线.

Ⅵ.板书设计

有理数的混合运算

一、运算法则二、典型例题三、练习

例1

例2

2019-2020年七年级数学上册有理数的除法教案北师大版

教学设计思想

“数学教学是数学活动的教学”．我们进行数学教学，不能只给学生讲结论，因为任何数学理论总是伴随着一定的数学活动，应该暴露数学活动过程．也只有在数学活动的教学中，学生学习的主动性，才能得以发挥．这一节课，从有理数除法问题的产生，到有理数除法法则的形成，以及归纳有理数除法的解题步骤等，不是简单地告诉学生结论和方法，然后进行大量的重复性练习，而是在教师的指导下，让学生自己去思索、判断，自己得出结论，从而达到培养学生观察、归纳、概括能力的目的．

教学目标

知识与技能：

1．熟记有理数除法法则，会进行有理数的除法运算。

2．知道除法是乘法的逆运算，会求有理数的倒数。

过程与方法：

3．根据除法是乘法的逆运算，结合算式探究有理数除法法则，培养观察问题解决问题的能力。

情感态度价值观：

4．通过师生相互交流、探讨发展逆向思维。

教学重点

有理数除法法则的运用，求一个负数的倒数.

教学难点

除法法则有两个，在运用时要合理选用法则1和法则2，当能整除时用法则1，在确定符号后，往往采用直接相除；在不能整除的情况下，特别是除数是分数时，用法则2，把除法转变为乘法比较简便.

教学方法

师生共同讨论法.

与学生展开讨论，从而使学生自己发现规律、总结规律，然后运用规律.

教具准备

投影片六张

第一张：

练习（记作§2．9A）

第二张：

想一想（记作§2．9B）

第三张：

法则（记作§2．9C）

第四张：

例1（记作§2．9D）

第五张：

练习（记作§2．9E）

第六张：

做一做（记作§2．9F）

课时安排

1课时

教学过程

Ⅰ.复习回顾，引入课题

［师］上节课我们学习了有理数的乘法，能运用乘法法则进行计算，谁能叙述有理数的乘法法则呢？

［生］两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘，任何数与0相乘，积仍为0.

［师］好，根据法则能口答下列各题吗？

（出示投影片§2.9A）

（1）（－3）×4；

（2）3×（－）；

（3）（－9）×（－3）；（4）8×（－9）；

（5）0×（－2）；（6）（－8）×（－6）；

［生］

（1）－12；

（2）－1；（3）27；（4）－72；（5）0；（6）48

［师］从回答问题中，知道大家已经掌握了有理数乘法法则，我为此很高兴.

假如：

已知两个因数的积和其中一个因数，要求另一个因数.那么我们用什么运算来计算呢？

［生］用除法.

［师］对，那我们今天就来研究有理数的除法.

Ⅱ．讲授新课

［师］除法是已知两个因数的积及其中一个因数，求另一个因数的运算，那10÷5是什么意思，商为几？

0÷5呢？

［生］10÷5表示一个数与5的积是10,商为2；0÷5表示一个数与5的积是0,商为0.

［师］很好.那（－12）÷（－3）是什么意思呢？

商为多少？

［生］（－12）÷（－3）表示一个数与－3的乘积是－12，商为4，对吧？

［师］对，你是怎样考虑的？

［生甲］（－12）÷（－3）表示一个数与－3的乘积是－12，那什么数与－3的乘积是－12呢？

+4.即：

4×（－3）=－12.由除法的意义知道，乘法与除法是互为逆运算，所以：

（－12）÷

（－3）=4.

［生乙］老师，我们在小学学过：

除以一个数等于乘以这个数的倒数，那么计算（－12）÷（－3）时，就可以转化为（－12）×（－）即：

（－12）÷（－3）=（－12）×（－）=4.这样可以吗？

［师］可以，两位同学的思路都很正确，分析得也很好.那大家现在想一想：

（出示投影片§2.9B）

（1）27÷（－9）=_____

（2）（－72）÷（－9）=_____

（3）0÷（－2）=_____

（4）48÷（－6）_____

（5）（－18）÷6=_____

（6）5÷（－）=_____

（7）（－27）÷（－9）=_____

（8）54÷6=_____

（9）8÷（－4）=_____

（10）（－45）÷（－15）=_____

（学生分析、计算、讨论）

［生］

（1）－3；

（2）8；（3）0；（4）－8；（5）－3；（6）－25；（7）3；（8）9；（9）－2；（10）3.

［师］很好，大家来观察一下算式，看看商的符号及其绝对值与被除数和除数有没有关系？

有，总结出规律.

［生甲］两个有理数相除.同号得正,异号得负，并把绝对值相除，0除以不为0的数得0.

［生乙］两个有理数相除总结出的规律与有理数的乘法法则类似.都是先确定结果的符号,然后再确定结果的绝对值.老师，是吧？

［师］对，大家总结得很好.在两个有理数相除时，首先确定商的符号，若两个数是同号两数，则商的符号为“+”，若这两个数是异号两数，则商的符号为“－”；其次确定商的绝对值，即被除数的绝对值除以除数的绝对值；还有0除以任何非0的数都得0.为什么要除以非0的数呢？

［生］因为0不能作除数.

［师］很好，这时，我们就总结出有理数的除法法则：

（出示投影片§2.9C）

两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.

0除以任何非0的数都得零.

（学生念一次，背一次）

注意：

（1）法则中的“同号得正、异号得负”是专指“两数相除”的.

（2）0不能作除数.

［师］好，接下来我们通过例题来熟悉有理数除法法则.（出示投影片§2.9D）

［例1］计算：

（1）（－15）÷（－3）；

（2）（－12）÷（－）；

（3）（－0.75）÷0.25；

（4）（－12）÷（－）÷（－100）.

