数学建模合理分配住房问题.docx
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数学建模合理分配住房问题
合
理
分
配
住
房
问
题
******
马玮
周光
合理分配住房问题
问题的提出:
研究合理分配住房的优化问题时主要采用层次分析法，给出不同的权重，计算出排队分房职工的量化分数，用来确定排队分房次序方案，以此为基础进行合理分配住房。
某院校现行住房分配方案采用“分档次加积分”的方法，其原则是:
按职级分档次，同档次的按任职时间先后排队分配住房。
任职时间相同时再考虑其他条件（如工龄、爱人情况、职称、年龄大小等）适当加分，从高分到低分依次排队”.我们认为这种分配方案仍存在不合理性，例如，同档次的排队主要由任职先后确定，任职早在前，任职晚在后，即便是高职称、高学历，或夫妻双方都在同一单位（干部或职工），甚至有的为单位做出过突出贡献，但任职时间晚，则也只能排在后面，这种方案是“按资排辈”，显然不能充分体现重视人才，鼓励先进等政策。
根据民意测验，80%以上的人认为相关条件为职级、任职时间（为任副处的时间）、工龄、职称、爱人情况、学历、年龄和奖励情况.
要解决的问题是:
请你按职级分档次，存同档次中综合考虑相关各项条件给出一种适用于任意N人的合理分配住房方案.根据表1中的40人情况给出排队次序，并分析说明方案较原方案的合理性。
表140个人的基本情况和原方案排序
人员
职级
任职时间
工作时间
职称
学历
爱人情况
出生年月
奖励加分
P1
8
1991.6
71.9
中级
本科
院外
1952.9
0
P2
8
1992.12
78.2
高级
硕士
院内职工
1957.3
4
P3
8
1992.12
76.12
中级
硕士
院外
1955.3
1
P4
8
1992.12
76.12
中级
大专
院外
1957.11
0
P5
8
1993.1
74.2
中级
硕士
院外
1956.10
2
P6
8
1993.6
73.5
中级
大专
院外
1955.10
0
P7
8
1993.12
72.3
中级
大专
院内职工
1954.11
0
P8
8
1993.12
77.10
高级
硕士
院内干部
1960.8
4
P9
8
1993.12
72.12
中级
大专
院外
1954.5
0
P10
8
1993.12
74.8
高级
本科
院内职工
1956.3
4
P11
8
1993.12
74.4
中级
本科
院外
1956.12
0
P12
8
1993.12
75.12
高级
硕士
院外
1958.3
2
P13
8
1993.12
75.8
中级
大专
院外
1959.1
0
P14
8
1993.12
75.9
中级
本科
院内职工
1956.7
0
P15
9
1994.1
78.10
高级
本科
院内干部
1961.11
5
P16
9
1994.6
76.11
高级
硕士
院内干部
1958.2
0
P17
9
1994.6
75.9
高级
本科
院内职工
1959.6
1
P18
9
1994.6
75.10
高级
本科
院内职工
1955.11
6
P19
9
1994.6
72.12
初级
中专
院外
1956.1
0
P20
9
1994.6
74.9
中级
大专
院内职工
1957.1
0
P21
9
1994.6
75.2
高级
硕士
院外
1958.11
2
P22
9
1994.6
75.9
中级
硕士
院内职工
1957.4
4
P23
9
1994.6
76.5
中级
本科
院外
1957.7
0
P24
9
1994.6
77.1
中级
本科
院内干部
1960.3
0
P25
9
1994.6
78.10
高级
硕士
院内干部
1959.5
2
P26
9
1994.6
77.5
中级
本科
院内职工
1958.1
0
P27
9
1994.6
78.10
中级
硕士
院内干部
1963.4
1
P28
9
1994.6
78.2
中级
本科
院外
1960.5
0
P29
9
1994.6
78.10
高级
博士
院内干部
1962.4
5
P30
9
1994.6
79.9
中级
本科
院外
1962.9
1
P31
8
1994.12
75.6
中级
大专
院内干部
1958.7
0
P32
8
1994.12
77.10
高级
硕士
院内干部
1960.8
2
P33
8
1994.12
78.7
高级
博士后
院外
1961.12
5
P34
9
1994.12
75.8
高级
博士
院外
1957.7
2
P35
9
1994.12
78.10
高级
博士
院内干部
1961.4
4
P36
9
1994.12
78.10
高级
博士
院内干部
1962.12
6
P37
9
1994.12
78.10
中级
本科
院内职工
1962.12
0
P38
9
1994.12
79.10
中级
本科
院内干部
1963.12
0
P39
9
1995.1
79.10
中级
本科
院内干部
1961.7
0
P40
9
1995.6
