区块设计之理论.docx

1、区块设计之理论第1章 區塊設計之介紹 1.1 區塊設計之理論組合設計是從一個有限集合中，選取出子集所成之集合，而此集合之元素滿足某些條件。若此子集含k個元素，我們稱此為k子集，在設計理論上稱之為區塊。為方便起見，我們將集合a,b,c記為abc，其它之集合亦同。如果x B，則我們稱元素x在區塊B中，或稱區塊B中包含有元素x。以下我們介紹二個簡單的設計。問題 1.1：設V = 1,2,3,4，求一個V中2子集之集合D，使得V中任2個元素恰好落在唯一的區塊中？答案： D = 12,13,14,23,24,34問題 1.2：設V = 1,2,3,4,5,6,7，求一個V中3子集之集合D，使得每個元素出

2、現3次，並且任兩個區塊的交集只有1個元素？答案： 123,145,167,245,267,346,357 設V為v個元素之集合。一個在集合V上的區塊設計是V中k子集(稱之為區塊)所成之集合D，且滿足V中每個元素出現在r個區塊中（即每個元素出現r次）。為了方便，此區塊設計之區塊個數，我們用b表示之，且稱此設計(V, D)為(v,b,r,k)區塊設計。定理 1.3：在任一個(v,b,r,k)區塊設計中，vr = bk。証明：在(v,b,r,k)區塊設計D上，有v個元素，每元素出現r次，顯然此集合D共出現vr個元素，但從另一角度來看，D中共有b個區塊，且每個區塊中均有k個元素，顯然此集合共出現bk個

3、元素。綜合上述二個觀察，我們得到vr = bk。在集合S = 1,2,3上的區塊設計有下列數種，D1 = 123, D2 = 123,123, D3 = 123,123,123,。不過這些設計上的區塊就是集合S本身，且重覆選取此區塊，雖然它也是某種區塊設計，但我們對它較不感興趣。因此我們定義所謂不完全設計。一個區塊設計是不完全設計，如果區塊大小小於所有的元素，也就是k 0。給一(v, b, r, k, l)-設計(V,D)，它的對偶設計的定義如下：集合S為V中所有2子集所成之集合，(集合S共有個元素)，它的區塊是xy | x B, y B, x y，其中B D。所以，此設計(V,D)的對偶設計

4、之區塊個數亦為b個。新設計中每個元素均落入l個新區塊，且新的區塊之大小為個元素。例 1.6：求(4,4,3,3,2)-設計之對偶設計，其中(4,4,3,3,2)-設計為123,124,134,234。解：其對偶設計考慮在集合S = 12,13,14,23,24,34上，而新的區塊將原區塊123換成12,13,23，124換成12,14,24，134換成13,14,34，234換成23,24,34。則其對偶設計為(6,4,2,3)區塊設計：12,13,23,12,14,24,13,14,34,23,24,34但此設計並不是平衡不完全設計。因為l12,340，但l12,131。定理 1.7：(v,

5、 b, r, k, l)-設計之對偶設計是一種區塊設計，其所考慮之集合是個元素，共有b個區塊，每個元素落在l個區塊，而區塊所含的元素個數為。定理 1.8：對於任一個(v, b, r, k, l)-設計，則有l(v-1) = r(k-1)之關係式。證明：由前述定理知道(v, b, r, k, l)-設計之對偶設計為(v, b, r, k, l)-設計，其中 v =，b = b，r = l，k =。由區塊設計之等式v r = b k.(1)則有lb.(2)因為vr = bk，所以(2)式可改寫為lb = vr因此，最後得到關係式為 l (v-1) = r (k-1)。因為任一個(v, b, r,

6、k, l)-設計恆有下列二個關係式vr = bkl (v-1) = r (k-1)因此這5個未知數v, b, r, k, l，只須知三個值，另二個數可由此等式求出，因此(v, b, r, k, l)-設計，只需寫為 (v, k, l)-設計即可。意即只要提供v、k、l，剩下的b與r即可輕易被算出。平衡不完全區塊設計的基本定理：若一個佈於v個元素t1，t2，tv的區塊設計，而它的b個區塊為B1，B2，.Bb，我們定義一個v b的矩陣A，其中此矩陣A稱為區塊設計的關聯矩陣。例如(7,7,3,3,1)-設計：124，235，346，457，561，672，713，其所對應的關聯矩陣如下式：。又如(7

7、,7,4,4,2)-設計：1234，1256，1357，1467，2367，2457，3456，其關聯矩陣為從矩陣A的定義，知道每一列”1”的個數為r（元素重複數），而每一行”1”的個數為k（區塊內所含之元素個數）。設J為每個位置均為1之矩陣，而In為n階單位矩陣。設區塊設計的vb階關聯矩陣為A，則有Jv A = k Jv b和A Jb = r Jv b。（說明：其為顯然，因為矩陣A之每一列”1”之個數為r，而每一行的”1”之個數為k，由線性代數矩陣運算即可得上式。）反過來說，任給一個佈於0,1上的vb階矩陣A，若其滿是上面兩個等式，則其必為某一區塊設計的關聯矩陣。定理 1.9：如果A是(v,

