考研数学 数一常考题型和知识点归纳.docx

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考研数学数一常考题型和知识点归纳

第二篇高等数学

第一章函数、极限、连续

思考的鱼点拨

“函数、极限、连续”这一部分的概念及运算是高等数学的基础，它们是每年必考的内容之一，数学一中本部分分数平均每年约占高等数学部分的10％.

本章的考题类型及知识点大致有：

1.求函数的表达式：

（1）给出函数在某一区间上的表达式及某些条件，求该函数在另一区间上的表达式（数学

（二）考过）；

（2）求分段复合函数的表达式（1990一（3）题考过，数学

（二）考过多次）.

2.数列的极限的概念理解与运算定理：

（1）数列极限的概念的理解及定义的等价叙述（数学

（二）考过）；

（2）运算定理的正确运用与性质的正确理解（2003二

（2）题）；

（3）求数列的极限：

①化成积分和式求极限（1998七题）；

②夹逼定理求极限（1998七题，2005二（7）题）；

③单调有界定理求极限或讨论极限的存在性（2006三（16）题，2008一（4）题）；

④化成函数极限求极限（2006三（16）题）.

3.函数的极限：

（1）求七种待定型的极限（1998一

（1）题，1999一

（1）题，2003一

（1）题，2006一

（1）题，2008三（15）题，2003三题，1997五题）；

（2）运算定理的正确使用与性质的正确理解（1997一

（1）题，2000三题，2004二（8）题）：

（3）已知某些极限求其中的某些参数（2009一

（1）题）；

（4）已知某函数的极限，求与此有关的另一函数的极限（数学

（二）考过）.

4.无穷小的比较：

（1）给了若干个无穷小，比较它们的阶的高低（2004二（7）题，2007一

（1）题）；

（2）给了两个无穷小，已知一个是另一个的等价（或高阶）无穷小，求其中的参数（2002三题）.

5.函数的连续与间断：

（1）讨论初等函数的间断点及类型（数学

（二）考过多次）；

（2）讨论分段函数的连续性或由连续性确定其中的参数（数学

（二）考过多次）；

（3）函数以极限形式表达，讨论该函数的连续性（数学

（二）考过多次）；

（4）已知某些函数的连续性（间断点），讨论与此有关的另一些函数的连续性（间断点）（数学

（二）考过多次）；

（5）连续函数介值定理的应用（2005三（18）题，2004三（18）题，数学

（二）考过多次）.

读者请注意，上面提到的类型，数学

（一）有许多未曾考到，所以本章尚有相当大的命题空间.其次，以后各章要用到本章内容，从而掌握本章内容是十分基础、十分重要的.

第二章一元函数微分学

思考的鱼点拨

导数与微分是微分学的基本概念，导数与微分的计算是微分学的基本计算，导数与微分的应用——利用导数研究函数的性质是微分学的基本内容，每年必考，本部分分数在数学中平均约占高等数学部分的17％.

本章的考题类型及知识点大致有：

1.求导数与微分，导数的几何意义：

（1）显函数求导数（未考过）；

（2）隐函数求导数（2002一

（2）题，2008二（10）题）；

（3）参数式求导数（1997一（3）题）；

（4）在直角坐标中求切线斜率、切线方程（2004一

（1）题），2002四题，2003三题，2005三（17）题）；

（5）在极坐标中求切线斜率、切线方程（1997一（3）题）；

（6）奇、偶、周期函数的导数（2005二（8）题）；

（7）变限积分求导数（2002四题，1997一

（2）题，1998二

（1）题，1999二

（1）题，1997五题）；

（8）导数的变量变换（变量变换变化微分方程）（2003七题）.

2.按定义求一点处的导数，可导与连续的关系.

（1）讨论分段函数在分界点处的可导性或求导数（2005二（7）题）；

（2）按定义讨论某点的可导性（1999二

（2）题）；

（3）已知某极限存在讨论某点可导，或反之，或利用导数求极限，利用极限求某点处的导数（200l二（3）题；2007（4）题；2009三（18）题）；

（4）已知某点可导，求其中参数（2002三题）；

（5）绝对值函数求导数（1998二

（2）题）；

（6）由极限表示的函数的可导性（2005一（7）题）.

3.讨论函数单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线、曲率：

（1）单调性与极值（2003二

（1）题，2004二（8）题）；

（2）增量、导数与微分的关系（1998二（3）题，2006二（7）题）；

（3）凹向与拐点（2005三（17）题）；

（4）渐近线（2005—1）题，2007一

（2）题）；

（5）曲率（1991九题考过）.

