最新离散数学考试试题A卷及答案优秀名师资料.docx

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离散数学考试试题（A卷及答案）

离散数学考试试题（A卷及答案）

一、（10分）判断下列公式的类型（永真式、永假式、可满足式）？

1）（（P?

Q）∧Q）?

（（Q∨R）∧Q）2）?

（（Q?

P）∨?

P）∧（P∨R）3）（（?

P∨Q）?

R）?

（（P∧Q）∨R）

解：

1）永真式；2）永假式；3）可满足式。

二、（8分）个体域为{1，2}，求?

x?

y（x+y=4）的真值。

解：

?

x?

y（x+y=4）?

?

x（（x+1=4）∨（x+2=4））

?

（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+1=4））?

（0∨0）∧（0∨1）?

1∧1?

0

三、（8分）已知集合A和B且|A|=n，|B|=m，求A到B的二元关系数是多少？

A到B的函数数是多少？

解：

因为|P（A×B）|=2|A×B|=2|A||B|=2mn，所以A到B的二元关系有2mn个。

因为|BA|=|B||A|=mn，所以A到B的函数mn个。

四、（10分）已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>}，求r（R）、s（R）和t（R）。

解：

r（R）={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s（R）={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}

t（R）={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>}

五、（10分）75个儿童到公园游乐场，他们在那里可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船，已知其中20人这三种东西都乘过，其中55人至少乘坐过其中的两种。

若每样乘坐一次的费用是0.5元，公园游乐场总共收入70元，求有多少儿童没有乘坐过其中任何一种。

解设A、B、C分别表示骑旋转木马、坐滑行铁道、乘宇宙飞船的儿童组成的集合，|A∩B∩C|＝20，|A∩B|＋|A∩C|＋|B∩C|－2|A∩B∩C|＝55，|A|＋|B|＋|C|＝70/0.5＝140。

由容斥原理，得

|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|―|A∩B|―|A∩C|―|B∩C|＋|A∩B∩C|所以

|A∩B∩C|＝75－|A∪B∪C|＝75－（|A|＋|B|＋|C|）＋（|A∩B|＋|A∩C|＋|B∩

C|－2|A∩B∩C|）＋|A∩B∩C|＝75－140＋55＋20＝10

没有乘坐过其中任何一种的儿童共10人。

六、（12分）已知R和S是非空集合A上的等价关系，试证：

1）R∩S是A上的等价关系；2）对a∈A，[a]R

=[a]R∩[a]S。

解：

?

x∈A，因为R和S是自反关系，所以∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是自反

?

x、y∈A，若∈R∩S，则∈R、∈S，因为R和S是对称关系，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是对称的。

?

x、y、z∈A，若∈R∩S且∈R∩S，则∈R、∈S且∈R、∈S，因为R和S是传递的，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是传递的。

总之R∩S是等价关系。

2）因为x∈[a]R∩S?

∈R∩S?

∈R∧∈S?

x∈[a]R∧x∈[a]S?

x∈[a]R∩[a]S所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

七（10分）设A、B、C、D是集合，f是A到B的双射，g是C到D的双射，令h：

A×C?

B×D且?

∈A×C，h（）＝。

证明h是双射。

证明：

1）先证h是满射。

?

∈B×D，则b∈B，d∈D，因为f是A到B的双射，g是C到D的双射，所以存在a∈A，c∈C，使得f（a）=b，f（c）=d，亦即存在∈A×C，使得h（）＝＝，所以h是满射。

2）再证h是单射。

?

、∈A×C，若h（）＝h（），则＝，所以f（a1）＝f（a2），g（c1）＝g（c2），因为f是A到B的双射，g是C到D的双射，所以a1＝a2，c1＝c2，所以＝，所以h是单射。

综合1）和2），h是双射。

八、（12分）是个群，u∈G，定义G中的运算“?

”为a?

b=a*u-1*b，对任意a,b∈G，求证：

>也是个群。

证明：

1）?

a,b∈G，a?

b=a*u-1*b∈G，运算是封闭的。

2）?

a,b,c∈G，（a?

b）?

c=（a*u-1*b）*u-1*c=a*u-1*（b*u-1*c）=a?

（b?

c），运算是可结合的。

3）?

a∈G，设E为?

的单位元，则a?

