一元整式方程.docx
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一元整式方程
一元整式方程
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整式和一元一次方程
整式和一元一次方程
一．解答题
1．如果方程的解与方程4x﹣=6x+2a﹣1的解相同，求式子的值．
2．下面是马小哈同学做的一道题：
解方程：
解：
①原方程可化为：
；
②去分母，得5﹣2=﹣25；
③去括号，得50x+150﹣8x﹣20=﹣25；
④移项，得50x﹣8x=﹣25+150﹣20；
⑤合并同类项，得42x=105；
⑥系数化为1，得；
上面的解题过程中出现了错误的步骤有 ；
请把正确的解答写在右面．
3．解方程：
．
第1页
． ﹣=1．； x﹣﹣1；． ．．． ．．
﹣
=． x﹣=2﹣； ．
11．已知A=x﹣2x+1，B=2x﹣6x+3．求：
A+2B．2A﹣B．
4．计算：
（3）2﹣3 ﹣；
﹣2﹣ （6）4a+2﹣．
（7）2﹣
5．已知A=2x+3xy﹣2x﹣1，B=﹣x+xy﹣1：
求3A+6B；若3A+6B的值与x无关，求y的值．2222222222223222．
（2）+﹣2222
第2页一元整式方程
一元整式方程
教学目标
1、知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式.
2、经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.
3、通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程,体会分类讨论的方法，了解由特殊到一般、一般到特殊的辨证思想.
教学重点及难点
重点:
理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念及解法.
难点:
解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程中的分类讨论.
教学流程设计
教学过程设计
一、问题引入1
1．思考
根据下列问题列方程：
买3本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；
买a本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；
一个正方形的面积的4倍等于16平方厘米，求这个正方形的边长；
一个正方形的面积的b倍等于s，求这个正方形的边长.
说明为了更好地使学生进行联系和比较已学过的一元一次和一元二次方程与含字母系数一元一次和一元二次方程，增加了、两个问题，也为解含字母的一元一次方程和一元二次方程埋下伏笔.
2．讨论
你所列出的方程之间有什么区别和联系?
二、新课学习1
1、归纳概念1
2在方程ax12和bxs中，x是未知数;字母a、b是项的系数，s是常数项，它们都
表示已知数，我们称这样的方程是含字母系数的方程，这些字母叫做字母系数.、问题中的方程就分别是含字母系数的一元一次方程和一元二次方程.
2．讲解例题
例题1解下列关于x的方程：
（学生进行尝试性地类比解题）
（3a2）x2（3x）;
3、思考
含字母系数的方程与不含字母系数的方程在解的过程中存在什么区别吗？
4、结论
含字母系数的一元一次和一元二次方程在解的过程中，由于字母的不确定性，在使用等式性质和根的判别式时，往往需要进行分情况进行讨论；如果字母能确定，则不需要讨论.
说明通过学生自主尝试解含字母系数方程,充分暴露学生忽略等式性质中非零条件的限制及根判别式非负的要求，在分情况进行讨论的思维上的缺陷,教师再进行解释和引导,同时强调是在字母不能确定的时候才需讨论,否则不必要,从而使学生对这一思想的认识更为清晰和牢固.
三、问题引入2
有一块边长为10分米的正方形薄铁皮，在它的四个角上分别剪去大小一样的一
个小正方形，然后做成一个容积为48立方分米的无盖长方体物件箱.设小正方形的边长为x分米，根据题意列方程；
某厂xx年产值为100万元，计划到2016年产值增长到万元.设每年
的平均增长率为x,根据题意列方程.bx211x2（b1）.
说明增加问题2是为了提供更多的素材，帮助学生寻找共性，感受概念，从而为接下去的归纳概念提供更多的直观认识.
四、新课学习2
1、归纳概念2
①如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;
②一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n（n是正整数）,这个方程叫做一元n次方程;其中次数n大于2的方程统称为一元高次方程,简称高次方程.
2．讲解例题
例题2判断下列关于x的方程,哪些是整式方程?
这些整式方程分别是一元几次方程?