4.中值定理及其应用：

（1）不等式的证明（2000二

（1）题，1999六题，2004三（15）题）；

（2）零点问题（2005三（18）题，1998九题，2000九题，2007三（19）题）；

（3）有关函数与导数的关系（2001二

（1）题，2002二（3）题，2007一（5）题）；

（4）有关“中值”的极限问题（2001七题）；

（5）泰勒公式的应用（1999六题，2001七题，2002三题）；

（6）中值定理的证明（2009三（18）题）.

由上列举可见，本章的知识点及考题类型几乎全部考到，频率出现多的是：

变限积分求导数，按定义求导，不等式与零点问题，泰勒公式的应用.在按定义求导数时，应与使用洛必达法则的条件相区别.其他频率出现少的，也应注意，例如导数的几何意义、单调性与极值、绝对值函数求导数等.

第三章一元函数积分学

思考的鱼点拨

定积分与不定积分的概念及运算是积分学的基础，利用定积分表示与计算一些几何、物理量是积分学的基本应用，每年必考，本部分分数在数学一中平均约占高等数学部分的17％.

本章的考题类型及知识点大致有：

1.不定积分与定积分的计算：

（1）分段函数求不定积分（未考过）；

（2）分段函数求定积分与变限积分（数学

（二）考过）；

（3）计算带绝对值号的定积分（数学

（二）考过）；

（4）计算般不定积分（2004

（2）题，2001三题）；

（5）计算一般定积分（2000一

（1）题，2007二（11）题）：

（6）计算反常积分（2002

（1）题）；

（7）计算被积函数含有导数或变限积分的积分（2005三（17）题）.

2.定积分的应用：

（1）几何应用（1997二

（2）题，2003三题，2007一（3）题，2009一（3）题，2009三（16）题，2009三（17）题）；

（2）物理应用（1997七题，2003六题）；

（3）利用积分和式求极限（1998七题）.

3.定积分（变限积分）的证明题：

（1）不等式问题（包括估值问题）（1997二

（2）题，1997二（3）题）；

（2）零点问题（1998九题，2000九题）；

（3）关于奇、偶函数、周期函数的证明题（1999二

（1）题，2005二（8）题，2008三（18）题）：

（4）变限函数关于单调性的题（2009一（3）题）；

（5）变限函数求导问题（1999一

（2）题，1998二

（1）题，1997五题，2008一

（1）题）；

（6）积分中值定理的应用（2000九题）.

本章虽然各类型大都考过，但变换具体函数去命题，考题空间仍很大，读者注意举一反三，掌握一般方法.

第四章向量代数与空间解析几何

思考的鱼点拨

向量代数主要是向量的表示法与向量的代数运算（加减、数乘、点积、叉积），空间锯析几何主要是曲面与空间曲线的方程，重点是平面、直线以及常见曲面（球面、柱面以及旋转面等）的方程，历年考题中直接对本部分命制的题目不多，且多为选择题或填空题.

本章的考题类型及知识点大致有：

1.关于向量运算：

（1）给出一些关系求另一些关系（1995一（3）考过）；

（2）两向量平行、垂直、交角、模等问题（未考过）；

（3）三点共线与三向量共面问题（未考过）；

2.直线与平面问题（大都与空间曲面的切平面、空间曲线的切线相结合的问题）：

（1）求直线方程（1998三题），2000一

（2）题，1992二（3）考过）；

（2）求平面方程（1997四

（1）题，2000一

（2）题，2003一

（2）题，1989二

（2）题，1990一

（1）题，1991一（3）题，1994一

（2）题，1996一

（2）题都考过）；

（3）平面与直线的相对位置（平行、垂直、交角等）（1993二（3）题，1995二

（1）题都考过）；

（4）点到平面的距离（2006一（4）题，1999八题）.

3.二次曲面的题（大都与第六章相结合，给出二次曲面，要求知道它的位置及大致图形.二次曲面中常用的图形为椭球面（包括球面）、旋转抛物面、锥面、母线与坐标面平行的柱面.求旋转面的方程（2009三（17）题）.

由以上列举看出，近十年来本章单独考的不多，与第五章相结合的考过四次.应该说是属于不常考的章节.但基本公式、基本方法仍应掌握.

第五章多元函数微分学

思考的鱼点拨

多元函数微分学包括有若干基本概念及其联系，多元函数的复合函数求导法及其应用，梯度向量与方向导数的计算方法，多元函数微分学的几何应用（求空间曲线的切线、法平面与空间曲面的切平面、法线）极值判断与最值问题等，在历年考试中多元函数微分学的平均分数约占高等数学的l／7，也是比较重要的.