E=a*u-1*E=a，得E=u，存在单位元。

4）?

a∈G，a?

x=a*u-1*x=E，x=u*a-1*u，则x?

a=u*a-1*u*u-1*a=u=E，每个元素都有逆元。

所以

>也是个群。

九、（10分）已知：

D=，V={1,2,3,4,5}，E={<1,2>,<1,4>,<2,3>,<3,4>,<3,5>,<5,1>}，求D的邻接距阵A和可达距阵P。

解：

D的邻接距阵A和可达距阵P如下：

00001

10000

01000

10100

00100

11101

11101

11101

11101

11101

十、（10分）求叶的权分别为2、4、6、8、10、12、14的最优二叉树及其权。

解：

最优二叉树为

权＝148

离散数学考试试题（B卷及答案）

一、（10分）求命题公式?

（P∧Q）?

?

（?

P?

R）的主合取范式。

解：

?

（P∧Q）?

?

（?

P?

R）?

（?

（P∧Q）?

?

（?

P?

R））∧（?

（?

P?

R）?

?

（P∧Q））?

（（P∧Q）∨（?

P∧?

R））∧（（P∨R）∨（?

P∨?

Q））?

（P∧Q）∨（?

P∧?

R）

?

（P∨?

R）∧（Q∨?

P）∧（Q∨?

R）

?

（P∨Q∨?

R）∧（P∨?

Q∨?

R）∧（?

P∨Q∨R）∧（?

P∨Q∨?

R）?

M1∧M3∧M4∧M5

二、（8分）叙述并证明苏格拉底三段论

解：

所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。

符号化：

F（x）：

x是一个人。

G（x）：

x要死的。

A：

苏格拉底。

命题符号化为?

x（F（x）?

G（x）），F（a）?

G（a）证明：

（1）?

x（F（x）?

G（x））P

（2）F（a）?

G（a）T

（1）,US（3）F（a）P（4）G（a）T

（2）（3）,I

三、（8分）已知A、B、C是三个集合，证明A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

证明：

∵x?

A∩（B∪C）?

x?

A∧x?

（B∪C）

?

x?

A∧（x?

B∨x?

C）

?

（x?

A∧x?

B）∨（x?

A∧x?

C）?

x?

（A∩B）∨x?

A∩C?

x?

（A∩B）∪（A∩C）

∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

四、（10分）已知R和S是非空集合A上的等价关系，试证：

1）R∩S是A上的等价关系；2）对a∈A，[a]R

=[a]R∩[a]S。

解：

?

x∈A，因为R和S是自反关系，所以∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是自反

?

x、y∈A，若∈R∩S，则∈R、∈S，因为R和S是对称关系，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是对称的。

?

x、y、z∈A，若∈R∩S且∈R∩S，则∈R、∈S且∈R、∈S，因为R和S是传递的，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是传递的。

总之R∩S是等价关系。

2）因为x∈[a]R∩S?

∈R∩S?

∈R∧∈S?

x∈[a]R∧x∈[a]S?

x∈[a]R∩[a]S所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

五、（10分）设A＝{a，b，c，d}，R是A上的二元关系，且R＝{，，，}，求r（R）、s（R）和t（R）。

解r（R）＝R∪IA＝{，，，，，，，}s（R）＝R∪R＝{，，，，，}R＝{，，，}R＝{，，，}R＝{，，，}＝R

t（R）＝?

R＝{，，，，，，，，}

六、（15分）设A、B、C、D是集合，f是A到B的双射，g是C到D的双射，令h：

A×C?

B×D且?

∈A×C，h（）＝。

证明h是双射。

证明：

1）先证h是满射。

?

∈B×D，则b∈B，d∈D，因为f是A到B的双射，g是C到D的双射，所以存在a∈A，c∈C，使得f（a）=b，f（c）=d，亦即存在∈A×C，使得h（）＝＝，所以h是满射。

2）再证h是单射。

?

、∈A×C，若h（）＝h（），则＝，所以f（a1）＝f（a2），g（c1）＝g（c2），因为f是A到B的双射，g是C到D的双射，所以a1＝a2，c1＝c2，所以＝，所以h是单射。

综合1）和2），h是双射。

七、（12分）设是群，H是G的非空子集，证明是的子群的充要条件是若a，b?

H，则有a*b?

H。

证明：

?

?

a,b∈H有b∈H，所以a*b∈H。

?