80.1
高级
硕士
院内干部
1961.3
4
问题的分析
由题意可知，该问题半定量半定性、多因索的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，我们主要利用层次分析法对此做出决策。
鉴于原来按任职时间先后排队的方案可能已被一部分人所接受，从某种意义上讲也有一定的合理性.现在要充分体现重视人才、鼓励先进等政策.但也有必要照顾到原方案合理的方面，如任职时间、工作时间、年龄的因素应重点考虑。
于是可以认为相关的8项条件在解决这一问题中所起的作用是不同的，应有轻重缓急之分.因此、假设8项条件所起的作用依次任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况。
这样能够符合大多数人的利益。
任职时时间早、工龄长、职级高、高职称、双职工、高学历、年龄大、受奖多的人员都能够得到充分的体现.任何一种条件的优越，在排序中都不能是绝对的优越。
首先将各项条件进行量化，为了区分各条件中的档次差异，确定量化原则如下：
1.任职时间，工作时间，年龄均按每月0.1分计算；
2.职级中，处级2分，副处级1分；
3.职称中，处级1分，中级2分，高级3分；
4.学历中，中专1分，大专2分，本科3分，硕士4分，博士5分，博士后6分；
5.爱人情况中，院外1分，院内职工2分，院内干部3分；
对原奖励得分再加一分。
表240个量化分数表
人员
任职时间
工作时间
职级
职称
爱人情况
学历
出生年月
奖励加分
P1
8.3
32
2
2
1
3
52.4
1
P2
6.5
24.3
2
3
2
4
49.4
5
P3
6.5
25.7
2
2
1
4
51.8
2
P4
6.5
25.7
2
2
1
2
48.6
1
P5
6.4
29.1
2
2
1
4
49.9
3
P6
5.9
30
2
2
1
2
51.1
1
P7
5.3
31.4
2
2
2
2
52.2
1
P8
5.3
24.7
2
3
3
4
45.3
4
P9
5.3
30.5
2
2
1
2
52.8
1
P10
5.3
28.5
2
3
2
3
50.6
5
P11
5.3
28.9
2
2
1
3
49.7
1
P12
5.3
26.9
2
3
1
4
48.2
3
P13
5.3
27.3
2
2
1
2
47.2
1
P14
5.3
27.2
2
2
2
3
50.2
1
P15
5.2
23.5
1
3
3
3
43.8
6
P16
4.7
25.8
1
3
3
4
48.3
1
P17
4.7
27.2
1
3
2
3
46.7
2
P18
4.7
27.1
1
3
2
3
51
7
P19
4.7
30.5
1
1
1
1
50.8
1
P20
4.7
28.4
1
2
2
2
49.6
1
P21
4.7
27.9
1
3
1
4
47.4
3
P22
4.7
27.2
1
2
2
4
49.3
4
P23
4.7
26.4
1
2
1
3
49
1
P24
4.7
25.6
1
2
3
3
45.8
1
P25
4.7
23.5
1
3
3
4
46.8
3
P26
4.7
25.2
1
2
2
3
48.4
1
P27
4.7
23.5
1
2
3
4
42.1
2
P28
4.7
24.3
1
2
1
3
45.6
1
P29
4.7
23.5
1
3
3
6
43.3
6
P30
4.7
22.4
1
2
1
3
42.8
2
P31
4.1
27.5
2
2
3
2
47.8
1
P32
4.1
24.7
2
3
3
4
45.3
3
P33
4.1
23.5
2
3
1
6
43.7
6
P34
4.1
27.3
1
3
1
5
49
3
P35
4.1
23.5
1
3
3
5
44.5
4
P36
4.1
23.5
1
3
3
5
42.5
7
P37
4.1
23.5
1
2
2
3
42.5
1
P38
4.1
22.3
1
2
3
3
41.3
1
P39
4
22.3
1
2
3
3
44.2
1
P40
3.5
22
1
3
3
4
44.6
5
模型的建立
模型的假设
1）8项条件由民意得到，相关人员无异议；
2）8个条件在分配方案中所起的作用依次是：
任职时间，工作时间，职级，职称，爱人情况，学历，年龄和奖励情况。
3）每个人的各项条件按统一原则均可量化，并充分反映出个人实力。
模型的建立
1.确立层次结构
问题共有三层：
第一层是目标层O；第二层是准则层C，共有8个条件为任职时间，工作时间，职级，职称，爱人情况，学历，年龄和奖励情况，分别记为Ck（k=1,2,…,8）；第三层为方案层P：
有N＝40个参选人组成，依次记为Pn（n=1,2,…,N）。
2.确定准则层C对目标层O的权重W1，根据假设2，构造比较矩阵如下：
A=
这是一个8阶正反矩阵，计算求得该矩阵最大特征值为λ1＝8.288276，对应的特征向量归一化后得：
W1＝（0.3313，0.2307，0.1572，0.1059，0.0709，0.0477，0.0327，0.0236）T