8、b,r,k,l)-設計之關聯矩陣，則有下列二恆等式AAT = (r-l)Iv + lJv和Jv A = k Jv b反之，若存在一個佈於0,1上的vb階矩陣A，滿是上面兩個等式kv，則A必為某一(v,b,r,k,l)-設計的關聯矩陣。證明：已知(AB)ij = A(i)B(j), 其中A(i)表示矩陣A之第i列，B(j)表列矩陣B之第j行。所以(AAT )ij = A(i)(AT)(j) = A(i) A(j) = 因此，AAT = = (r-l)Iv + lJv反之，若存在一個佈於0,1上的vb階矩陣A，滿是二兩等式AAT = (r- )Iv + Jv 與Jv A = k Jv b，我們定義

9、子集B1, B2, , Bb 如下i Bj 若且為若aij = 1。則此區塊設計為一個(v,b,r,k, )-設計，其關聯矩陣為A。由上面定理之証明得知AAT =，而此方陣之行列式值我們可經由一些矩陣的基本運算求得：det(AAT) = det = det = det = (r - l)v-1r + (v-1)l。定理 1.10：對於任意之平衡不完全區塊設計，均有bv。證明：因為det(AAT) = (r - l)v-1r + (v-1)l.(1)且l(v-1) = r(k-1)，所以(1)式可寫為det(AAT) = (r - l)v-1r + r(k-1) = (r - l)v-1rk。並

10、且因為l(v-1) = r(k-1)，加上區塊設計的基本條件k l，即r-l 0。因此det(AAT) 0，所以AAT為可逆矩陣，且v = rank(AAT) rank(A) minv,b。故bv。設A是一個佈於0,1上的vb階矩陣，其為某個區塊設計的關聯矩陣之充要條件為Jv A = k Jv b與A Jb = r Jv b。任給一區塊設計，其關聯矩陣為A，則Jv A = k Jv b和A Jb = r Jv b。將此二等式取轉置，則有Jb AT = r Jb v與AT Jv = k Jb v。AT所對應之區塊設計稱為原區塊設計之偶設計，此偶設計為(v,b,r,k)-設計其中v = b，b =

11、 v，r = k，k = r。此偶設計之建構如下：設一原始設計有b個區塊B1, B2, , Bb和v個元素t1, t2, , tv，則其偶設計之v個區塊C1, C2, , Cv和b個元素u1, u2, , ub之關係如下ui Cj 若且為若tj Bi例 1.11：區塊設計(6,4,2,3)-設計：123,145,246,356，則其關聯矩陣A為則AT為所以其偶設計為12,13,14,23,24,34，其中v = 4, b = 6, r = 3, k = 2。關於偶設計，我們有如下之觀察： 區塊設計(v,b,r,k)-設計之偶設計為(b,v,k,r)-設計。 一個不完全的區塊設計，其偶設計也是一

12、個不完全的區塊設計。(因為vr = bk，已知原設計為不完全所以有kv之條件式，由等式可得到rb，所以對於偶設計(b, v, k, r)-設計而言，新區塊之大小小於全部之點數，即r v。此式表示其偶設計之區塊個數v小於所有元素之個數b，所以其偶設計不是BIBD。“”：若v = b，因為vr = bk，所以得到r = k。現在只需證明JAT = kJ 和 ATA = (k-l)I + lJ 即可。(1) 已知JA = k J和AJ = r J。因為r = k，所以可得到JA = k J-(1)和AJ = k J-(2)將(2)式做轉置動作，則(AJ )T= JAT = k J，故得證。(2) 已

13、知AAT = (k-l)I + lJ 並且 det(AAT) 0，因為det(AAT) = det(A)det(AT) 0 則det(A) 0，所以A為非奇異的，即A有反矩陣，因此AJ = kJ , J = kA-1J , A-1J = k-1J。利用AAT = A-1(AAT)A = A-1(k-l)I + lJA則ATA = A-1 (k-l)I A + lA-1JA = (k-l)I +lk-1JA = (k-l)I + lk-1kJ = (k-l)I + lJ故得證。定義 1.13：若一區塊設計滿足v = b，則此區塊設計稱之為對稱的區塊設計。引理 1.14：對稱的BIBD中任兩個區塊，其交集為l。證明：觀察ATA =。所以當i j時，第i個區塊與第j個區塊之交集為A(i) A(j) = (AT)(i) A(j)= (ATA)ij = l，即為ATA矩陣之(i,j)位置。