?

a∈H，则e=a*a∈H

离散数学考试试题（A卷及答案）

一、（10分）判断下列公式的类型（永真式、永假式、可满足式）？

1）（（P?

Q）∧Q）?

（（Q∨R）∧Q）2）?

（（Q?

P）∨?

P）∧（P∨R）3）（（?

P∨Q）?

R）?

（（P∧Q）∨R）

解：

1）永真式；2）永假式；3）可满足式。

二、（8分）个体域为{1，2}，求?

x?

y（x+y=4）的真值。

解：

?

x?

y（x+y=4）?

?

x（（x+1=4）∨（x+2=4））

?

（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+1=4））?

（0∨0）∧（0∨1）?

1∧1?

0

三、（8分）已知集合A和B且|A|=n，|B|=m，求A到B的二元关系数是多少？

A到B的函数数是多少？

解：

因为|P（A×B）|=2|A×B|=2|A||B|=2mn，所以A到B的二元关系有2mn个。

因为|BA|=|B||A|=mn，所以A到B的函数mn个。

四、（10分）已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>}，求r（R）、s（R）和t（R）。

解：

r（R）={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s（R）={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}

t（R）={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>}

五、（10分）75个儿童到公园游乐场，他们在那里可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船，已知其中20人这三种东西都乘过，其中55人至少乘坐过其中的两种。

若每样乘坐一次的费用是0.5元，公园游乐场总共收入70元，求有多少儿童没有乘坐过其中任何一种。

解设A、B、C分别表示骑旋转木马、坐滑行铁道、乘宇宙飞船的儿童组成的集合，|A∩B∩C|＝20，|A∩B|＋|A∩C|＋|B∩C|－2|A∩B∩C|＝55，|A|＋|B|＋|C|＝70/0.5＝140。

由容斥原理，得

|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|―|A∩B|―|A∩C|―|B∩C|＋|A∩B∩C|所以

|A∩B∩C|＝75－|A∪B∪C|＝75－（|A|＋|B|＋|C|）＋（|A∩B|＋|A∩C|＋|B∩

C|－2|A∩B∩C|）＋|A∩B∩C|＝75－140＋55＋20＝10

没有乘坐过其中任何一种的儿童共10人。

六、（12分）已知R和S是非空集合A上的等价关系，试证：

1）R∩S是A上的等价关系；2）对a∈A，[a]R

=[a]R∩[a]S。

解：

?

x∈A，因为R和S是自反关系，所以∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是自反

?

x、y∈A，若∈R∩S，则∈R、∈S，因为R和S是对称关系，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是对称的。

?

x、y、z∈A，若∈R∩S且∈R∩S，则∈R、∈S且∈R、∈S，因为R和S是传递的，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是传递的。

总之R∩S是等价关系。

2）因为x∈[a]R∩S?

∈R∩S?

∈R∧∈S?

x∈[a]R∧x∈[a]S?

x∈[a]R∩[a]S所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

七（10分）设A、B、C、D是集合，f是A到B的双射，g是C到D的双射，令h：

A×C?

B×D且?

∈A×C，h（）＝。

证明h是双射。

证明：

1）先证h是满射。

?

∈B×D，则b∈B，d∈D，因为f是A到B的双射，g是C到D的双射，所以存在a∈A，c∈C，使得f（a）=b，f（c）=d，亦即存在∈A×C，使得h（）＝＝，所以h是满射。

2）再证h是单射。

?

、∈A×C，若h（）＝h（），则＝，所以f（a1）＝f（a2），g（c1）＝g（c2），因为f是A到B的双射，g是C到D的双射，所以a1＝a2，c1＝c2，所以＝，所以h是单射。

综合1）和2），h是双射。

八、（12分）是个群，u∈G，定义G中的运算“?

”为a?

b=a*u-1*b，对任意a,b∈G，求证：

>也是个群。

证明：

1）?

a,b∈G，a?

b=a*u-1*b∈G，运算是封闭的。

2）?

a,b,c∈G，（a?

b）?

c=（a*u-1*b）*u-1*c=a*u-1*（b*u-1*c）=a?

（b?

c），运算是可结合的。

3）?

a∈G，设E为?

的单位元，则a?

