线性代数.docx
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线性代数
在大二上学期，我们学习了线性代数这门课程。
为了更好的理解这门课程，并且把线性代数作为一个工具来使用，我们现在初步使用MATLAB这款数学软件来做一些简单的实验。
我们从以下六个方面来进行实验：
1.MATLAB基础知识与入门
2.矩阵与行列式实验
3.线性方程组实验
4.N元向量实验
5.矩阵特征值和特征向量
6.二次型向量
MATLAB基础知识与入门
MATLAB界面友好，易学易懂，操作方便简单，对于它的基本知识介绍这里就不与一一赘述，后面我们用到时相信读者也能看懂。
矩阵与行列实验
现在我们就来做一些简单的矩阵与行列实验。
生成一个3*3的矩阵A
生成一个3*2的矩阵B
现在我们就来对这两个矩阵A,B来做一些小实验
1）计算C=A*B
2）计算B+C
3）计算B-C
4）计算3*A
5）计算A^3
6）计算A的转置矩阵
7）计算方阵A的行列式
8）计算A的秩
9）我们看到A满秩，故A可逆。
计算A的逆
10）计算A的行最简形式
线性方程组实验
我们在这个实验里面，通过MATLAB的高斯消元法（行初等变换）法来求解齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
1）齐次线性方程组的解法
教材上给出的解齐次线性方程组的方法即：
a）将系数矩阵实施初等行变换，变为行最简形式
b）取线性无关的自由向量，带入方程组中得到解向量，即方程组的基础解系
c）对基础解系进行线性组合，即得齐次线性方程组的解
现在，我们使用MATLAB对齐次线性方程组进行同样的方法以解之。
a）将系数矩阵转换为符号矩阵，并解出其行最简形式
b）解出解空间的一个基础解系
c）对基础解系进行线性组合
给出一个例子（教材95页例3.6）
AX=0
其中，
X=（x1,x2,x3,x4,x5）
我们先对系数矩阵进行第一步运算
转换为符号矩阵
变换为行最简形式
现在进行第二步运算
求其基础解系
由此我们得到其基础解系为
ŋ1=（-10100）T
ŋ2=（-10010）T
ŋ3=（-32001）T
故该齐次线性方程组的通解为x=k1*ŋ1+k2*ŋ2+k3*ŋ3（k1,k2,k3可取任意值）
2）非齐次线性方程组的解法（我们讨论有无穷多解的情况）
教材上给出的解非齐次线性方程组的方法即：
a）对增广矩阵进行初等行变换，变为行最简形式
b）找出通解，由自由未知量解出方程组一个特解
c）将方程组变换为齐次线性方程组
d）解出通解
e）解出基础解系
f）对基础解系线性组合，再加上特解即可
现在，我们使用MATLAB对齐次线性方程组进行同样的方法以解之。
a）对增广矩阵符号化，并变为行最简形式
b）找出通解，由自由未知量解出方程组一个特解
c）对系数矩阵进行行最简变换
d）解出基础解系
e）对基础解系线性组合，再加上特解即可
同样给出一个例子（教材99页，例3.11）
AX=B
先找出其增广矩阵
对其符号化
化为行最简形式
可知，x4,x5为自由未知量，令x4=x5=0，带入解得一个特解
γ=（72/2-11-9/400）T
系数矩阵
符号化
行最简变换
解出基础解系
ŋ1=（-19/2-43/410）T
ŋ2=（-41001）T
对基础解系线性组合，再加上特解
即：
x=γ+k1*ŋ1+k2*ŋ2（k1,k2为任意常数）
N元向量实验
下面我们对N元向量组进行一些实验。
1）计算向量组的秩
先创建一个三元向量，并组合
然后计算其秩
2）向量组的线性相关
向量组的线性相关性我们同样可以用之前用过的”rref（）”来计算
创建5元向量组
求秩
所以，该向量组的秩为3，线性相关，极大无关组为R的前三列。
矩阵特征值和特征向量
下面我们来做一个特征值和和特征向量的实验。
创建一个矩阵
输出其多项式
输出其特征值D和特征向量V
实对称矩阵的正交相似对角化
我们用”eig”函数就可以为实对称矩阵A找到正交矩阵Q.
创建矩阵A
输出特征值D和正交矩阵Q
二次型向量
二次型的标准型
一个二次型可以等同于一个实对称矩阵，因此在上一个实验中有关实对称矩阵正交相似对角化的计算方法就可以来求二次型的标准型。
因此在这里就不做过多介绍。
二次型和实对称矩阵的正定性
一个数值二次型的正定性可以用MATLAB来判定，方法如下：
1）用eig求其特征值，看是否全为正数
2）用poly求出其特征多项式，再用roots求出根，看是否全为正数
3）按照Sylvester定理，验证各阶顺序主子式是否都大与零、
至此，我们就将MATLAB的实验介绍完了。
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