本章的考题类型及知识点大致有：

1.求偏导数，全微分，方向导数，梯度，散度，旋度：

（1）给出具体函数关系的复合函数求偏导数或全微分（1994（3）考过）；

（2）给出抽象函数关系的复合函数求偏导数或全微分（1998一

（2）题，2005二（9）题，2006二（10）题，2000四题，2001四题，2007二（12）题，2006三（15）题，2009二（9）题）；

（3）给出方程经变量变换化简方程（1997四

（2）题，1996四

（2）也考过）；

（4）给出具体的方程求隐函数的偏导数或全微分（199l一

（2）考过）；

（5）给出抽象的方程（方程组）求隐函数的偏导数或全微分（1999三题）；

（6）求方向导数，梯度，散度，旋度（200l一

（2）题，2005一（3）题，3.5（2002八题，2008一

（2）题，1992一

（2）也考过）.

2.函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系：

（1）函数在点处极限不存在性讨论（1997二

（1）题）；

（2）隐函数的存在性（2005二（10）题）；

（3）偏导数的存在性（1997二

（1）题）；

（4）全微分的存在性（200l二

（2）题）；

（5）函数在一点处连续性，偏导数存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的因果关系讨论（2002二

（1）题）.

3.曲面的切平面，曲线的切线：

（1）曲面的法向量、切平面与法线（2000一

（2）题，2003一

（2）题，1997四

（1）题，1999八题，1993一

（2）也考过，1994一

（2）也考过）；

（2）曲线的切向量、切线与曲线的法平面（2001二

（2）题）.

4.极值与最值：

（1）按定义讨论极值（2003二（3）题）；

（2）极值的必要条件，驻点的讨论（2006二（10）题）；

（3）求极值（含拉格朗日乘数法）与最值（2002八题，2007三（17）题，2008三（17）题，2009三（15）题）；

（4）求隐函数的极值（2004三（19）题）.

由以上可见，本章各知识点大都考过，主要是计算.考题频率最高的是抽象函数关系的复合函数求偏导数，其次是方向导数，曲面的法向量与切平面（与空间解析几何相合）.关于概念（见以上“2”）方面的题，应引起注意.关于“4”极值与最值的题，出题频率虽然不高，但有一定的综合性与难度，从考试结果看，这部分碍分不理想，考生不应忽视.

第六章多元函数积分学

思考的鱼点拨

多元函数积分学包括各类积分的概念、计算和应用；格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其应用；平面曲线积分与路径无关及全微分式的原函数问题等.在历年的考试中多元函数积分学占有最重要的地位，平均分数约占高等数学总分的1／4.

本章的考题类型及知识点大致有：

1.二重积分的计算及应用：

（1）二重积分在直角坐标中的计算（单独未考过，在其他题中出现过）；

（2）二重积分在极坐标中的计算与直极互化（2006二（8）题，2001八题，2005三（15）题，2006三（15）题）；

（3）交换积分次序（2001一（3）题，2004二（10）题，1990一（4）题考过）；

（4）绝对值函数的二重积分（二次积分）的计算（未考过）；

（5）分块函数的二重积分（二次积分）的计算（2002五题，2005三题）；

（6）利用对称性、轮换对称性化简计算（2003五题，2006三（15）题，2009～

（2）题）；

（7）二重积分的证明题与二重积分的估值（2003五题）；

（8）三重积分的应用（2001八题）.

2.三重积分的计算及应用：

（1）三重积分在直角坐标中的计算（单独未考过）；

（2）三重积分在球面坐标与柱面坐标中的计算（2005一（4）题，2006一（3）题，1997三

（1）题，2000八题，2003八题，2009二（12）题）；

（3）利用对称性、轮换对称性化简计算（2000八题，1995三

（2）题考过）；

（4）三重积分的应用（2000八题）.

3.化多重积分为定积分：

（1）化二重积分为变限积分求导问题（2004二（10）题）；

（2）化二重积分为定积分求其中未知函数（数学（三）1997八题考过）；

（3）化其它积分为定积分或二重积分的证明题（2003五题，2003八题）.

4.第一型曲线积分与第型曲面积分：

（1）计算（1999八题，2009二（11）题）；

（2）利用对称性、轮换对称性化简（1998一（3）题，2000二

（2）题，2007二（14）题）；

（3）应用（未考过）.

5.平面第二型曲线积分及应用：

（1）用参数式计算（2004—（3）题，2000五题，2003五题）；

（2）用格林公式或加、减弧段格林公式法（1999四题，2003五题，2008三（16）题）；

（3）路径无关问题与原函数法（1998四题，1999四题，2002六题，2005三（19）题，2006三（19）题，2007一（6）题）；

（4）与微分方程有关的问题（2005三（19）题）；

（5）挖洞法（2000五题）；

（6）应用（1990九题考过）.

