数学建模之制动器试验台的控制方法分析.docx

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数学建模之制动器试验台的控制方法分析

制动器试验台的控制方法分析

【摘要】汽车行动制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一。

为了检验设计的优劣，我们设计了最优化的实验室模拟测试方法，经计算验证误差较小，接近实际，具有可行性。

首先，本模型将汽车刹车时所具有的平动动能等效为飞轮组的转动动能，设计相应等效转动惯量的飞轮组，运用能量守恒定律，前轮的滚动半径为0.286m，制动时承受的载荷为6230N，等效的转动惯量为51.999kg·m2。

第二，利用空心圆柱体绕对称中心转动的转动惯量公式，计算得三个飞轮单个惯量为30kg·m2，60kg·m2，120kg·m2，可以组成10，40，70，100，130，160，190，220kg·m2的8种数值的机械惯量，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿12kg·m2的惯量。

第三，利用能量关系，计算得驱动电流为174.825A。

第四，利用c语言编程计算求得能量误差为，并用matlab拟合作图来衡量制动器的稳定性。

第五，利用第三问的模型用c程序递推算法设计了根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法。

第六，通过算法的改进，运用递归重新设计了一个比较完善的计算机控制方法，使实验测试中的偶然误差的影响大大减少。

关键词：

实验室模拟转动惯量转动动能计算机控制

一．问题的重述

随着科学技术的创新，日益繁荣的工业文明将汽车带到千家万户。

但交通便利的同时也为安全问题带来的极大的隐患。

汽车设计及制造过程中在安全方面需要考虑很多因素和条件，而汽车的行车制动器的设计无疑是其中最重要的环节之一。

为了检验设计的优劣和制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。

但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。

模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。

路试车辆的制定车轮在制动时承受载荷，这个载荷在车辆平动时具有的能力转化为试验台上的飞轮和主轴等机构转动时具有的能力。

飞轮组具有机械惯量，是有主轴等不可拆卸的惯量成为基础惯量，再加上飞轮的惯量之和。

在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。

假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，其比例系数为1.5A/N·m，且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。

由于制动器性能的复杂性，工程实际中常用的方法是把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。

需要解决的问题有：

1.已知车辆单个前轮的滚动半径为0.286m及制动时承受的载荷为6230N，求等效的转动惯量。

2.飞轮组由3个外直径1m、内直径0.2m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392m、0.0784m、0.1568m，钢材密度为7810kg/m3，基础惯量为10kg·m2，问可以组成的机械惯量？

设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为[-30,30]kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？

3.建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。

在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。

4.对于与所设计的路试等效的转动惯量为48kg·m2，机械惯量为35kg·m2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。

请对该方法执行的结果进行评价。

5.按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。

6.第5问给出的控制方法是否有不足之处？

如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。

二、模型假设与符号说明

2.1模型假设

1.假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。

2.主轴的角速度与车轮的角速度始终一致。

3．电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，比例系数取为1.5A/N·m。

4．补偿电流所产生的扭矩小于制动器制动扭矩。

5．模型中不考虑观察误差、随机误差和连续问题离散化所产生的模型。

2.2符号说明

1.

：

飞轮转动角速度（rad/s）；p:

飞轮转速（转/分钟）

2.

：

汽车前轮滚动半径（m）

3.I：

转动惯量（kg·m2）

4.R：

飞轮内、外半径（m）

5.W：

主轴能量（J）

6.

：

角加速度（rad/s2）

7.M：

扭矩（N．m）

8.i：

电流（A）

9.T：

时间段（s）

三、问题的分析

假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动，因此，刹车时汽车的速度等于车轮的角速度与车轮半径的乘积，刹车时汽车的动能的减少全部转化为与制动器之间的摩擦产生的热量，模拟试验中，飞轮的转动动能的损耗等于制动器与飞轮间摩擦热。

