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随机过程习题及答案

第二章随机过程分析

学习指导

1.1.1要点

随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。

1.随机过程的概念

随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。

可从两种不

同角度理解：

对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。

2.随机过程的分布函数和概率密度函数

如果E（t）是一个随机过程，则其在时刻t1取值E（t"是一个随机变量。

E（tj小于或

等于某一数值X1的概率为P[E（t1）wX1]，随机过程E（t）的一维分布函数为

F（X1,t1）=F[E（t1）wX1]（2-1）

如果F1（X1,t1）的偏导数存在，则E（t）的一维概率密度函数为

FC）佃切X,

（2-2）

对于任意时刻t1和t2,把E（t1）w

X1和E（t2）wX2同时成立的概率

F2（X1,X2；t1,t2）F（tj

X1,（t2）X2

（2-3）

称为随机过程（t）的二维分布函数。

如果

£2（朴2；泌）乍2（朴2；讥）

（2-4）

X1X2

存在，则称f2（X1,X2；t1,t2）为随机过程

（t）的二维概率密度函数。

对于任意时刻t1，t2，…，tn，把

Fn（XbX2,L，Xn；t1，t2,L，tn）

F（tjX1,（t2）X2,L,（tn）Xn

（2-5）

称为随机过程（t）的n维分布函数。

如果

fn（X1,X2丄，Xn；tnt2丄，切°卷丄'X“匕，J丄，⑺-①

NX2LXn

存在，则称fn（X1,X2,…,Xn；t1,t2,…,tn）为随机过程（t）的n维概率密度函数。

3.随机过程的数字特征

随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。

随机过程（t）在任意给定时刻t的取值（t）是一个随机变量，其均值为

其中，f1（X,t）为（t）的概率密度函数。

随机过程（t）的均值是时间的确定函数，记作

a（t），它表示随机过程（t）的n个样本函数曲线的摆动中心。

随机过程（t）的方差的定义如下：

（2-8）

（2-9）

D[（t）]E[（t）a（t）]2

（t）的方差的另一个常用的公式为

随机过程（t）的方差常记作（r2（t）。

随机过程

EE2t2atEta2t

E[E2（t）]2atEEta2（t）

E[E2（t）]a2（t）=X2fi（x,t）dxa2（t）

也就是说，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t,对于均值a（t）的偏

离程度。

随机过程（t）的相关函数的定义如下：

R（tit）E[（ti）（t2）]

x1x2f2（x1,x2;t1,t2）dx1dx2（2-10）

式中，（t1）和（t2）分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。

F（t1,t2）是两个变量

t1和t2的确定函数。

随机过程（t）的相关函数表示在任意两个时刻上获得的随机变量之间

的关联程度。

随机过程（t）的协方差函数的定义如下：

B（t1,t2）E[（tja（t1）][（t2）a（t2）]

[X1a（tj][x2a（t2）]£2（%公2；叩2川为血2（2-11）

式中，a（t”、a（t2）分别是在t1和t2时刻得到的（t）的均值；f2（X1,X2；t1,t2）是（t）

的二维概率密度函数。

B（t1,t2）与R（t1,t2）之间有如下关系式：

B（bt2）叫右出）a（tja（t2）（2-12）

若a（11）=a（12）=0,贝UB（t1,t2）=R（t1,t2）。

随机过程（t）和n（t）的互相关函数的定义如下：

RE（t1,t2）E[仙）（t2）]（2-13）

4.平稳过程及其性质

平稳过程包括严平稳过程（强平稳过程或狭义平稳过程）和广义平稳过程。

如果随机过程（t）的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实

数，有

fn（X1,X2,L,Xn；t1,t2丄,tn）

（2-14）

fn（X1,X2丄,Xn；t1,t2,L,tn）

则称该随机过程是严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。

严平稳随机过程的一维分布函数和均值都与时间无关，二维分布函数和自相关函数都只

与时间间隔有关。

把对严平稳随机过程的要求降低到仅仅均值与时间无关和自相关函数只与时间间隔有

关的随机过程定义为广义平稳随机过程。

严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成

立。

平稳随机过程具有各态历经性（遍历性）。

因此，在求解各种统计平均时，无需无限多次的样本，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替平稳随机过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算大为简化。

