辽宁省沈阳市大东区高三质量监测一模数学文试题带答案.docx
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辽宁省沈阳市大东区高三质量监测一模数学文试题带答案
2016年沈阳市大东区高三质量监测
数学试卷（文科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定区域．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．
3．考试结束后，考生将答题卡交回．
4．柱体体积公式：
，锥体体积公式．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则=（）
A．B．C．D．
2．为正实数，为虚数单位，，则（）
A．B．C．D．
3．已知向量，，则（）
A．B．C．D．
4.设是公差不为零的等差数列的前项和，若，则（）
A．B．C．D．
5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的为（）
A．的值
B．的值
C．的值
D．的值
6．如图
（1），将水平放置且边长为的正方形沿对角线折叠，使到位置.折叠后三棱锥的俯视图如图
（2）所示，那么其主视图是（）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．两腰长都为的等腰三角形
D．两腰长都为的等腰三角形
7．设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是
（）
A．B．C．D．
8．已知取值如下表：
0
1
4
5
6
8
1
3
5
6
7
8
从所得的散点图分析可知：
与线性相关，且，则（）
A．B．C．D．
9．设函数，若的值域为，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）
A．B．C．D．
11．设函数，，若实数满足，，则（）
A．B．
C．D．
12．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，、、成等差数列，且∠，则双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21为必考题，每个试题考生都必须做答，第22-24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．
13．过原点向圆引切线，则切线方程为____________.
14．已知在△中，，，若点在△的三边上移动，则线段的长度不小于的概率为____________.
15．若，则____________.
16．已知为各项为正数的等比数列，其中，，则____________.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△中，内角、、所对应的边分别为、、，且.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）在区间上的值域.
18．（本小题满分12分）
某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：
cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：
甲班
乙班
2
18
1
9
9
1
0
17
0
3
6
8
9
8
8
3
2
16
2
5
8
8
15
9
（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（Ⅱ）计算甲班的样本方差；
（Ⅲ）现从乙班身高不低于cm的同学中选取两人，求身高cm的同学被抽中的概率.
19．（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，⊥底面，、分别为、中点，且.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求证：
⊥平面；
（Ⅲ）若，求三棱锥的体积.
20．（本小题满分12分）
椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，点，且在线段的中垂线上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，点为椭圆的右焦点，求证:
直线与直线的斜率之和为定值.
21．（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值的集合；
（Ⅲ）当时，讨论函数的单调性．
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．
22．（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，内接于圆，平分交圆于点，过点作圆的切线交直线于点，
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：
．
23．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在极坐标系中曲线的极坐标方程为，点，以极点为原点，以极轴为轴正半轴建立直角坐标系．斜率为的直线过点，且与曲线交于、两点．
（Ⅰ）求出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
（Ⅱ）求点到、两点的距离之积．
24．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数，
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围．
2016年沈阳市大东区高三质量监测
数学参考答案及评分标准（文科）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
D
B
A
A
C
C
A
C
A
D
B
D
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸中横线上.
13.或14.15.16.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由，得………………2分
∴，∴在中，………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
∴
………………8分
∵，∴，∴，
∴………………11分
∴函数的值域为………………12分
18.（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由茎叶图可知：
乙班平均身高较高；………………3分
（Ⅱ）cm………………5分
甲班的样本方差为：
………………8分
（Ⅲ）身高不低于cm的情况分别是cm、cm、cm、cm、cm.
取出两人的基本事件空间为：
，共10种情况.…………10分
身高cm同学被抽到的事件空间为：
，共4中情况.
∴所求事件的概率为.………………12分
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明:
连结，
在正方形中，与交于点，
则为的中点，
又∵是中点，
∴是的中位线，
∴，………………2分
∵平面，平面，
∴平面；………………4分
（Ⅱ）证明∵底面，
平面，
∴，
∵，且，∴平面，
∵平面，∴，………………6分
在正方形中，与交于点，且，∴，
在中，是中点，∴，
∵，∴平面；………………8分
（Ⅲ）解：
∵，∴，
∵是中点，且底面，
∴…………12分
20.（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）设椭圆的焦距为，则且，
由点，且在线段的中垂线上，得，
则，解得，………………2分
又∵，∴，所以，
∴所求椭圆的方程为；………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
由题意可设直线与椭圆的交点、………………5分
由，得，整理得，
则，且，………………8分
………………9分
∵
………………11分
∴，
即直线与直线的斜率之和为定值0.………………12分
21.（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）∵，∴，又∵，
∴函数在点的切线方程为，
即；……………………3分
（Ⅱ）由及题设可知，对任意，不等式恒成立，
∴函数必在处取得极小值，即，………………4分
∵，∴，即，……………………5分
当时，，∴，；，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则……………………6分
∴对任意,不等式恒成立，符合题意，即，
∴；……………………7分
（Ⅲ）由（Ⅱ），
∴函数，其定义域为，
求得，……………………8分
令，为区间上的增函数，……………………9分
设为函数的零点，即，则，
∵当时，；当时，，
∴函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，
∴，
所以函数在区间上为增函数．……………………12分
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.
22．证明：
（Ⅰ）∵为圆的切线，∴∠=∠，……………………2分
又∵平分∠，∴∠=∠，……………………4分
又∵∠=∠，∴∠=∠，……………………5分
（Ⅱ）在△和△中，∠=∠，∠=∠，
∴△∽△，……………………7分
∴，
∴，……………………9分
又∵平分∠，∴，
故．……………………10分
23．解：
（Ⅰ）∵，，由得，
∴即为曲线的直角坐标方程，……………………2分
点的直角坐标为，……………………3分
直线的倾斜角为，故直线的参数方程为：
（为参数），即（为参数），……………………5分
（Ⅱ）把直线的参数方程（为参数）代入曲线的方程得：
，即，……………………7分
，
设、对应的参数分别为、，则，……………………8分
又直线经过点，故由的几何意义得：
点到、两点的距离之积．……………………10分
24．解：
（Ⅰ）当时，……………………2分
当时，由，解得，∴的解集为，
当时，由，解得，∴，
当时，由，解得，∴，……………………5分
综上所述，当时，不等式的解集为．……………6分
（Ⅱ）∵，∴，
由，得，
∴在恒成立，
即或在恒成立，
∴．……………………10分
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