对应的CI1=（λ-8）/（8-1）=0.0412
查表得RI1=1.41
CR1=CI1/RI1=0.0292<0.1
于是W1作为C层对O层的权重向量。
3.确定方案层P对准则层C的权重W2
因为对每个人各项条件的量化指标能够充分反映出个人综合实力，由此分别构建P层对准则Ck的比较矩阵：
Bk=（bi,j（k））N×N，其中bi,j（k）＝Ti（k）/Tj（k）（i,j=1,2,…,N;k=1,2,…,8）分别求出各矩阵Bk的最大特征向量λ（k）和相对应的特征向量，将其归一化可得P对Ck的权重向量W（k）＝（w1（k）,w2（k）,…,wN（k））T（k=1,2,…,8），则W2＝[W
（1）,W
（2）,…,W（8）]N×8，即为P层对C层的权重。
由于所有的Bk均为一致阵，Bk的最大特征值为N，其CR均为0，所以一致性比率指标为0<0.1，因此，W2可作为P层对C层的权重向量。
经计算得：
W2＝（0.04180.03060.03390.02080.01280.02240.02770.0096
0.03270.02320.03390.03120.02560.02990.02610.0481
0.03270.02460.03390.02080.01280.02990.02730.0192
0.03270.02460.03390.02080.01280.01490.02570.0096
0.03220.02780.03390.02080.01280.02990.02630.0288
0.02970.02870.03390.02080.01280.01490.02700.0096
0.02670.03000.03390.02080.02560.01490.02760.0096
0.02670.02360.03390.03130.03850.02990.02390.0385
0.02670.02920.03390.02080.01280.01490.02790.0096
0.02670.02730.03390.03130.02560.02240.02670.0481
0.02670.02760.03390.02080.01280.02240.02620.0096
0.02670.02570.03390.03130.01280.02990.02540.0288
0.02670.02610.03390.02080.01280.01490.02490.0096
0.02670.02600.03390.02080.02560.02240.02650.0096
0.02620.02250.01690.03130.03850.02240.02300.0577
0.02370.02470.01690.03130.03850.02990.02550.0096
0.02370.02600.01690.03130.02560.02240.02470.0192
0.02370.02590.01690.03130.02560.02240.02690.0673
0.02370.02920.01690.01040.01280.00750.02680.0096
0.02370.02720.01690.02080.02560.01490.02620.0096
0.02370.02650.01690.03130.01280.02990.02500.0288
0.02370.02600.03390.02080.02560.02990.02600.0385
0.02370.02530.01690.02080.01280.02240.02590.0096
0.02370.02450.01690.02080.03850.02240.02420.0096
0.02370.02250.03390.03130.03850.02990.02480.0288
0.02370.02510.01690.02080.02560.02240.02550.0096
0.02370.02250.01690.02080.03850.02990.02220.0192
0.02370.02320.01690.02080.01280.02240.02410.0096
0.02370.02250.01690.03130.03850.04480.02290.0577
0.02370.02140.01690.02080.01280.02240.02260.0192
0.02070.02630.03390.02080.03850.01490.02520.0096
0.02070.02360.03390.03130.03850.02990.02390.0288
0.02070.02280.03390.03130.01280.04480.02300.0577
0.02070.02610.01690.03130.01280.02990.02590.0288
0.02070.02250.01690.03130.03850.03730.02350.0385
0.02070.02250.01690.03130.03850.03730.02230.0673
