教学运算定律与简便远算的困惑与.docx

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教学运算定律与简便远算的困惑与

拨开云雾见月明

——教学“运算定律与简便计算”困惑与再思考

【摘要】加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律这五条运算定律在数学中具有重要的地位和作用，被誉为“数学大厦的基石”。

笔者在教学中发现学生普遍出现“一学就会，一做就错”的现象，由此产生了一些困惑，并对此教学容进行了一些再思考和实践。

【关键词】运算律简便计算数学模型思考实践

“运算定律与简便计算”是义务教育课程标准实验教科书人教版四年级下册第三单元的容,属于数与代数领域,是本册教材的重点教学容。

本单元的主要容是加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律,乘法分配律,以及这五条运算定律的一些比较简单的运用。

在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在第二学段的具体目标中明确指出：

“探索和理解运算定律，能应用运算定律进行一些简便计算。

”但在教学时学生往往“一学就会，一做就错”，“简便计算”不“简单”！

我开始怀疑是不是自己对教材的理解出现了偏差，还是教学上出现了某些问题？

于是,我重审教材，回望教学。

一、困惑重重——迷失教学方向

困惑1:

如何教学运算律——概念叙述必须会吗？

学生能熟练说出五个运算律的字母公式，却不会用语言来描述。

对于这一现象有的老师认为只要让学生熟背概念，简单易行；有的老师认为死记硬背毫无意义，只要会运用就行。

而我认为两种观点都是片面的，前者只是把学生的学习看作是一个亦步亦趋地复现教材知识概念原意的过程，即使学生能够倒背如流，这种封闭的寻求固定答案的过程又有何价值？

而后者忽视了学习的过程，仅将“结果”作为学生学习的终极目标。

所以我认为最好是让学生能在自然的状态下水到渠成地描述出概念，但不知该如何进行具体操作。

困惑2：

如何熟练运用运算律——为什么学生“似会而非”？

课堂上似乎所有学生都已很好地理解了运算律，并能根据运算律举一反三。

但随着教学的深入，简便计算类型的增加，需要综合运用各种运算定律进行简算时，便开始错误百出：

比较典型的是学生总将各种运算律冠戴，不加辨析乱用一通，尤其对乘法结合律和分配律混淆不清。

到底该如何让学生熟练准确地运用运算律，化解“似会而非”呢？

困惑3:

运算律的最终目标是什么——仅为了简算而学吗？

教学实践中常发现学生能简算的题目不简算，不能简算的题目却偏要胡乱套用运算律进行简算，更有甚者出现在机械地套用运算定律后再返回原式的笑话。

叩问：

运算律的最终目标是什么，难道仅是为了简算而学吗？

二、追根溯源——把握价值取向

面对种种困惑疑虑，笔者认为最重要的就是理解新课程理念下“运算定律与简便计算”教学的本质，只有在这个基础上我们才可以去思索这一知识容到底该如何教学。

（一）聚焦教材

1.教材容的编排对比：

教材版本

编排特点

抽象概括过程

应用

原浙教版教材

第七册加法运算定律

第八册乘法运算定律

结合四则运算的意义概括出对应的运算定律。

给出几组算式，让学生通过计算，发现规律，进行概括。

体现的是从计算中来到计算中去

介绍算法技巧为主

人教版教材

第八册加法运算定律

乘法运算定律

集中、系统编排，构建比较完整的知识结构。

结合问题情境，帮助学生体会运算定律的现实背景。

体现的是从生活中来到生活中去。

将简便计算的讨论与实际问题的解决有机结合，问题解决策略的多样化与计算方法多样化融为一体。

通过对新老教材比较分析，本部分容在老教材中分别安排在第七册和第八册单元中“整数与整数四则运算”中学习,对前几册学习过的四则运算知识进行较为系统的概括和总结,如概括出四则运算的意义和运算定律等。

而人教版教材打破了以往的格局,安排了“四则运算”和“运算定律与简便运算”两个单元。

新教材集中编排有关运算定律的知识,有利于学生形成完整的知识体系；并从现实的问题情境中抽象概括出运算定律，便于学生理解和应用；且着力引导学生将简便计算应用于解决现实生活中的实际问题，同时注意解决问题策略的多样化。