1
（1）x2a3x10;2
x21（4）;2x3
五、巩固练习
（2）4x3810;（5）2xa22a3;x（3）3a2x5x1;a（6）x47x280.
课本练习1、2、3
六、课堂小结
通过本堂课你有什么收获?
稿件----一元整式方程的解法
八年级第三周市八初级中学凌永刚200010黄浦区复兴东路123号
一元整式方程的解法
【方程结构图】：
一次方程整式方程二次方程有理方程高次方程代数方程分式方程无理方程
【例题分析】：
一、解下列关于x的方程：
（1）（3a1）x3（1x）
（2）b2x213x2
分析：
对于字母系数的方程需要讨论字母系数的取值范围与方程的解的关系.解：
（1）（3a1）x33x
（3a2）x3
2时，此方程无解；3
23当3a+2≠0即a≠-时，x=.33a2当3a+2=0即a=-
bx3x1
x=1
x=22222212b3
b23∵b+3＞0，∴x=±2.b32
二、解下列方程
（1）2（12x）
（4）2x3432
（2）2x43x25 （3）3x35x2x06x26x180（5）（x2–x）2–8（x2–x）+12=0
分析：
高次的方程的基本解法：
因式分解降次.
解：
（12x）164
12x2，解得x1=31，x2=-.22
说明：
运用开平方的方法。
2x3x50
=0
222422x-5=0解得x=±
2.22或者：
令x=y，则原方程转化为2y-3y-5=0，解得y=5522或-1，代入得x=或x=-1.22
说明：
运用因式分解或者换元法
x（3x25x1）0
x=0或3x5x102
x1=0，x2、3=5376
说明：
运用提取公因式和求根公式法。
（2x36x2）（6x18）0
2x-6=0
=0
x1=3，x2=，x=-3.
说明：
运用分组分解法
令x–x=y，则原方程变为y–8y+12=0
∴y1=6，y2=2
当y=6时，x–x=6，即x–x–6=0
∴x1=3，x2=-2
当y=2时，x–x=2，即x–x–2=0
∴x3=2，x4=-1
∴原方程的解为x1=3，x2=-2，x3=2，x4=-1。
22222222整式与方程
一、选择题：
1．若m-n=-1，则-2m+2n的值为
A、-1 B、1 C、2 D、3
2．有一捆粗细均匀的电线，现要确定它的长度．从中先取出1m长的电线，称出它的质量为a，再称出其余电线的总质量为b，则这捆电线的总长度是
A．m B．m C．m D．maaa
3．下列说法中，正确的是
A．－3322323x系数是B．pa2系数是C．3ab2的系数是3aD．xy2的系数是425542
4．当x=1时，ax+b+1的值为－2，则（a+b-1）（1-a-b）的值为的值为
A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
5．购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为
A．元 B．3元 C．元 D．元
6．下列运算正确的是．
4aa3B．22ab4abC．A．a2a2a24aba2b2D．2
7、下列方程中，解为x2的方程是：
2B.3x60C.