0.02070.02250.01690.02080.02560.02240.02230.0096
0.02070.02130.01690.02080.03850.02240.02160.0096
0.02020.02130.01690.02080.03850.02240.02330.0096
0.01760.02100.01690.03130.03850.02990.02350.0481）
4.确定方案层P对目标层O的组合权重W
由C层对O层的权重W1和P层对C层的权重W2，则得到P层对O层的权重W为：
W＝W2·W1＝（w1,w2,…,wN）T
＝（0.03160.03010.02770.02670.02850.02670.02700.02880.02590.02870.02580.02730.02510.02640.02570.02470.02400.02520.02070.02260.02380.02640.02160.02320.02730.02240.02320.02110.02600.02080.02490.02650.02590.02270.02420.02480.02070.02140.02130.0227）T
其组合一致性比率指标为CR＝CR1+CR2＝0.0292<0.1，因此，组合权重W可作为目标决策的依据。
wn（n=1,2,…,N）是参选人员Pn对目标O的权重，表示参选人的综合实力指标，按其大小排序，可以得到决策方案。
结果如下表
人员
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
名次
1
2
6
10
5
11
9
3
17
4
人员
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
P19
P20
名次
18
8
21
14
19
24
26
20
40
32
人员
P21
P22
P23
P24
P25
P26
P27
P28
P29
P30
名次
27
13
34
29
7
33
28
37
15
38
人员
P31
P32
P33
P34
P35
P36
P37
P38
P39
P40
名次
22
12
16
31
25
23
39
35
36
30
结果分析
利用层次分析法给出了一种合理的分配方案，从结果看，该方案使得每个人的特长和优势都得到了充分体现，符合绝大多数人的利益。
程序和相关数据
程序：
X=[1,2,3,4,5,6,7,8;1/2,1,2,3,4,5,6,7;1/3,1/2,1,2,3,4,5,6;1/4,1/3,1/2,1,2,3,4,5;1/5,1/4,1/3,1/2,1,2,3,4;1/6,1/5,1/4,1/3,1/2,1,2,3;1/7,1/6,1/5,1/4,1/3,1/2,1,2;,1/8,1/7,1/6,1/5,1/4,1/3,1/2,1];
[V,D]=eig（X）;
y=8;
a=D（1,1）;
h=1;
fori=1:
1:
8
forj=1:
1:
8
ifaa=D（i,j）;
h=j;
end
end
end
L1=a;
fprintf（'L1=%d\n',L1）;
w0=0;
fori=1:
1:
8
w1（i,1）=V（i,h）;
w0=w0+V（i,h）;
end
w1=w1/w0;
RI=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51,1.54,1.56,1.58,1.59];
RI1=RI（1,8）;
CI1=（L1-y）/（y-1）;
CR1=CI1/RI1;
fprintf（'CR1=%d\n',CR1）;
A=data;
fori=1:
1:
40
forj=1:
1:
40
B1（i,j）=A（i,1）/A（j,1）;
end
end
[V1,D1]=eig（B1）;
y=40;
a=D1（1,1）;
h=1;
fori=1:
1:
8
forj=1:
1:
8
ifaa=D1（i,j）;
h=j;
end
end
end
L21=a;
fprintf（'L21=%d\n',L21）;
fori=1:
1:
40
w21（i,1）=V1（i,h）;
end
w0=0;
fori=1:
1:
40
w0=w0+V1（i,h）;
end
w21=w21/w0;
fori=1:
1:
40
forj=1:
1:
40
B2（i,j）=A（i,2）/A（j,2）;
end
end
[V2,D2]=eig（B2）;
y=40;
a=D2（1,1）;
h=1;
fori=1:
1:
8
forj=1:
1:
8
ifaa=D2（i,j）;
h=j;
end
end
end
L22=a;
fprintf（'L22=%d\n',L22）;
fori=1:
1:
40
w22（i,1）=V2（i,h）;
end
w0=0;
fori=1:
1:
40
w0=w0+V2（i,h）;
end
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