1、初三几何模型应用之线段和的最小值几何模型-之”线段和”的最小值求法 姓名_求线段和的最小值有代数法模型构造函数(二次函数)模型求最值方法;也有几何模型:“将军饮马”模型;“胡不归模型”; “阿氏圆”;费马点等理论基础:三角形两边之和大于第三边,垂线段最短,两点之间线段最短,圆内(或外)一点与圆上一动点的最短(或长)的连线段必过圆心,“折”大于“直”,“斜”大于“直”等思想方法。一、“将军饮马”模型“将军饮马”:把河岸看作直线L,先取A(或B)关于直线L的对称点A(或B),连接AB(或BA),并与直线交于一点P,则点P就是将军饮马的地点,即PA+PB即为最短路线。1、在直角坐标系中,矩形OACB
2、的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴与y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点(1) 若E为边OA上的一个动点,当CDE的周长最小时,求点E的坐标(2) 若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标。2、如图,已知直线ab,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB=试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MNa且AM+MN+NB的长度和最短,则此时AM+NB的值为 ( ) A6 B8 C10 D12 3、如图,在矩形中,.动点满足.则点到,两点距离之和的最小值为( )A B C. D4、如图8
3、,已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,且OA=15,OC =9,在边AB上选取一点D,将AOD沿OD翻折,使点A落在BC边上,记为点E. (1)求DE所在直线的解析式;(2)设点P在x轴上,以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形,问这样的点P有几个,并求出所有满足条件的点P的坐标;(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使四边形MNED的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由. 4、如图,直线ykxb(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(4,0)、B(0,3),抛物线yx22x1与y轴交于点C (1)求直线y
4、kxb的解析式; (2)若点P(x,y)是抛物线yx22x1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标; (3)若点E在抛物线yx22x1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CEEF的最小值 ABCOy=kx+byx2+2x+1 P(x,y)5、如图,抛物线交y轴于点B,点A为x轴上的一点,OA=2,过点A作直线交抛物线于M,N两点,(1)求直线AB的解析式;(2)连接BM,BN,P为抛物线BN段上的一动点,是否存在这一点,使得四边形MBPN的面积最大,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由; (3)在x轴上是否存在点Q,使得以A、N
5、、Q为顶点的三角形与AOB相似?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由;(4)将线段AB沿y轴负方向平移t个单位长度,得到线段A1B1,求MA1+MB1取最小值时实数t的值。(逆向思维,点M竖直向上运动)二、“胡不归”模型【问题提出】如图,已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB,C为公路BD上的酒店,从海岛A到酒店C,先乘船到登陆点D,船速为a,再乘汽车,车速为船速的n倍,点D选在何处时,所用时间最短?【特例分析】若n2,则时间t,当a为定值时,问题转化为:在BC上确定一点D,使得AD 的值最小如图,过点C做射线CM,使得BCM30(1)过点D作DECM,垂足为E,试说明:DE ;(
6、2)请在图中画出所用时间最短的登陆点D,并说明理由【问题解决】(3)请你仿照“特例分析”中的相关步骤,解决图中的问题(写出具体方案,如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等)【模型运用】(4)如图,海面上一标志A到海岸BC的距离AB300m,BC300m救生员在C点处发现标志A处有人求救,立刻前去营救,若救生员在岸上跑的速度都是6m/s,在海中游泳的速度都是2m/s,求救生员从C点出发到达A处的最短时间【套路归纳】将所求线段和改写为“PAPB”的形式(1);在PB的一侧,PA的异侧,构造一个角度,使得sin;过A作第步所构造的角的一边垂线,该垂线段即为所求最小值【套路练习】1如图,A
7、BC中,BC=2,ABC=300,则2AC+AB的最小值为_2.如图,一条笔直的公路l穿过草原,公路边有一消防站A,距离公路5千米的地方有一居民点B,A、B的直线距离是13千米一天,居民点B着火,消防员受命欲前往救火,若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时,而在草地上的最快速度是40千米/小时,则消防车在出发后最快经过 小时可到达居民点B(友情提醒:消防车可从公路的任意位置进入草地行驶)2如图,在ACE中,CACE,CAE30,O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上(1)试说明CE是O的切线;(2)若ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示O的直径AB;(3)设点D是线段AC上任意一
