北师大初中九年级数学上册《第二章 一元二次方程》教案.docx

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北师大初中九年级数学上册《第二章一元二次方程》教案

第二章一元二次方程

第一课时

认识一元二次方程

学习目标

1、理解一元二次方程的定义，会判断满足一元二次方程的条件。

2、能力培养：

能根据具体情景应用知识。

3、情感与态度：

体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。

学习重点

1、一元二次方程的定义；

2、一元二次方程的一般形式。

学习过程

一、前置准备：

1、什么是方程？

什么样的方程是一元一次方程？

2、多项式2x2-3x+1是几次几项式？

每项的系数和次数分别是几？

二、自学探究：

理解一元二次方程的概念，并会把一元二次方程化为一般形式。

自学教材，回答：

（1）如果设未铺地毯区域的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为m，宽为为m.

根据题意，可得方程

（2）试再找出（10、11、12、13、14以外）其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等后两个数的平方和：

；

如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、

、，根据题意可得方程：

（3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙m，梯子顶端距地面的垂直距离为m，根据题意，可得方程：

三、合作交流：

观察上述三个方程，它们的共同点为：

①；②；这样的方程叫做。

其中我们把称为一元二次方程的一般形式，ax2，bx，c分别称为、、，a、b分别称为、。

1、分别把上述三个方程化为ax2+bx+c=0的形式，并说明每个方程的二次项系数、一次项系数和常数项：

四、归纳总结：

通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

与同学交流一下。

1.一元二次方程的定义；

2、一元二次方程的一般形式。

五、当堂训练：

1、判断下列方程是否为一元二次方程，如果是，说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项：

（1）2x2+3x+5

（2）（x+5）（x+2）=x2+3x+1

（3）（2x-1）（3x+5）=-5（4）（3x+1）（x-2）=-5x

2、把方程（3x+2）2=4（x-3）2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

3、关于x的方程（k-3）x2+2x-1=0，当k时，是一元二次方程。

课下训练

1、根据题意，列出方程：

（1）有一面积为54平方米的长方形，将它的一边剪短5米，另一边剪短2米，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？

（2）三个连续的整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？

2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

方程

一般形式

二次项系数

一次项系数

常数项

3x2=5x-1

（x+2）（x-1）=6

4-7x2=0

3、关于x的方程（k2-1）x2+2（k-1）x+2k+2=0.

当k时是一元二次方程；当k时是一元一次方程。

4、把方程2x（x-3）=（x+1）（x-2）+3化成ax2+bx+c=0的形式后,a,b,c的值分别是（）

A.3、7、1B.2、-5、-1

C.1、-5、-1D.3、-7、-1

5、方程①x2-1=x;②2x2-y-1=0;③3x2-+1=0;④

中.其中是一元二次方程的是（）

A.①④B.①③④C.①.D.①②

链接中考

关于x的方程（k-）x2+（m-3）x-1=0，是一元二次方程。

则k和m的取值范围分别是什么？

第二课时

认识一元二次方程

学习目标

1、知识与技能：

经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识。

2、能力培养：

能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型。

3、情感与态度：

渗透“夹逼”思想，发展估算意识和能力，培养克服困难的勇气。

学习重点

用估算方法求一元二次方程的近似解。

学习过程

一、前置准备：

1、什么是方程的解？

二、自学探究：

通过估算未铺地毯区域的宽，理解探索方程解的过程。

根据上节课的学习，如果设未铺地毯区域的宽为xm，则可得方程（8―2x）（5―2x）=18，化为一般形式为：

_____________________________。

你能求出x吗？

根据本题实际情况，思考下列问题：

（1）x可能小于0吗？

说说你的理由；______________________________。

（2）x可能大于4吗？

可能大于2.5吗？

为什么？

。

由以上两题可知x的取值范围是___________________。

（3）完成下表

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

（8―2x）（5―2x）

（4）你知道未铺地毯区域的宽x（m）是多少吗？

还有其他求解方法吗？

思考下面的方法可以吗？

因为8―2x比5―2x多3，将18分解为6×3，8―2x=6，x=1。

说说你的观点，与同伴交流一下。

三、合作交流：

阅读课本33页“做一做”，设梯子底端滑动的距离x（m）满足方程（x+6）2+72=102

化为一般形式为：

______________________________。

（1）小明认为底端也滑动了1米，他的说法正确吗？

为什么？

______________________________________________

（2）底端滑动的距离可能是2米，3米吗？

为什么？

_________________________________________________

（3）你能猜出滑动距离x（m）的大致范围吗？

（4）x的整数部分是几？

十分位是几？

x

0

0.5

1

1.5

2

x2+12x-15

所以______

进一步计算

x

1.1

1.2

1.3

1.4

x2+12x-15

所以______

因此x的整数部分是______,十分位是______

注意：

（1）估算的精度不要求过高；

（2）计算时提倡使用计算器。

四、归纳总结：

你学到了哪些知识？

与同学交流一下。

怎样用估算方法求一元二次方程的近似解?