分析：

直接利用法则进行计算.首先确定商的符号，然后再把绝对值相除.（4）小题要按顺序从左到右进行计算.另外注意：

负数在有理数运算中一定要加上括号.

解：

（1）（－15）÷（－3）=+（15÷3）=5

（2）（－12）÷（－）=+（12÷）=48

（3）（－0.75）÷0.25=－（0.75÷0.25）=－3

（4）（－12）÷（－）÷（－100）=+（12÷）÷（－100）=144÷（－100）

=－（144÷100）=－1.44

下面我们来做一练习.（出示投影片§2.9E）

计算：

（1）（－84）÷7；

（2）（－）÷（－3）

（3）0÷（－196）÷（－7）

答案：

（1）－12；

（2）；（3）0

［师］到现在为止，我们就学了有理数的乘法、除法法则，在运用这两个法则进行运算时，首先要确定结果的符号，然后再求结果的绝对值.下面我们做一做（出示投影片§2.9F）

计算：

（1）1÷（－）；1×（－）

（2）0.8÷（－）；0.8×（－）

（3）（－）÷（－）；（－）×（－60）

答案：

（1）－，－；

（2）－，－；（3）15，15.

［师］得出计算结果后，比较每一小题两式的结果，有规律吗？

［生］结果一样，说明两式相等.即:

1÷（－）=1×（－）

0.8÷（－）=0.8×（－）

（－）÷（－）=（－）×（－60）

由此得出：

除以一个数等于乘以这个数的倒数.

［师］对.通过计算总结，又得到有理数的除法的另一法则，我们可把这个法则称为法则二，把前面的那个法则称为法则一.这两个运算法则在本质上是一致的.在计算时，可根据具体的情况选用这两个法则.一般来说，两数能整除时，应用法则一较简单；两数不能整除或除数为分数时，应用法则二.

法则二是除以一个数等于乘以这个数的倒数，那什么叫互为倒数呢？

［生］乘积为1的两个有理数是互为倒数.

［师］那我们现在回头看刚才“做一做”的

（1）小题：

1÷（－）；它的意思是－与什么数相乘，积为1呢？

［生］－

［师］那－与－是什么数呢？

［生］互为倒数.

［师］对.因为互为倒数的乘积为1，所以1÷（－）的商就是－的倒数.大家再看：

1÷（－）=1×（－）=－

可知：

－与－是互为倒数，那谁能总结一下怎样求一个负数的倒数呢？

［生］1除以这个负数，就等于这个负数的倒数.

［师］很好，要求一个负数的倒数，只需要1除以这个负数得到的商就是这个负数的倒数.如果这个负数是分数，那么只需要把这个分数的分子、分母颠倒即可.

想一想：

正数的倒数是什么数，负数的倒数是什么数？

0呢？

［生］正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.

［师］很好.大家要求一个数的倒数时，一定要注意：

（1）0没有倒数.

（2）互为倒数的两数为同号.

Ⅲ.课堂练习

课本随堂练习

计算：

（1）÷（－）；

（2）（－1）÷（－1.5）；

（3）（－3）÷（－）÷（－）；

（4）（－3）÷［（－）÷（－）］.

解：

（1）÷（－）=－（×7）=－

（2）（－1）÷（－1.5）=+（1÷1.5）=+（1×）=

（3）（－3）÷（－）÷（－）=+（3×）÷（－）=÷（－）=×（－4）=－30

（4）（－3）÷［（－）÷（－）］=（－3）÷［（－）×（－4）］=（－3）÷［+（×4）］

=（－3）÷=（－3）×=－.

Ⅳ.课时小结

本节课主要学习了有理数的除法运算.有理数除法运算的步骤与有理数加、减、乘一样，都是先确定符号，再确定绝对值，在进行有理数除法运算时，要根据题目的特点，恰当地选择有理数除法法则进行计算，有理数除法转化为乘法后，可以利用乘法的运算律性质简化运算.

Ⅴ．课后作业

（一）课本P71习题2．121、2、3、4、5、6.

（二）１．预习内容：

P72~73

2.预习提纲

（1）乘方的概念.

（2）如何进行乘方运算.

Ⅵ.活动与探究

1.若1059、1417、2312分别被自然数x除时，所得的余数都是y,则x－y的值等于（）

A.15B.1

C.164D.179

（xx年竞赛）

过程：

对于除法运算中的整除性与非整除性，小学已初步探讨过.有以下公式：

被除数=除数×商

被除数=除数×商+余数

可以让学生利用此公式进行变化、培养学生灵活解题的能力.

设已知三数被自然数x除时，商分别为自然数a、b、c.那么：

ax+y=1059①

bx+y=1417②

cx+y=2312③

②－①得（b－a）x=358

③－①得（c－a）x=1253

③－②得（c－b）x=895

由于：

a≠bb≠cc≠a

所以，x是358、1253、895的公约数

即x=179,由此可得y=164

x－y=15

结果：

选A

2.求除以8和9都是余1的所有三位数的和.

过程：

可以让学生借鉴

（1）题来变化、运算.可设三位数为n，它是除以8、9的商分别为x、y余1的数.则:

n=8x+1；n=9y+1由此可知：

三位数n减去1，就是8和9的公倍数，即为:

144、216、288、360、432、504、576、648、720、792、864、936.

所以满足条件的所有三位数的和为：

144+216+288+360+432+504+576+648+720+792+864+936+1×12

=72×（2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13）+1×12=72×（2+13）×6+12=6492

答案：

6492

板书设计

§2.9有理数的除法

一、有理数除法法则：

（一）

（二）

二、如何求负数的倒数

三、课堂练习

四、课时小结

五、课后作业