一元一次方程讲义.docx

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一元一次方程讲义

　　　　　　　　　　　初一（上）数学第五章一元一次方程

一、知识网络

二、目标认知

重点：

　　一元一次方程的解法，列方程解应用题

难点：

　　列方程解应用题

三、知识要点梳理

知识点一：

一元一次方程及解的概念

1、一元一次方程：

　　一元一次方程的标准形式是：

ax+b=0（其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0）。

　　要点诠释：

　　一元一次方程须满足下列三个条件：

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的次数是1次；

　　（3）整式方程．

2、方程的解：

　　判断一个数是否是某方程的解：

将其代入方程两边，看两边是否相等．

知识点二：

一元一次方程的解法

1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）

　　等式的性质1：

等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

　　如果

，那么

；（c为一个数或一个式子）。

　　等式的性质2：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

　　如果

，那么

；如果

，那么

　　要点诠释：

　　分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

　　即：

（其中m≠0）

　　特别须注意：

分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：

，将其化为：

方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：

　　　　　　　　　　　　　　　　　解一元一次方程的一般步骤

常用步骤

具体做法

依据

注意事项

去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

等式基本性质2

防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；

去括号

一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号

去括号法则、分配律　

注意变号，防止漏乘；

移项

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号）

等式基本性质1

移项要变号，不移不变号；

合并同类项

把方程化成ax＝b（a≠0）的形式

合并同类项法则

计算要仔细，不要出差错；

系数化成1

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程

的解x＝

等式基本性质2

计算要仔细，分子分母勿颠倒

要点诠释：

　　　　理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:

