区块设计之理论.docx

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区块设计之理论

第1章區塊設計之介紹

§1.1區塊設計之理論

組合設計是從一個有限集合中，選取出子集所成之集合，而此集合之元素滿足某些條件。

若此子集含k個元素，我們稱此為k子集，在設計理論上稱之為區塊。

為方便起見，我們將集合{a,b,c}記為abc，其它之集合亦同。

如果xÎB，則我們稱元素x在區塊B中，或稱區塊B中包含有元素x。

以下我們介紹二個簡單的設計。

問題1.1：

設V={1,2,3,4}，求一個V中2子集之集合D，使得V中任2個元素恰好落在唯一的區塊中？

答案：

D={12,13,14,23,24,34}

問題1.2：

設V={1,2,3,4,5,6,7}，求一個V中3子集之集合D，使得每個元素出現3次，並且任兩個區塊的交集只有1個元素？

答案：

{123,145,167,245,267,346,357}

設V為v個元素之集合。

一個在集合V上的區塊設計是V中k子集（稱之為區塊）所成之集合D，且滿足V中每個元素出現在r個區塊中（即每個元素出現r次）。

為了方便，此區塊設計之區塊個數，我們用b表示之，且稱此設計（V,D）為（v,b,r,k）區塊設計。

定理1.3：

在任一個（v,b,r,k）區塊設計中，vr=bk。

証明：

在（v,b,r,k）區塊設計D上，有v個元素，每元素出現r次，顯然此集合D共出現vr個元素，但從另一角度來看，D中共有b個區塊，且每個區塊中均有k個元素，顯然此集合共出現bk個元素。

綜合上述二個觀察，我們得到vr=bk。

在集合S={1,2,3}上的區塊設計有下列數種，D1={123},D2={123,123},D3={123,123,123},…。

不過這些設計上的區塊就是集合S本身，且重覆選取此區塊，雖然它也是某種區塊設計，但我們對它較不感興趣。

因此我們定義所謂不完全設計。

一個區塊設計是不完全設計，如果區塊大小小於所有的元素，也就是k

若k=v，則稱其為完全設計。

對於任意在S中的x,y元素，lx,y是指同時包含有x,y的區塊之個數，我們稱之為x與y之共價數。

例如：

對於組合設計D={123,456,712,345,671,234,567}，l1,2=2，即同時出現1與2之區塊個數有2個123與712，其他l1,3=1,l1,4=0,....，亦同。

定義1.4：

若一個不完全區塊設計，如果對在集合S中任取二個元素x與y，其共價數為一常數l，則稱其為平衡不完全區塊設計，簡稱BIBD（balanceincompleteblockdesign），亦稱（v,b,r,k,l）-設計。

例1.5﹕（7,7,3,3,1）-設計：

{124,235,346,457,561,672,713}。

（7,7,4,4,2）-設計：

{1234,1256,1357,1467,2367,2457,3456}

（6,10,5,3,2）-設計：

{123,124,135,146,156,236,245,256,345,346}

如果l=0（也就是同時出現兩元素之區塊個數為零），換句話說，即是在任一區塊中根本就沒有超過兩個元素的，這時區塊只有1個元素，亦即k＝1。

例如在集合S={1,2,3}上,若l=0，顯而易見的是區塊設計D={1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,...}。

在這種結果下產生的區塊設計，我們並沒有太大的興趣，因此我們均設l>0。

給一（v,b,r,k,l）-設計（V,D），它的對偶設計的定義如下：

集合S為V中所有2子集所成之集合，（集合S共有

個元素），它的區塊是{xy|xÎB,yÎB,x¹y}，其中BÎD。

所以，此設計（V,D）的對偶設計之區塊個數亦為b個。

新設計中每個元素均落入l個新區塊，且新的區塊之大小為

個元素。

例1.6：

求（4,4,3,3,2）-設計之對偶設計，其中（4,4,3,3,2）-設計為{123,124,134,234}。

解：

其對偶設計考慮在集合S={12,13,14,23,24,34}上，而新的區塊將原區塊123換成{12,13,23}，124換成{12,14,24}，134換成{13,14,34}，234換成23,24,34。

則其對偶設計為（6,4,2,3）區塊設計：

{{12,13,23},{12,14,24},{13,14,34},{23,24,34}}但此設計並不是平衡不完全設計。

因為l12,34＝0，但l12,13＝1。

定理1.7：

（v,b,r,k,l）-設計之對偶設計是一種區塊設計，其所考慮之集合是

個元素，共有b個區塊，每個元素落在l個區塊，而區塊所含的元素個數為

。

定理1.8：

對於任一個（v,b,r,k,l）-設計，則有l（v-1）=r（k-1）之關係式。

證明：

由前述定理知道（v,b,r,k,l）-設計之對偶設計為（v’,b’,r’,k’,l’）-設計，其中v’=

，b’=b，r’=l，k’=

。

由區塊設計之等式

v’

r’=b’

k’…………………………………..