6.第二型曲面积分及应用：

（1）用投影法计算（1998六题，2001六题，2004三（17）题）；

（2）用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法（2005一（4）题，2006一（3）题，1998六题，2000六题，2004三（17）题，2007三（18）题，2008二（12）题）；

（3）转换投影法或化成第一型曲面积分计算（2001六题，2004三（17）题）；

（4）挖洞法（2009三（19）题）；

（5）与微分方程有关的问题（2000六题）.

7.空间第二型曲线积分：

（1）用参数式计算（1997三

（2）题，2001六题）；

（2）用斯托克斯公式计算（1997三

（2）题，2001六题）；

由以上可见，本章在数学

（一）中的地位至关重要，考分占总分的1／6，考得最多的是

（1）二重积分：

包括极坐标中计算，交换积分次序，利用对称性、轮换对称性化简计算；

（2）三重积分：

包括在球面坐标、柱面坐标中的计算，利用对称性、轮换对称性化简计算；

（3）平面第二型曲线积分：

包括用参数式计算，用格林公式或加、减弧段格林公式计算，路径无关问题的讨论与路径无关问题计算该积分，原函数法与求原函数，与微分方程相结合的题；

（4）第二型曲面积分：

包括用投影法计算，用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法计算，转换投影法计算或化成第一型曲面积分计算，与微分方程相结合的题.

以上各类题的计算，都有一套规范的方法.关键是选择方便而有效的方法，可以起到事半功倍的作用.以上诸项中，“3”以及“5（3）”，有时涉及一些理论，可能会有点困难.但是，正如俗话所说“熟能生巧”，熟了也就不难了.

第七章无穷级数

思考的鱼点拨

级数部分包括级数的若干基本概念，判别级数的敛散性（包括条件收敛与绝对收敛）的各种方法，幂级数的收敛性与和函数的性质，幂级数收敛域的求法，求幂级数的和函数与求函数的幂级数展开式的方法，还有傅里叶级数和它的和函数等.此部分在历年试题中的平均分数约占高等数学总分的l／6.

若分为数值级数、幂级数与傅氏级数三大部分，则幂级数部分考得最多，占级数总分的一半还强，求幂级数的收敛域，实质上就是级数敛散性的判断，若把它划入级数敛散性判断部分，这部分的分数将接近级数总分的一半.

求一般函数项级数的收敛域在考试大纲中也是要求的，但从未考过.不过这个问题实质上也是级数敛散性的判断问题.

本章的考题类型及知识点大致有：

1.数项级数判敛：

（1）给出具体的数项级数判敛（1999二（3））题考过，1992二

（2）题考过，1995二（4）题考过；

（2）已知某抽象数项级数的敛散性，讨论与此有关的另一些级数的敛散性（2000二（3）题），2002二

（2）题，2004二（9）题，2006二（9）题，2009一（4）题）；

（3）通项由某些条件（具体或抽象）给出，讨论该级数的敛散性（1997六题，1998八题，1999九题，2004三（18）题）；

（4）讨论交错级数或任意项级数的敛散性（2000七题）.

2.关于幂级数：

（1）求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域（2000七题，2005三（16）题，2008二（11）题，1995一（4）题考过）；

（2）已知幂级数在某点收敛或发散或条件收敛，或已知收敛半径，讨论另一与此有关的幂级数在另一点处的敛散性，或求收敛半径、收敛区间（的范围）（1997一

（2）题）；

（3）将函数展开成x－x0的幂级数并求收敛域，并求某数项级数的和（2001五题，2003四题，2006三（17）题）；

（4）求幂级数的和函数或可通过幂级数求和的数项级数求和（2005三（16）题，1990四题考过）；

（5）验证或设某幂级数满足某微分方程从而求此幂级数的和函数（2002七题，2007三（20））；

（6）求某些数项级数的和（1999九题，2009三（16）题）.

3.傅里叶级数：

（1）求傅里叶系数或傅里叶级数（2003一（3）题，2008三（19），1991五题考过，1993一（3）题考过）；

（2）按正弦展开或按余弦展开求其傅里叶系数或傅里叶级数（1995四

（2）题考过）；

（3）按狄利克雷定理求傅里叶系数在某点的收敛和（1999二（3）题，1989二（4）题考过，1992一（3）题考过）；

（4）由傅里叶级数讨论与此有关的另一些数项级数的和（2008三（19）题，1991五题考过）

由以上可见，数项级数判敛问题中的1

（1），早期考过几次，后来不考了.近期考得多的是1

（2）与1（3）.函数展开成幂级数并讨论其成立范围，以及简单幂级数求和，仍是考试热点，考生对此应引起足够重视.函数展开成幂级数采用间接展开法，有一套规范步骤.简单幂级数求和，虽说有一点难度，但作为考研来说，处理的手法还是有法可依.傅里叶级数的考题较简单，由于求傅里叶级数计算量大，所以考得较少，按狄利克雷定理求某点处的收敛和，相对说来考得较多，考生对此应足够重视.