8、点(不含端点),连接OD,当CDOD的最小值为6时,求O的直径AB的长3.已知在平面直角坐标系中,点A的坐标为),点C的坐标为(-1,0),若P为线段OA上一动点,则最小值是 3如图1,在平面直角坐标系中,直线l与x轴、y轴分别交于点B(4,0)、C(0,3),点A为x轴负半轴上一点,AMBC于点M交y轴于点N,满足4CN5ON已知抛物线yax2bxc经过点A、B、C(1)求抛物线的函数关系式;(2)连接AC,点D在线段BC上方的抛物线上,连接DC、DB,若BCD和ABC面积满足SBCDSABC,求点D的坐标;(3)如图2,E为OB中点,设F为线段BC上一点(不含端点),连接EF一动点P从E出
9、发,沿段EF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止若点P在图1 图2整个运动过程中用时最少,请直接写出最少时间和此时点F的坐标4如图,抛物线yx2mxn与直线yx3交于A,B两点,交x轴于D,C两点,连接AC,BC已知A(0,3),C(3,0)(1)求抛物线的解析式和tanBAC的值;(2)在(1)条件下,设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止,当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?5、如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+
10、c的图像经过点A(-1,0),B(0,-)、C(2,0),其中对称轴与x轴交于点D。(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则的最小值为_。(3)M(s,t)为抛物线对称轴上的一个动点。1若平面内存在点N,使得A、B、M、N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有个;2连接MA、MB,若AMB不小于60,求t的取值范围。6、已知抛物线y=a(x+3)(x1)(a0),与x轴从左至右依次相交于A、B两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线y=x+b与抛物线的另一个交点为D(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式;(2)若在第三象限内的点P,使得以A、B、P
11、为顶点的三角形与ABC相似,求点P的坐标;(3)在(1)的条件下,设点E是线段AD上的一点(不含端点),连接BE一动点Q从点B出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止,问当点E的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少?7、如图13,矩形的对角线,相交于点,关于的对称图形为(1)求证:四边形是菱形;(2)连接,若,求的值;若点为线段上一动点(不与点重合),连接,一动点从点出发,以的速度沿线段匀速运动到点,再以的速度沿线段匀速运动到点,到达点后停止运动当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时,求的长和点走完全程所需的时间阿氏圆(阿波罗尼
12、斯圆):已知平面上两点A、B,则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿氏圆。在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A”型相似+两点间线段最短解决线段之和的最值问题。问题提出:如图1,在RtABC中,ACB90,CB4,CA6,C半径为2,P为圆上一动点,连结AP,BP,求APBP的最小值CBPD图3PBDOCA图2图1CBP尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD1则有,又PCDBCP,PCDBCP,PDBP,APBPAPPD请你完成余下的思考,并直接写出答案:APBP的最小值为
13、自主探索:在“问题提出”的条件不变的情况下, APBP的最小值为 拓展延伸:已知扇形COD中,COD90,OC6,OA3,OB5,点P是上一点,求2PAPB的最小值.如图,半圆的半径为1,AB为直径,AC、BD为切线,AC=1,BD=2,P为上一动点,求PC+PD的最小值2、如图,点A、B在O上,且OA=OB=12,OAOB,点C是OA的中点,点D在OB上,OD=10,动点P在O上,则PC+PD的最小值为?3、如图,点A(4,0),B(4,4),点P在半径为2的O上运动,则AP+BP的最小值为_4、如图,点C(2,5),A(7,0),点B是以点C为圆心半径为的圆上一动点,则OB+的最小值为_3
14、、如图1,抛物线yax2(a3)x3(a0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0m4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PMAB于点M(1)求a的值和直线AB的函数表达式;(2)设PMN的周长为C1,AEN的周长为C2,若,求m的值;(3)如图2,在(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE,旋转角为(090),连图1 图2EA、EB,求EA EB的最小值费马点:是指位于三角形(或四边形等)内且到三角形(或四边形等)三个顶点距离之和最短的点例:在等腰直角三角形ABC中,腰长为2,点P是三角形ABC内一点,则PA+PB+PC的最小值为_1、已知在正方形ABCD内有一点P,若PA+PB+PC的最小值为,求正方形的边长?2、如图,在RtAOC中,A=30,点O(0,0),C(1,0),点A在y轴正半轴上,以AC为一边做等腰直角ACP,使得点P在第一象限。(1)求出所有符合题意的点P的坐标;(2)在AOC内部存在一点Q,使得AQ、OQ、CQ之和最小,请求出这个和的最小值。CAxOy2、(1)阅
copyright@ 2008-2022 冰豆网网站版权所有
经营许可证编号:鄂ICP备2022015515号-1