此外，对计算题的要求上，由过去是“能简便的一定要简便计算”，转变为现在的“计算下面各题，怎样简便就怎样计算。

”学生可以灵活地选择方法进行计算。

2.教学容的前后联系：

学生在前面几册的学习中已经多次渗透了运算律的思想,接触了大量的例子,如加减法的验算、两位数乘两位数等，有了一些直观的体验和经验,特别是对于加法、乘法的可交换性、可结合性,这些经验构成了本单元知识的认知基础。

本单元学习的五条运算定律,是进行运算的基础,不仅适用于整数的加法和乘法,也是今后学习小数、分数四则运算，甚至是初中有理数的四则混合运算、式的运算的基础。

因此，这部分容在整个义务教育阶段的数学教学中,占据着承上启下的重要地位。

（二）慎思教学

为什么学生“一学就会，一做就错”呢？

老师们普遍的看法是:

学生对运算定律的理解不准确、知识负迁移、思维定势的干扰、注意力分配不够、以及缺乏良好的计算习惯等。

应该说这些分析都有理,但再深究其因，我认为还和教师忽视运算律数学模型的建构，急功近利导致有关。

原因1：

重技能，轻算理

有的教师往往过分侧重于简单机械的技能训练，只关注到乘法分配律应用到算式中的简洁性的功能，而忽视了对运算律算理的分析，导致了一些后进生出现了死记硬背定律，机械套用公式的情况,这样既不利于学生对知识的掌握，也不利于对数学模型的建构。

原因2：

重记忆，轻理解

有的教师只侧重于让学生背诵运算律的字母表示公式，但对于其中的算理却从不作要求。

当学生出现运算律混淆时，教师又只是简单地从形式入手来讲解，如学生出现错误“25×（4×8）=（25×4）×（25×8）”时，告诉学生括号里是是加减法时才能用乘法分配律。