第八章常微分方程

思考的鱼点拨

微分方程问题是积分问题的延伸，有着极为广泛的应用，是历年考研必考内容.在高等数学部分，微分方程在数学一中平均每年所占分数约为15％.

本章的考试类型及知识点大致有：

1.12种典型类型求解以及自由项为特殊情形时的线性非齐次方程特解y＊的设定：

（1）一阶5种类型求解（2005

（2）题，2006一

（2）题，2008二（9）题，1992一（4）题，1993二（4）题，1993三（3）题，1994五题均考过）；

（2）二阶可降阶3种类型求解（2000一（3）题，2002一（3）题）；

（3）二阶及高阶常系数线性齐次方程与非齐次方程3种类型求解（1999—（3）题，2007二（13）题，2008一（3）题，2009二（10）题）；

（4）欧拉方程求解（2004一（4）题）；

（5）y＊的设定（数学

（二）考过）.

2.线性非齐次微分方程与对应的线性齐次微分方程的解的关系：

（1）已知非齐次方程的解求对应的齐次方程的（通）解（未考过）；

（2）已知非齐次方程足够多的解求该非齐次方程的通解（1989二（3）题考过，2006数学（三）、（四）考过.

3.已知（通）解求微分方程：

（1）未说明方程是什么形式，已知通解求微分方程（未考过）；

（2）已知二阶（或一阶或更高阶）线性方程的通解（或若干个线性无关的特解）求该方程（2001

（1）题，2009二（10）题）.

4.自由项为绝对值函数或有间断点的函数的线性微分方程求解：

（1）自由项为绝对值函数的情形（未考过）；

（2）自由项为有跳跃间断点的函数的情形（数学（三）1999六题考过）.

5.经变量变换解微分方程：

（1）经反函数变量变换（2003七题）；

（2）给出已知的变量变换（数学

（二）考过多次）.

6.将积分方程或偏微分方程化成微分方程求解：

（1）积分方程化为微分方程求解（1991二

（2）考过）；

（2）偏微分方程化为微分方程求解（1997四

（2）题，2006三（18）题）.

7.微分方程的应用

（1）几何方面（1999五题，1995五题考过，1996六题考过）；

（2）物理方面（1998五题，2004三（16）题）；

（3）变化率方面（1997三（3）题，2001八题）.

由上可见，本章常考的是“1”与“7”.有许多类型未命过题或很少命题，命题空间很大，例如1（5），4，以及6可以与其他章节结合来命题，值得重视.

第三篇线性代数

第一章行列式

思考的鱼点拨

行列式在整个试卷中所占比重不是很大，一般以填空题，选择题为主，但它是必考内容当然，不只是考查行列式的概念、性质、运算，还会涉及到其他各章、节的内容，例如矩阵的可逆、矩阵的秩、向量的线性相关性、线性方程组、矩阵的特征值、正定二次型等等，如果试卷中没有独立的行列式的试题，那必然会在其他章节的试题中得到体现.

一般有关行列式的试题有两大类：

计算题和判断题

1.行列式的计算题.例如：

计算行列式

计算行列式的值

这类属于数字型的直接计算题，一般利用性质，消零展开或消零化成上（下）三角形行列式即可解决.

多数行列式的试题，属于与后续章节有关的、抽象型的行列式的计算题，如1.1题，1.2题这类题增加了考核的知识点，有一定的综合性.要求考生充分利用题设条件，通过知识的内在联系，化简、运算，最后得出所求行列式的值.

（2）行列式的判别题，主要是判别行列式是否为零.例2.1题，因为行列式是否为零对矩阵是否可逆、是否满秩，对方程组An×nX=O是否有非零解，An×nX=b是否有唯一解，对A中的列（行）向量组是否线性相关等都起到了“分水岭”的作用，会引起矩阵重要性质的变化.

︳An×n︳是否为零，除直接计算出︳A︳=O（或≠0），或计算出︳A︳=k︳A︳，其中k≠1，︳An×n︳=0（≠0）⇔An×n不可逆（可逆）

⇔r（A）

⇔An×nX=