主轴的角速度与车轮的角速度始终一致，在实验中通过测量飞轮的角速度与扭矩来判断汽车在刹车过程中速度变化情况，制动器的性能。

电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，比例系数取为1.5A/N·m。

可以通过能量关系求出补偿惯量对应需补偿的扭矩进而求出驱动电流

补偿电流所产生的扭矩小于制动器制动扭矩，可以保证刹车正常完成。

四、模型建立及求解

模型建立

根据路试情况建立等效转动惯量模拟模型，把汽车刹车时的平动动能等效为飞轮的转动动能，来更加准确地模拟刹车时的真实情况，测试制动器性能。

模型求解

1．解决第一问，我们利用能量守恒计算出等效的转动惯量。

假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，轮胎与地面无滑动，所以刹车时汽车的速度等于车轮的角速度与车轮半径的乘积。

路试时车辆平动时具有的能量等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，由能量守恒有：

，

即

得

代入数据，m=6230/9.8kg=635.714kgr=0.286m得：

I=52kg·m2

2．第二问对飞轮组的转动惯量进行了计算，飞轮的示意图如下图所示：

飞轮的转动惯量计算公式为：

=

代入数据得，对第一个飞轮，

=0.0392m，I1=30kg·m2

对第二个飞轮，

=0.0784m，I2=60kg·m2

对第三个飞轮，

=0.1568m，I3=120kg·m2

故由题意基础惯量为10kg·m2，因此可以组成的机械惯量为：

10、40、70、100、130、160、190、220kg·m2

我们的补偿惯量分别为42、12、—18、—48、—78、—108、—138、—168kg·m2

而由于设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为[-30,30]kg·m2，

所以我们取其区间值，即电动机补偿惯量为12kg·m2和—18kg·m2

3．在问题1和问题2的条件下，问题3需要我们建立一个依赖于可观测量的数学模型。

因为汽车的制动属于连续性问题，所以我们把整个制动过程离散化为多个时间段，根据前面时间段观测到的瞬时转速与瞬时扭矩设计本时间段的驱动电流，考虑要使问题离散化后的误差尽量小一些，可以选取较小的时间间隔。

因此所建立模型为：

而在本问题的制动过程中，假设制动减速度为常数，所以可以用连续的模型来计算。

已知初始速度为50km/h，制动5.0秒后车速为零。

我们根据能量守恒及能量转化规则有以下公式：

联立方程求解，驱动电流的值为恒定的I=174.8253A。

4.当实验时飞轮组的转动惯量等于等效转动惯量时，刹车时所具有的能量可以表示为

代入数据

通过计算得路测时制动器消耗的能量为

由于时间是离散的，求实验台上制动器在制动过程中消耗的能量可以由扭矩所做的功求和：

用C语言编程将数据导入可以计算出实验台上制动器在制动过程中消耗的能量为：

（具体c程序代码见附录一）

所以能量相对误差u为：

上述5.50%的误差说明该实验方法还是可行的，但是控制精度不够高。

用matlab分别作出转速随时间变化以及扭矩随时间变化的图：

图一

图二

由图一得知，从图可以看出整体上制动器的制动效果还是比较稳定的，飞轮的转速基本是保持较平稳的减速，但是前面一段时间的制动效果显然不够。

从图二可以知道，制动器的瞬时扭矩在开始是逐渐增大的，后来趋于稳定。

这可能是因为制动器在制动过程中达到要求的值需要一定的时间。

因此试验中制动器在开始过渡消耗的能量比理想中的路试所消耗的能量少，这是误差产生的重要原因。

同时在后面的阶段，扭矩的值没有保持恒定，而是在不断地震荡，因此也会产生一定的误差。

但这个误差的大小还是可以接受的，因此这个结果是可行的，只是精度不够高。

5．第5问按照第3问导出的数学模型，即根据前一个时间段观测到得瞬时转速与瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机方法。