因此学生大多记住的只是运算律的外在空壳，对运算律的理解是只有形式缺少涵的“伪理解”。

三、寻求策略——解决困惑疑虑

五条运算定律中，乘法的交换律、结合律与加法的交换律、结合律一样，都是同一种运算的规律，只有乘法分配律沟通了乘法和加法的联系，具有特殊的重要意义。

五条运算律中最难掌握也是乘法分配律，一是因学生的感性认识比较少；二是因乘法分配律形式变化比较大，学生掌握起来比较困难。

因此下文我主要以乘法分配律教学为例，谈谈在教学中的一些思考与实践。

（一）建构模型，教学运算律

教师要重视运算律数学模型的建构。

计算时，学生经常会犯这样那样的错误。

如：

生1：

125×（40＋8）=125×40＋8；生2：

125×（40＋8）=（125×408）×（125×8）。

不难看出，学生没有真正理解掌握乘法分配律的模式“和×一个数=两积求和”。

生1不明白要把125这个因数分别与括号的每一个数相乘，生2把乘法分配律和乘法结合律混淆起来了。

因此，教师要帮助这些学生真正理清乘法分配律的本质涵，建立起相对清晰的乘法分配律的模式。

在探索运算律教学中，需要引导学生概括出等式的共同特征，并能进行数学语言的表达，这是一个从感性到理性、从具体到抽象的过程，其实质是一个数学建模的过程。

通常经历从现实原型“发现问题，提出猜想,举例验证,说理验证，总结规律”的过程。

1.借助经验，找准起点

（1）借助知识经验：

教学应该注重学生已有的知识经验，找到知识的生长点，经过同化和顺应，构建认知的结构。

如教学乘法分配律时，学生已有的知识经验是“几个几”,这也是乘法分配律的核心所在。

学生在二年级时已经学习了乘法的意义，在后继教材中也都有所孕伏、渗透。

因此教师可以把这个知识经验作为学习乘法分配律的知识生长点，从一开始，就可引导学生用这种经验来解释“等式左右两边为什么会相等？

”如：

（4+2）×25=4×25+2×25，左边共有6个25，右边4个25加2个25等于6个25，也等于150人。

逆向说也成立。

教学只有植根于定律的意义理解，对算式结构特点的把握才能水到渠成。

（2）借助生活经验：

此外还可借助生活经验来帮助学生理解乘法分配律。

例如“如果有一件上衣和一条裤子称为一套衣服，那么2套衣服里有几件上衣和几条裤子？

如果有5件上衣和5条裤子可以组成几套衣服？

如果一件上衣120元，一条裤子80元,5套衣服需要多少钱？

列出算式：

120×5＋80×5和（120＋80）×5”。

从而引出（120＋80）×5=120×5＋80×5这一乘法分配律最基本的模式。

2.抓住本质，构建雏形

由于小学生的直观形象思维占优势，对许多知识的认识，常常是先通过外显的表面开始，再逐步由表及里地去认识知识本质的。

如教学中，我先引导学生从认识算式外形结构入手，让学生初步构建乘法分配律的雏形。

当学生得出了这样的结论后：

（120＋80）×5=120×5＋80×5，再引导学生：

比较左右两个算式有何异同？

如生只说出“左边算式是先算括号里的加法，再算乘法；右边算式是先算两个乘法，后算加法”时应继续让学生探究两个算式有什么样的外形结构？

因为这点不同只是从外形上还不是本质。

最后要引导学生认识到左边是两个数的和×一个数；右边是两积求和。

也就是说：

“和×一个数=两积求和。

”这才是构建乘法分配律的关键，我们可以由此让学生总结出乘法分配律。

学生通过这组算式的外显形式到动态变化认识，使学生在外在形式上得到了初步感知，并找到了基本结构的本质。

从而为乘法分配律雏形的构建，为进一步深入认识乘法分配律的本质打下良好的基础。

3.注重意义，理解表达

中年级学生在学习运算律时，通过直观感知能够理解运算律的含义，也能够用具体的算式来验证运算定律，用字母、符号来表达运算定律。

但字母的表达虽简洁，却抽象，而且学生记住的也只是它的外形，要让学生真正理解这个规律的涵，必须要让学生用自己的语言来说说这个规律，只有说得出来才是真正的理解，但是有些学生对于用语言来描述运算定律是有一定很困难。

教学时教师应重视这一现实基础，给学生提供充分思考和交流的时间，让他们用自己的语言来表达发现的规律，解释字母公式的含义，从而促使学生能够真正理解运算定律的含义，这样就能减少运算定律相混的现象。

当然，对学生的口头表述要求不要过高，只要基本准确，能讲清楚就可以了。

（二）理解模型，化解“似会而非”

只有在充分理解运算律的基础上，才能进行准确地应用模型。

教师应将教学的侧重点放在如何让学生深入理解运算律的意义上，而不是放在如何让学生尽快应用模型，达到它的计算功能。

通过学生充分地思考，加深对运算定律的理解。

这样，盲目模仿，“似会而非”的现象就会大为减少。

1.数形结合，解决难点

华罗庚说过：

“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数缺形时少直观，形少数时难入微。

”对于后进生光靠讲解来理解运算律算理比较抽象。

教师可借助“数形结合”思想解决难点。

如针对学生在运用乘法分配律时中常“漏乘”的现象：

25×（40+4）=25×40+4，可引导学生看着右图求大长方形的面积，借助图形帮助学生分析，求出的不是大长方形的面积，而是左边长方形的面积加上1条宽的长度，无意义。

这样借助图形帮助学生思考数与数之间的关系，有助于发展学生的形象思维，有效避免类似的错误再次发生。

2.清晰算理，以理驭法

运用运算律进行简算重在“悟”，不能“灌”。

面对灵活多样的变式题，教师应让学生去寻找它的意义本源，寻找这些特例与运算定律之间的在联系，然后重新组建新的认知结构。

让学生说算理是一种比较好的教学方法，还能起到举一反三的效果。

如教师以乘法分配律的基本公式为基础，进行变式，并将一些易混淆的题目组成题组，通过对比让学生掌握本质。

学生容易出现错误：

42×101=42×（101-1）=42×100；42×99=42×（99+1）=42×100；

42×99+42=42×（100-1）；42×101-42=42×（100+1）。

学生只想到凑整，却不会考虑变化的数目及变化前后是否相等。

此时教师可引导学生把“42×101”与“42×99”进行对比：

“42×101”表示101个2是多少，可以先算100个42是4200，在加上1个42就是4242；“42×99”表示42个99是多少，可以先算100个42是4200，再减去1个42，得到4158。