8、在解方程1x0D.7x1402x－12x＋3－＝1时，去分母正确的是23
A、3－2＝1 B、3－2＝6
C、3x－1－4x＋3＝1 D、3x－1－4x＋3＝6
9、已知：
有最大值，则方程的解是（ ）
10、某商品连续两次9折降价销售，降价后每件商品的售价为元，该产品原价为（ ）。
A、元B、元C、元D、元
2二、填空题：
11．多项式3xy1123xyx3按x的降幂排列为2
12．若2x3ym与﹣3xny2是同类项，则m+n= ．
13．已知a+2b=3，则5﹣a﹣2b= ．
14．某商品标价是a元，现按标价打9折出售，则售价是 元．
2215．当x=1时，3ax+bx=4，则当x=3时，ax+bx的值是 ．
16、代数式2a1与12a互为相反数，则a 。
17．当x= 时，式子5x+2与3x﹣4的值相等．
2218．已知m﹣2m﹣1=0，则2m﹣4m+3= ．
19．甲、乙二人一起加工零件．甲平均每小时加工a个零件，加工2小时；乙平均每小时加工b个零件，加工3小时．甲、乙二人共加工零件 个．
20、小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km？
设他家到学校的路程是xkm，则据题意列出的方程是___________________________
21．解下列方程：
6x79x 4x319x＝
，售价享受八折优惠，小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？
若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由．
24．.探索规律：
将连续的偶2，4，6，8，…，排成如下表：
2 4 8 10
12 14 16 18 20
22 2426 28 30
32 34 36 38 40
… …
若将十字框上下左右移动，可框住五位数，设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和，
若将十字框上下左右移动，可框住五位数的和能等于2016吗？
如能，写出这五位数，如不能，说明理由。
2 （4）12x－3x－1,求当x=－2时，A－2B的值．2
情景：
试根据图中信息，解答下列问题：
购买8根跳绳需___________元，购买14根跳绳需___________元；
小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？
若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由．
21．.探索规律：
将连续的偶2，4，6，8，…，排成如下表：
2
4 8 10
12 14 16 18 20
22 2426 28 30
32 34 36 38 40
… …
若将十字框上下左右移动，可框住五位数，设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和，
若将十字框上下左右移动，可框住五位数的和能等于2016吗？
如能，写出这五位数，如不能，说明理由。
23．先化简，再求值．
3x4x273x2x21,其中x=-3．
22222x－y－－5x+y+,x=-1,y=1．
四、解答题
24．先化简，再求值：
其中a1，（2ab）（2ab）（2ab）（ab）（a2b），b2．
已知am3，an2，求出amn和a2m3n的值．
25．先化简，再求值：
（x-2y）+÷，其中x=﹣
232222，y=5．3整式方程与分式方程
整式方程与分式方程
复习上节课
一次函数一章有哪些知识点：
常考题型：
本课知识结构图：
教学过程
一、整式方程的解法
1.一元一次方程和一元二次方程的解法
一元一次方程的解法同学们都很熟练了，我们主要回顾一下一元二次方程的解法。
一元二次方程的解法主要有四种：
直接开平方法：
2适用于=h（h≥0）的一元二次方程。
配方法：
适用于所有化为一般形式后的一元二次方程。
但是，具有二次项系数为1，一次项系数为偶数特点的一元二次方程，用配方法解才较简便。
2配方法是通过配方将一元二次方程化成=h（h≥0）的形式，再利用直接开平方法求
解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。
其基本步骤是：
①首先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；
②把常数项移到等式的右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数；
⑤利用直接开平方法解此方程
用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为1时，一定要化为1，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方
公式法：
bb24ac2b4ac0可以解适用于解一般形式的一元二次方程。
利用公式x2a
所有的一元二次方程。
22注意：
当b-4ac≥0时，方程才有实数解；当b-4ac＜0时，原方程无实数解。
因式分解法：
适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
例题用适当的方法解下列方程：
=25 2x4x10 3x+8x-1=0 （4）x-9x=02222
二、可化为一元二次方程的分式方程的解法
1．适宜用“去分母”的方法的分式方程
解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程来解。
解分式方程要注意验根！
分析：
本例是一道分式方程，通常采用去分母法。
2首先应观察各项分母，如能分解因式必须先分解因式，如本例x-17x+60可分解因式
为.
分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例为“”.
用此整式去乘方程的每一项，便可约去分母，将分式方程转化为整式方程求解.
最后应检验，至此例可找到本例完整解答.
解：
原方程就是
4x3x45，x512x（x5）（x12）
方程两边都乘以（x5）（x12），约去分母，得
4（x12）（x3）（x5）x45，
整理后，得
x211x180.
解这个方程，得
x12,
检验：
x12,x29x29.代入（x5）（x12）0，
∴x12,x29均为原方程根.
在去分母的过程中要注意两点：
必须注意符号的变化规律；用整式乘以方程的每一项，一项都不能漏.
2.适宜用“换元法”的分式方程
适宜用换元法的分式方程有两种，一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法；二是不看系数，方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法，
下面的例题中的两个方程，分别具有这两种特点。
例题解下列方程：
xx560；x1x12
8（x22x）3（x21）211.2x1x2x
分析：
观察方程可发现二次项底数与一次项未知底数相同，因而，可考虑同底换元法为宜.