五、当堂训练：

1、五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个连续整数吗？

2、一个面积为120平方米的矩形苗圃，它的长比宽多2米，求苗圃的周长。

学习笔记

通过本节课的学习，你认为学得比较好的内容是什么？

不足又是什么？

课下训练

1、一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。

假设运动员起跳后的运动时间t（s）和运动员距水面的高度h（m）满足关系：

h=10+2.5t-5t2,那么他最多有多长时间完成规定的动作？

2、方程x2=x的解是（）

A.1B.1或-1C.0D.1或0

3、在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图。

如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么满足的方程是（）

A.x2+130x-1400=0B.x2+65x-350=0

C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=0

链接中考

已知两个数的和为10，积为9，求这两个数。

第三课时

配方法

教学目标

1、理解“配方”是一种常用的数学方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

2、在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法。

教学重点

用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程。

教学难点

会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

教学过程

一、引入

1、a2±2ab+b2=?

2、用两种方法解方程（x+3）2-5=0。

二、探究

自主探究P10-12

1、完成P10做一做

2、如何解方程x2+6x+4=0呢?

思考：

x2+6x+_____是一个完全平方式？

可得

x2+6x+____-___+4=0

即（x+__）2-____=0

就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。

试试看

3、揭示配方法的定义和关键点

当二次项系数为“1”时，只要在二次项和一次项之后加上______________________________，再减去这个数，使得含未知数的项在一个____________里，这种做法叫作__________

就可以用因式分解法或直接开平方法解了，这样解一元二次方程的方法叫作________。

4例题探究

例1把下列二次多项式配方

（1）x2+2x-5

（2）x2-4x+1

例2解方程

（1）x2+10x+9=0

（2）x2-12x-13=0

三、总结

1、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方？

2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？

四、用

1、课本P.12，练习。

2、解方程：

（1）x2-6x+10=0；

（2）x2+x+=0；

（3）x2-x-1=0。

作业布置：

课本习题1.2中A组第4题

（1）

（2）（3）。

第四课时

配方法

教学目标

1、理解用配方法解一元二次方程的基本步骤。

2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

3、进一步体会化归的思想方法。

教学重点

会用配方法解一元二次方程．

教学难点

使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。

教学过程

一、引入

1、、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么?

2、用配方法解方程x2+x-1=0

3、练习后再完成课本P13的“做一做”．

二、探

1、自主探究教材P13-15

2、探究：

我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，而对于二次项系数不为1的一元二次方程能不能用配方法解?

解方程：

2x2-4x-6=0

3、思考：

解方程2x2-4x-6=0的方法：

对于二次项系数不为1的一元二次方程，可将方程两边同除以________________，把二次项系数化为________，然后按上一节课所学的方法来解。

让学生进一步体会化归的思想。

4、尝试解方程3x2+9x+

=0

三、结

1、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么?

2、归纳解一元二次方程的算法。

四、用

1将下列方程配成（x+a）2=b的形式

（1）4x2+4x+1=0；

（2）x2-2x-5=0；

2、课本P．15，练习。

布置作业

习题1.2中A组第3题的（4），选做B组第2，3题。

第五课时

公式法

教学目标

1．一元二次方程的求根公式的推导

2．会用求根公式解一元二次方程

教学重点

一元二次方程的求根公式．

教学难点

求根公式的条件：

b

-4ac

0

教学过程

一、复习

1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？

2、用配方法解方程：

x2－7x－18=0

二、新授：

1、推导求根公式：

ax2+bx+c=0（a≠0）

解：

方程两边都作以a，得x2+

x+

=0

移项，得：

x2+

x=－

配方，得：

x2+

x+（

）2=－

+（

）2

即：

（x+

）2=

∵a≠0，所以4a2>0

当b2－4ac≥0时，得

x+

=±

=±

∴x=

一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）

当b2－4