这样既进行了算式意义上的区分，又在涵上架起了原式与乘法分配律的在联系“42×99+42和42×101-42同样如此教学。

如果单纯地告诉学生在后面添上42乘1，补全四项变成乘法分配律的标准形式，那么学生遇到类似42+99×42的这种题型往往就会写成42+99×42=42+99×42×1，这说明意义上的理解远胜与形式上的模仿。

教师要重视意义的理解，先理解运算定律的含义，再运用运算定律使计算简便，体现发现是为了掌握和利用规律的思想，提醒学生应用运算定律进行简便计算时，要从实际出发，灵活处理各种具体情况，不要生搬硬套。

3.建立联系，迁移贯通

引导学生回忆以前学习的知识，它与乘法分配律有什么联系。

如乘法竖式的计算过程：

54

×13

162......54×3的积

54......54×10的积

702......以上两个积的和

这个过程用模型解释即54×13=54×（10+3）=54×10+54×3。

通过知识的正迁移使学生更深刻地理解分配律，从而突出数学知识之间的逻辑联系以及数学原理的应用价值。

在后续学习中还要将整数围的运算律迁移到小数、分数的运算中，以检验模型的适应性，培养学生合情推理的能力。

整个过程学生处于探究之中，不是纯粹的数与数之间的运算游戏，而是将算式与实际问题相联结，使运算律教学更有意义。

（三）巩固模型，融汇贯通

在理解的基础上，巩固数学模型，使应用起来真正达到融会贯通，得心应手。

1.培养数感，提高感知

数感是指对数的含义、计数技能、数的顺序大小、数的多种表达方法、模式、数运算及结果的准确感知和理解等。

数感是有效地进行计算等数学活动的基础，因此培养数感，能提高简便计算中的习题感悟能力。

针对这一容，最直接的方法是引导学生在理解的基础上熟记一些常见的数据，如“25×4=100”,“125×8=1000”，“5与任何偶数可以凑整”等。

这些数据特征鲜明，标志清晰，掌握这些特殊数据可以提高学生发现简算条件的能力，提高简算的运算准确性和速度。

当然也要加强口算的熟练度。

2.加强辨析，寻求涵

在教学中可适当将同类或类似的容安排一起，帮助学生通过相似计算算法的比较分析，理解新知的本质意义，掌握知识间的联系与区别，从而有效地排除计算中的负迁移。

如学生总是对乘法结合律和乘法分配律的运用分不清，对此我出示了两道题：

25×（8×4）和25×（8+4）：

先让学生观察这两题的异同处，并计算结果。

最后叫学生擦去两个括号，再计算出结果。

通过两次计算对比，学生发现，前者连乘的括号去掉不改变算式的结果，而后者另则不然。

这样学生对各知识间本质的联系与区别有了清醒的认识，将学生出现的错误率降到最小化。

　又如在教学连除的简便算法，可将连减和连除联系起来对比学习，更能发挥学生的知识迁徙能力，如右图：

这样将加减和乘除对应地联系起来，就不难掌握它们之间的关系，因此掌握了连减的简便计算方法也就掌握了连除简便计算的方法。

下面是我针对教学中出现的情况，整理出一些学生容易出错的题目类型与其对比练习：

（40+8）×25与（40×8）×25（38+62）×93与38×93+62×93

72×28+28×28与72×28+82×2715×4+16÷4与15×4÷15×4

723-164-36与723-164+36

通过这些对比题组训练，既可以澄清各种运算定律之间的区别，引导学生认清乘法分配律的本质；又可以培养学生先观察后动笔的学习习惯，更有助学生分析清楚哪些应用简算，哪些不需简算而应按四则运算顺序计算。

让学生从“形式”过渡到“涵”的发展道路上，深入知识心脏，追寻知识真谛。

3.扫描错误，寻求突破

错误是美丽的，是学生最朴实的思想经验的最真实的暴露，错误是基于某种片面认识所作出的认定，其中包含着有价值的思维方法，因此错误是一种教学资源，教师要充分利用错误资源，启迪学生的智慧，拓展学生的思维，从中突破教学难点。