　　　　①a≠0时，方程有唯一解

；

　　　　②a=0，b=0时，方程有无数个解；

　　　　③a=0，b≠0时，方程无解。

知识点三：

列一元一次方程解应用题

1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．

（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．

　　（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．

　　（4）解方程．

　　（5）检验，看方程的解是否符合题意．

　　（6）写出答案．

2、解应用题的书写格式：

　　设→根据题意→解这个方程→答。

3、常见的一些等量关系

　　常见列方程解应用题的几种类型：

类型

基本数量关系

等量关系

（1）和、差、倍、分问题

①较大量＝较小量＋多余量

②总量＝倍数×倍量

抓住关键性词语

（2）等积变形问题

变形前后体积相等

（3）

行

程

问

题

相遇问题

路程＝速度×时间

甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离

追及问题

同地不同时出发：

前者走的路程＝追者走的路程

同时不同地出发：

前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程

顺逆流问题

顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

顺流的距离＝逆流的距离

（4）劳力调配问题

从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语

（5）工程问题

工作总量＝工作效率×工作时间

各部分工作量之和＝1

（6）利润率问题

商品利润＝商品售价－商品进价

商品利润率＝

售价＝进价×（1＋利润率）

抓住价格升降对利润率的影响来考虑

（7）数字问题

设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b

抓住数字所在的位置或新数、原数之间的关系

（8）储蓄问题

利息＝本金×利率×期数

本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×（1－利息税率）

（9）按比例分配问题

甲∶乙∶丙＝a∶b∶c

全部数量＝各种成分的数量之和（设一份为x）

（10）日历中的问题

日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7

日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，且都是正整数

知识点四：

方程与整式、等式的区别

（1）从概念来看：

　　整式：

单项式和多项式统称整式。

　　等式：

用等号来表示相等关系的式子叫做等式。

如

，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－

，

m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。

　　方程：

含有未知数的等式叫做方程。

如5x＋3＝11，

等都是方程。

理解方程的概念必须明确两点：

①是等式；②含有未知数。

两者缺一不可。

（2）从是否含有等号来看：

方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。

　　（3）从是否含有未知量来看：

等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。

但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。

四、规律方法指导

1、判断一个式子是否是一元一次方程：

（1）首先看是否是方程，

（2）再看是否满足一元一次方程的三个条件或对原式进行等价变形化简后再看；

2、解一元一次方程常用的技巧有：

（1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。

（2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。

　　（3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。

　　（4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看做整体进行变形。

四、经典例题透析

类型一：

一元一次方程的相关概念

1、已知下列各式：

　　①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④

；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦

；⑧x＝0。

其中方程的个数是（　　）

　　A、5　　B、6　　C、7　　D、8

　　举一反三：

　　[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：

（1）-2x2+3=x

（2）3x-1=2y（3）x+

=2（4）2x2-1=1-2（2x-x2）

　　[变式2]已知：

（a-3）（2a+5）x+（a-3）y+6＝0是一元一次方程，求a的值。

　　[变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是（）

　　A．－5　　　B．5　　　C．7　　　D．2

类型二：

一元一次方程的解法

　　解一元一次方程的一般步骤是：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。

1．巧凑整数解方程：

2、

　　举一反三：

　　[变式]解方程：

2．巧用观察法解方程：

3、

3．巧去括号解方程：

4、

举一反三：

　　[变式]解方程：

4．运用拆项法解方程：

5、

5．巧去分母解方程：

6、

、

　　举一反三：

　　[变式]（2011山东滨州）依据下列解方程

的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。

　　解：

原方程可变形为

（__________________________）

　　　　去分母，得3（3x+5）=2（2x-1）.（__________________________）

　　　　去括号，得9x+15=4x-2.（____________________________）

　　　　（____________________）,得9x-4x=-15-2.（____________________________）

　　　　合并，得5x=-17.（合并同类项）

　　　　（____________________）,得x=

.（_________________________）

6．巧组合解方程：

7、

7．巧解含有绝对值的方程：

8、|x－2|－3＝0

　　举一反三：

　　【变式1】（2011福建泉州）已知方程

，那么方程的解是________.

　　[变式2]5|x|-16＝3|x|-4

　　[变式3]

8．利用整体思想解方程：

9、

类型三、一元一次方程的常见应用题

1.优化方案问题

10、由于活动需要，78名师生需住宿一晚，，他们住了一些普通双人间和普通三人间，结果每间客房正好住满，且在宾馆给他们打五折优惠的基础上一天一共付住宿费2130元。

请你算一算，他们需要双人普通间和三人普通间各多少间？

类型

普通

（元/间）

豪华

（元/间）

双人房

140

300

三人房

150

400

　　举一反三：

　　【变式】某学校组织学生春游，如果租用若干辆45座的客车，则有15个人没有座位，如果租用相同数量60座的客车，则多出1辆，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为300元，问租用哪种客车更合算？

租几辆车？

2.行程中的追及相遇问题

11、甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？

　　举一反三：

　　[变式]甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，速度为36千米/时，摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的

。

摩托车从乙地出发2小时30分钟后，汽车才开始从甲地开往乙地，问汽车开出几小时后遇到摩托车？

3．日历中的方程

12、

（1）在2006年8月的日历中（如图

（1）），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是＿＿＿

（2）现将连续自然数1至2006按图中（如图

（2））的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形框出16个数。

①图中框出的这16个数的和是＿＿＿。

②在图

（2）中，要使一个长方形框出的16个数之和分别等于2000、2006，是否可能？

若不可能，试说明

理由；若有可能，请求出该长方形框出的16个数中的最小数和最大数。

　　举一反三：

　　[变式]每人准备一份日历，在各自的日历上任意圈一个竖列上的相邻的四个数，两个分别把自己所圈4个数的和告诉同伴，由同伴求出这个数。

（1）4个数的和等于42。

（2）4个数的和等于60。

x－7

x

x＋7

x＋14

4．银行储蓄

13、小张在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息和为1080元，问它存入的本金是多少元？

举一反三：

　　【变式】从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，税率为利息的20%，由各银行储蓄点代扣代收．某人在2001年1月存入定期一年的人民币若干元，年利率为2.25%，一年到期后缴纳利息税72元，则他存入的人民币为________元。

5．图表信息题

14、小明家使用的是分时电表，按平时段（6：

00～22：

00）和谷时段（22：

00～次日6：

00）分别计费，平时段每千瓦时电价为0.61元，谷时段每千瓦时电价为0.30元。

小明将家里2005年1月至5月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如下图），同时将前4个月的用电量和相应电费制成表格（如下表）。

月用电量（千瓦时）

电费（元）

1

90

51.80

2

92

50.85

3

98

49.24

4

105

48.44

5

根据上述信息，解答下列问题：

（1）计算5月份的用电量及相应的电费，将所得结果填入表中；

（2）小明家这5个月的平均用电量为________千瓦时；

　　（3）小明家这5个月每月用电量是________趋势（选择“上升”或“下降”）；这5个月每月电费

　　　　呈________趋势（选择“上升”或“下降”）；

　　（4）小明预计7月份家中用电量很大，估计7月份用电量可达500千瓦时，相应电费将达243元，请你根据小明的估计，计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量．

　　举一反三：

　　【变式】（2011江苏无锡）十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案（简称“个税法草案”），拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：

税

级

现行征税方法

草案征税方法

月应纳税额x

税率

速算扣除数

月应纳税额x

税率

速算扣除数

1

x≤500

5%

0

x≤1500

5%

0

2

500

10%

25

1500

10%

▲

3

2000

15%

125

4500

20%

▲

4

5000

20%

375

9000

25%

975

5

20000

25%

1375

35000

30%

2725

　　注：

“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额。

　　“速算扣除数”是为了快捷简便计算个人所得税而设定的

一个数。

　　例如：

按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：

　　方法一：

按1～3级超额累进税率计算，即500×5%+1500×10%+600×15%=265（元）

　　方法二：

用“月应纳税额×适用税率－速算扣除数”计算，即2600×15%－125=265（元）

（1）请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；

（2）甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元？

　　（3）乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴纳的税款恰好不变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元？

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