考虑到计算量的大小，可以选取0.01s为时间间隔。

然后利用第三问的模型，通过c语言编程用递推算法计算并输出每一时间段的电流值。

从而完成计算机控制的目的。

（具体c程序代码见附录二）

该控制方法程序简单，控制灵敏，反应迅速，可以达到在较短的时间内比较准确的计算出下一小段的电流值，从而使实验更加接近于路试。

6．对第5问的改进和完善

在第五问中通过观测的扭矩来计算角加速度进而来预测角速度的变化，和能量的改变量，求等效转动惯量所对应转动动能的该变量与机械转动惯量转动动能的该变量之差，从而可以求出补偿扭矩，补偿电流。

开始阶段，扭矩的变化很剧烈，会出现一些误差，为了消除这些误差，在制动一秒后选择用线性拟合的方法预测角速度的变化，可以提高精度。

5．模型的优化和推广

本题题意就是要求我们找到一个最优的控制方法，所以在原来的控制方法基础上，我们找到了更为有效地方法。

本文认为在连续问题离散化的过程中产生了较大的误差，其一在于每个小的时间段的扭矩用的上一时间段的而不是整个之前时间段的；其二在于时间段分的不够细。

因此，本文作者从这两方面出发找到了一个较为合理的刹车系统控制模型。

但是本文的缺点其一在于只有理论的证明而没有真正的实践。

有条件的话，应该把本文所提供的控制方法放到实验台上去，用实际的实验数据来检测模型的实用性；其二在于我们考虑的因素太过于理想化，我们忽略了观察误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差，而实际试验中这些是占有很大比例的因素。

另外，本文是从减小误差的线性拟合方面出发的，我们其实也可以从线性规划的方面来看，用目标函数表示能量误差与扭矩、转速等变量之间的关系，然后找出约束条件，比如扭矩与电流的关系，以及在刹车过程中扭矩趋于恒定值的实际情况等等。

那样得到的结果不仅是控制方法，还有输入变量，导入数据之后的新的误差计算结果。

而且我认为那样更简单可行。

六．参考文献

[1]解明芳，理论力学，上海：

同济大学出版社，2005

[2]赵凯华、罗慰茵，力学，北京：

高等教育出版社，2006

[3]阿诺尔德（俄），经典力学的数学方法，北京：

高等教育出版社，2006

[4]张忠月，高等数学，北京：

高等教育出版社，2007

7．附录

附录一：

第四问程序，我们通过该程序计算出题中给定控制方法的误差计算方法，算出误差为5.5%，之后对此进行评价。

#include

#include

#defineN468

#definePAI3.1415926

intmain（）

{

floatM[N],w[N],p[N],Mf;

inti;

FILE*fp;

Mf=514/23.35;

for（i=0;i<468;i++）

{

scanf（"%f",&p[i]）;

w[i]=PAI*p[i]/30;

}

for（i=0;i<467;i++）

{

M[N]=Mf-650*（pow（w[i],2）-pow（w[i+1],2））/w[i];

}

fp=fopen（"liju.txt","w"）;

for（i=0;i

fprintf（fp,"%f\n",M[i]）;

fclose（fp）;

}

附录二：

第五问程序，我们根据自己的模型编程得到了优化的控制计算方法，程序如下

#include

#include

#definePAI3.1415926

#defineN10000

intmain（）

{

floatM[N],Mf[N],w[N],p[2],I1,I2;

inti,j=0;

FILE*fp;

printf（"请输入等效转动惯量和机械惯量:

\n"）;

scanf（"%f%f\n",I1,I2）;

printf（"请输入初转速和末转速:

\n"）;

scanf（"%f%f\n",p[0],p[1]）;

w[0]=PAI*p[0]/30;

printf（"请输入每一小段的瞬时扭矩:

\n"）;

for（i=0;i

{

scanf（"%f\n",M[i]）;

w[i+1]=w[i]+M[i]*0.01/I2;

Mf[i]=0.5*（I1-I2）*（pow（w[i],2）-pow（w[i+1],2））/w[i]/0.01;

j++;

if（30*w[i+1]/PAI<=p[1]）break;

}

fp=fopen（"电流.txt","w"）;

for（i=0;i

fprintf（fp,"下一时间段的电流为%f\n",1.5*Mf[i]）;

fclose（fp）;

}