在明晰算理的情况下，防止负迁移，要形成正确的算法还需经历一个不断“出错”和“纠错”的过程。

因此在教学中我要求学生在订正作业时进行自我反思。

划：

划出做错的地方。

唯有找到错处，才会对问题有重新的认识。

找：

找到错误的直接原因，进行自我分析反思。

记：

记录错题在《错题本》中。

让学生发现自己的不足，对症下药，及时改正学习方法，同时增强对同类错误的免疫力。

下面我收集整理的集中常见而又容易出错的题型:

32×125×2525×92×4125×16

83×18+83×828×（125+40）99×78+78

55×101-55101×5533×53+66×53+5398×65

4.依据学情，合理拓展

分析乘法分配律的“错误集群”，重新审视教材，我发现教材中对于乘法分

配律教学容编排的不足，如右图：

从教材中的概念表述中发现：

概念表述具有局限性。

一是概念表述只有“乘加”类型的体现，“乘减”类型只有在后面的习题中少量呈现，如“265×105-265×5”；其次概念中只呈现了两个数和一个数相乘，而在实际运用中也会出现多个数与一个数相乘的分配现象。

这样的概念表述会让经验不足或者没有认真研究教材的教师存在教学空白，对乘法分配律的理解有限而导致错误发生。

因此，教师在教学中应通过不同类型的引导学习让学生理解、归纳出完整的乘法分配律的概念：

几个数的和或差与一个数相乘，可以把这几个数分别与这个数相乘，再相加或者相减，结果不变。

（四）把握价值，明确目标指向

1.优化算法，培养思维灵活

在数学学习中，运算律教学的价值更多体现在应用上。

“简便计算”是立足于“运算律”基础上的将算法简单化的过程，学生可以根据运算和数据的特点，灵活选择运算方法，以提高运算的速度，从而培养思维的灵活性。

如数学书p46第2题：

小红家每天要买一盒2.4元的牛奶与一袋0.6元的豆浆。

一星期需要多少钱来解决早餐的问题？

解决这个问题有以下两种常见的基本方法：

①2.4×7+0.6×7②（2.4+0.6）×7。

对比两种方法，不难发现第二种方法更简便。

学生虽没有学过小数乘法但可利用乘法分配律来就能够简单地解决问题。

而第一种方法则要依赖于小数的乘法。

这个例子说明运算定律与简便计算的学习真正实现了用多种策略解决问题（算法多样化）的优化意识。

2.应用广泛，提供算理支撑

运算律不是为了简便计算而产生，它的存在也不是单单为了简便运算。

学生在认识运算律前就已广泛使用运算律。

如口算53+46时，50+40=90，3+6=9，90+9=99，就是不知不觉地运用了加法的交换律和结合律。

口算43×12时，先算43×2，再算43×10，最后将两部分结果相加，在此过程中乘法分配律提供了重要的算理支撑，只不过学生不知道这就是“乘法分配律”而已。

数学运算律是数学运算的通性，是运算固有的最基本的性质。

学习运算律的最终目标是通过探究运算规律的教学，抽象出一般的数学结论，帮助学生了解知识创造与发展的过程，了解从偶然现象中去发现必然规律的一般方法，学生只要掌握了发现的一般方法，就会产生不断发现乃至创新的需要和可能，从而帮助学生建立研究的科学态度，了解和掌握研究的方法，体验探索的艰辛和发现的成功，感受前人的智慧以及渗透其中的数学思想和方法。

任何教学应能促进学生的发展。

但教学时，我们往往忽略了运算律的探索过程，而满足于让学生记住一些形式化的结论；我们常常热衷于技巧的指导和训练，而忘记了将计算与解决现实问题结合起来，以培养学生分析问题和解决问题的能力。

作为教师，我们应站在为了学生发展的高度，深入地挖掘蕴藏在教学中的一些宝贵的教育元素，积极引导学生探索实践，那么，学生所得到的将不再是那些冰冷的结论和花哨的技巧，他们将获得更多宝贵的数学思想方法、数学学习经验，将会得到思维能力的提升和积极愉悦的情感体验。

参考文献：

1．义务教育课程标准实验教科书《数学》四年级下册人民教育

2．义务教育课程标准实验教科书《数学》教师用书四年级下册人民教育

3．马云鹏.《小学数学教学论》人民教育

4．费岭峰.《小学数学教师》2008年第1、2期。

《今天，我们该如何教“简便计算”》教育