E=a*u-1*E=a，得E=u，存在单位元。

4）?

a∈G，a?

x=a*u-1*x=E，x=u*a-1*u，则x?

a=u*a-1*u*u-1*a=u=E，每个元素都有逆元。

所以

>也是个群。

九、（10分）已知：

D=，V={1,2,3,4,5}，E={<1,2>,<1,4>,<2,3>,<3,4>,<3,5>,<5,1>}，求D的邻接距阵A和可达距阵P。

解：

D的邻接距阵A和可达距阵P如下：

00001

10000

01000

10100

00100

11101

11101

11101

11101

11101

十、（10分）求叶的权分别为2、4、6、8、10、12、14的最优二叉树及其权。

解：

最优二叉树为

权＝148

离散数学考试试题（B卷及答案）

一、（10分）求命题公式?

（P∧Q）?

?

（?

P?

R）的主合取范式。

解：

?

（P∧Q）?

?

（?

P?

R）?

（?

（P∧Q）?

?

（?

P?

R））∧（?

（?

P?

R）?

?

（P∧Q））?

（（P∧Q）∨（?

P∧?

R））∧（（P∨R）∨（?

P∨?

Q））?

（P∧Q）∨（?

P∧?

R）

?

（P∨?

R）∧（Q∨?

P）∧（Q∨?

R）

6确定圆的条件:

?

（P∨Q∨?

R）∧（P∨?

Q∨?

R）∧（?

P∨Q∨R）∧（?

P∨Q∨?

R）?

M1∧M3∧M4∧M5

（一）情感与态度：

二、（8分）叙述并证明苏格拉底三段论

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

解：

所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。

符号化：

F（x）：

x是一个人。

G（x）：

x要死的。

A：

苏格拉底。

命题符号化为?

x（F（x）?

G（x）），F（a）?

G（a）证明：

（1）?

x（F（x）?

G（x））P

（2）F（a）?

G（a）T

（1）,US（3）F（a）P（4）G（a）T

（2）（3）,I

⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。

三、（8分）已知A、B、C是三个集合，证明A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

证明：

∵x?

A∩（B∪C）?

x?

A∧x?

（B∪C）

?

x?

A∧（x?

B∨x?

C）

|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；?

（x?

A∧x?

B）∨（x?

A∧x?

C）?

x?

（A∩B）∨x?

A∩C?

x?

（A∩B）∪（A∩C）

∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

四、（10分）已知R和S是非空集合A上的等价关系，试证：

1）R∩S是A上的等价关系；2）对a∈A，[a]R

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.=[a]R∩[a]S。

二次方程的两个实数根解：

?

x∈A，因为R和S是自反关系，所以∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是自反

?

x、y∈A，若∈R∩S，则∈R、∈S，因为R和S是对称关系，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是对称的。

?

x、y、z∈A，若∈R∩S且∈R∩S，则∈R、∈S且∈R、∈S，因为R和S是传递的，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是传递的。

定义：

在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;总之R∩S是等价关系。

2）因为x∈[a]R∩S?

∈R∩S?

104.30—5.6加与减

（二）2P57-60∈R∧∈S?

x∈[a]R∧x∈[a]S?

x∈[a]R∩[a]S所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

五、（10分）设A＝{a，b，c，d}，R是A上的二元关系，且R＝{，，，}，求r（R）、s（R）和t（R）。

解r（R）＝R∪IA＝{，，，，，，，}s（R）＝R∪R＝{，，，，，}R＝{，，，}R＝{，，，}R＝{，，，}＝R

tanα1t（R）＝?

R＝{，，，，，，，，}

六、（15分）设A、B、C、D是集合，f是A到B的双射，g是C到D的双射，令h：

A×C?

B×D且?

∈A×C，h（）＝。

证明h是双射。

证明：

1）先证h是满射。

?

∈B×D，则b∈B，d∈D，因为f是A到B的双射，g是C到D的双射，所以存在a∈A，c∈C，使得f（a）=b，f（c）=d，亦即存在∈A×C，使得h（）＝＝，所以h是满射。

2）再证h是单射。

?

、∈A×C，若h（）＝h（），则＝，所以f（a1）＝f（a2），g（c1）＝g（c2），因为f是A到B的双射，g是C到D的双射，所以a1＝a2，c1＝c2，所以＝，所以h是单射。

综合1）和2），h是双射。

七、（12分）设是群，H是G的非空子集，证明是的子群的充要条件是若a，b?

H，则有a*b?

H。

证明：

?

?

a,b∈H有b∈H，所以a*b∈H。

?

?

a∈H，则e=a*a∈H