解：
设xy.则原方程可化为x1
y25y60，
（y2）（y3）0，
∴ y12,y23.
当y1=-2时，即x22x；x13
x33x.x14当y2=-3时，即
23检验把x1,x2代入（x1）均不为0，34
∴x123,x2均为原方程的根.34
x22xx21分析：
观察方程可发现这个方程左边两个分式中的2与2互为倒数，x1x2x
根据这个特点，可以用倒数换元法来解.x211x22x，于是原方程变形为y，那么2解：
设2x2xyx1
8y
2311，y去分母，得 8y11y30，
（8y3）（y1）0，
解得 y1=3,y2=1.8
x22x33.当y=时，288x1
去分母并整理，得
5x216x30.
解得 x1,x23.1
5
x22x当y=1时，即21.x1
去分母并整理，得
2x1
检验：
把x1,x23,x3
它们都是原方程的根.∴原方程根是：
x1,x23,x31x3.2151分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以21.215
由此可以看出，解分式方程“转化”为整式方程用去分母法是基础方法，解分式方程应首先考虑用基本方法求解，然后再根据分式方程特点，考虑换元法，便可达到转化的目的，找到思路.对于解题过程的每一个步骤都不能疏忽，才能正确求解.整式方程
第２章 方程与不等式
２．１ 整式方程
班级姓名１则m的值是（－１＝０, ）．
２一、选择题
（的解满足x－１．已知关于x的方程mx＋２＝２m－x）
A．１０或
D．－１０或－
配方后的方程可以是（２．用配方法解关于x的一元二次方程x２－２x－３＝０, ）．
２２））A．（x－１＝４B．（x＋１＝４
C．－１０或
２２））C．（x－１＝１６D．（x＋１＝１６
２
则m的值是（３二次根式、一元二次方程易错题整理
杭州育才中学八下第一章、第二章易错题整理姓名
1、当a>1
___________
2、把a
1
根号外的因式移入根号内的结果是____________________a
2
3、若k、b是一元二次方程x+px-│q│=0的两个实根，在一次函数y=kx+b中，y随x的增大而增大，则一次函数的图像一定经过_____________________
4、已知Rt△ABC的两条边长都是方程x2-6x+8=0的根，则Rt△ABC的第三边可能是 5、已知关于x的一元二次方程x+x+1=0没有实数根，则m的取值范围是．6、已知关于x
的方程（12k）x210有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
7、若a1，则2aa296aa2的结果是－２a－2
2a+2
4
－4
2
8、化简423的结果是1
1
2
23
（mm2）2
9、如果m＜０，那么化简的结果是
m
－２１10、把下列各式分母有理化：
（1）．
－１
２
37
（2）．
xyxy
（3）．
1aabb
（a≠b）
（3）．（12）（12）（4）．11、化简：
a1a
1aa
1aa1
x2y22xy
（1）．（x4）（x1）（1＜x＜4）
（2）．（x+y）（x＜y＜0）22
xy2xy
2
2
12、已知：
x=
112
，求代数式3－x24x4的值
11
13、已知a=，求a4a4的值。
aa2
1
22
14、已知：
a，b为实数，且b
a222a2
a2
。
求
2ba2ba的值。
2
15、计算：
51
454
1224
－3
122
a1a
1aa
1aa1
1
2
1
2
1
2
1
2
（356）1
2
112
12
12
......
13
当a=
16、已知x+x=5，求（8x）（5x）的值
17、已知x2－25x2=2，求x2+25x2的值
18、已知关于x的一元二次方程x2+2x+k2－1=0有两个不相等的实数根．求实数k的取值范围；
0可能是方程的一个根吗？
若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
2的值。
时，求12aa2+
2a21
19、在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a5，若关于x的方程
x2b2x6b0
有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
20、关于x的一元二次方程x
xp10有两实数根x1、x2．求p的取值范围；
若9，求p的值．
2
1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？
每件商品应定价多少？
2、一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？
3、一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？
若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？
如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？
4、如图所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.小岛D和小岛F相距多少海里？
已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那
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