（1）

則有

l＝b

………...………

（2）

因為v

r=b

k，所以

（2）式可改寫為

l＝b

=vr

因此，最後得到關係式為l

（v-1）=r

（k-1）。

因為任一個（v,b,r,k,l）-設計恆有下列二個關係式

v

r=b

k

l

（v-1）=r

（k-1）

因此這5個未知數v,b,r,k,l，只須知三個值，另二個數可由此等式求出，因此（v,b,r,k,l）-設計，只需寫為（v,k,l）-設計即可。

意即只要提供v、k、l，剩下的b與r即可輕易被算出。

平衡不完全區塊設計的基本定理：

若一個佈於v個元素t1，t2，…，tv的區塊設計，而它的b個區塊為B1，B2，..Bb，我們定義一個v´b的矩陣A，其中

此矩陣A稱為區塊設計的關聯矩陣。

例如（7,7,3,3,1）-設計：

{124，235，346，457，561，672，713}，其所對應的關聯矩陣如下式：

。

又如（7,7,4,4,2）-設計：

{1234，1256，1357，1467，2367，2457，3456}，其關聯矩陣為

從矩陣A的定義，知道每一列”1”的個數為r（元素重複數），而每一行”1”的個數為k（區塊內所含之元素個數）。

設J為每個位置均為1之矩陣，而In為n階單位矩陣。

設區塊設計的v´b階關聯矩陣為A，則有

JvA=kJvb

和

AJb=rJvb。

（說明：

其為顯然，因為矩陣A之每一列”1”之個數為r，而每一行的”1”之個數為k，由線性代數矩陣運算即可得上式。

）

反過來說，任給一個佈於{0,1}上的v´b階矩陣A，若其滿是上面兩個等式，則其必為某一區塊設計的關聯矩陣。

定理1.9：

如果A是（v,b,r,k,l）-設計之關聯矩陣，則有下列二恆等式

AAT=（r-l）Iv+lJv

和

JvA=kJvb

反之，若存在一個佈於{0,1}上的v´b階矩陣A，滿是上面兩個等式k

證明：

已知（AB）ij=A（i）B（j）,,其中A（i）表示矩陣A之第i列，B（j）表列矩陣B之第j行。

所以

（AAT）ij=A（i）（AT）（j）=A（i）A（j）=

因此，

AAT=

=（r-l）Iv+lJv

反之，若存在一個佈於{0,1}上的v´b階矩陣A，滿是二兩等式AAT=（r-）Iv+Jv與JvA=kJvb，我們定義子集B1,B2,…,Bb如下

iBj若且為若aij=1。

則此區塊設計為一個（v,b,r,k,）-設計，其關聯矩陣為A。

由上面定理之証明得知AAT=

，而此方陣之行列式值我們可經由一些矩陣的基本運算求得：

det（AAT）=det

=det

=det

=（r-l）v-1[r+（v-1）l]。

定理1.10：

對於任意之平衡不完全區塊設計，均有b

v。

證明：

因為

det（AAT）=（r-l）v-1[r+（v-1）l]………………..

（1）

且l（v-1）=r（k-1），所以

（1）式可寫為

det（AAT）=（r-l）v-1[r+r（k-1）]=（r-l）v-1rk。

並且因為l（v-1）=r（k-1），加上區塊設計的基本條件kl，即r-l>0。

因此det（AAT）>0，所以AAT為可逆矩陣，且

v=rank（AAT）£rank（A）£min{v,b}。

故b

v。

設A是一個佈於{0,1}上的v´b階矩陣，其為某個區塊設計的關聯矩陣之充要條件為JvA=kJvb與AJb=rJvb。

任給一區塊設計，其關聯矩陣為A，則JvA=kJvb和AJb=rJvb。

將此二等式取轉置，則有JbAT=rJbv與ATJv=kJbv。

AT所對應之區塊設計稱為原區塊設計之偶設計，此偶設計為（v’,b’,r’,k’）-設計

其中

v’=b，b’=v，r’=k，k’=r。

此偶設計之建構如下：

設一原始設計有b個區塊B1,B2,…,Bb和v個元素t1,t2,…,tv，則其偶設計之v個區塊C1,C2,…,Cv和b個元素u1,u2,…,ub之關係如下

uiÎCj若且為若tjÎBi

例1.11：

區塊設計（6,4,2,3）-設計：

{123,145,246,356}，則其關聯矩陣A為

則AT為

所以其偶設計為{12,13,14,23,24,34}，其中v=4,b=6,r=3,k=2。

關於偶設計，我們有如下之觀察：

●區塊設計（v,b,r,k）-設計之偶設計為（b,v,k,r）-設計。

●一個不完全的區塊設計，其偶設計也是一個不完全的區塊設計。

（因為vr=bk，已知原設計為不完全所以有k

）

●BIBD之偶設計不一定就是BIBD（因為在BIBD中，bv）。

定理1.12：

（v,b,r,k,l）-設計之偶設計是BIBD若且為若v=b

證明：

“Þ”利用反證法，假設v¹b，因此b>v。

此式表示其偶設計之區塊個數v小於所有元素之個數b，所以其偶設計不是BIBD。

“Ü”：

若v=b，因為v

r=b

k，所以得到r=k。

現在只需證明JAT=kJ和ATA=（k-l）I+lJ即可。

（1）已知JA=kJ和AJ=rJ。

因為r=k，所以可得到

JA=kJ--------

（1）

和

AJ=kJ---------

（2）

將

（2）式做轉置動作，則（AJ）T=JAT=kJ，故得證。

（2）已知AAT=（k-l）I+lJ並且det（AAT）>0，因為det（AAT）=det（A）det（AT）¹0則det（A）¹0，所以A為非奇異的，即A有反矩陣，因此AJ=kJ,J=kA-1J,A-1J=k-1J。

利用AAT=A-1（AAT）A=A-1[（k-l）I+lJ]A

則ATA=A-1（k-l）IA+lA-1JA

=（k-l）I+lk-1JA

=（k-l）I+lk-1kJ

=（k-l）I+lJ

故得證。

定義1.13：

若一區塊設計滿足v=b，則此區塊設計稱之為對稱的區塊設計。

引理1.14：

對稱的BIBD中任兩個區塊，其交集為l。

證明：

觀察ATA=

。

所以當i¹j時，第i個區塊與第j個區塊之交集為A（i）A（j）=（AT）（i）A（j）=（ATA）ij=l，即為ATA矩陣之（i,j）位置。