平稳过程（t）的功率谱密度与其自相关函数是一付立叶变换对。

据此，可以得到两条

结论：

平稳过程（t）的功率等于其自相关函数在零点的取值R0）;各态历经过程任一样本

函数的功率谱密度等于平稳过程的功率谱密度。

5.高斯过程

（t）的任意n维（n=1,2,...）分布均

n维正态概率密度函数表示式为

高斯过程又被称为正态随机过程。

如果随机过程服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程，其

fn（x1>x2>...>xn；ti,t2>...>tn）

bn102

如果高斯过程在不同时刻不相关，则它们也是统计独立的。

高斯过程经过线性系统后，其系统输出也是高斯过程。

6.窄带随机过程

如果随机过程（t）的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围f内，即满足

f<

随机过程（t）可以表示为

（t）aE（t）cos[cte],a』t）0（2-16）

其中，a（t）为随机包络；（t）为随机相位；c为中心角频率。

显然，a（t）和（t）的

变化相对于载波产生的相移（ct）的变化要缓慢得多。

将窄带随机过程表示式展开为

（t）c（t）cos（ct）s（t）sin（ct）（2-17）

其中,Ec（t）=aE（t）cos[「（t）]；Es（t）=aE（t）sin[「（t）]。

c（t）和s（t）分别被称为同相分量和正交分量。

窄带随机过程（t）的统计特性可以由a（t）和（t）或c（t）和s（t）的统计特性确

定。

若（t）的统计特性已知，则a（t）和（t）或c（t）和s（t）的统计特性也随之确定。

由于（t）平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有旦（t）]=0，所以

若窄带过程（t）是平稳的，则c（t）和s（t）也是平稳的。

平稳窄带随机过程（t）的自相关函数可以表示为

R^（）Rc（）cos（c）Rcs（）sin（c）尺（）cos（c）RU）sin（c）（2-19）

一个均值为零的窄带平稳高斯过程（t），它的同相分量c（t）和正交分量s（t）同样是

平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。

此外，在同一时刻上得到的c（t）与s（t）是

统计独立的。

a服从瑞利（Rayleigh）分布，服从均匀分布。

7.高斯白噪声和带限白噪声

电子系统中常见的热噪声近似为白噪声，白噪声的幅值服从高斯分布。

因此，在通信系

统中，常用高斯白噪声作为信道中的噪声模型。

白噪声通过一个有限带宽的信道或滤波器后，

输出噪声的带宽就是有限的，如果其频谱在信道或滤波器的通带内仍具有白色特性，则称其

为带限白噪声。

白噪声n（t）的功率谱密度在所有频率上均为常数，即

n0

巳（f）£f（,）（2-20）

2

或者

Pn（f）n。

f（0,）（2-21）

其中，no为正常数。

式（2-20）是白噪声n（t）的双边功率谱密度，式（2-21）是其单边功率谱密度。

白噪声n（t）的自相关函数为

R（）严（）（2-22）

2

上式表明，白噪声仅在T=0时才相关，而在任何两个不同时刻的随机变量都是不相关的。

如果白噪声幅值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。

高斯白噪声在任意两

个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。

带限白噪声一般包括低通白噪声和带通白噪声。

如果白噪声通过理想低通滤波器或理想

低通信道时，则其输出的噪声被称为低通白噪声；如果白噪声通过理想带通滤波器或理想带通信道时，则其输出的噪声被称为带通白噪声。

1.1.2难点

随机过程分析的难点主要包括平稳随机过程通过线性系统后的分布函数、概率密度函数

和数字特征。

设平稳随机过程i（t）的均值、自相关函数和功率谱密度分别为a、R（t）和R（f），系

统单位冲激响应和传输函数分别为h（t）和Hf）。

.h（）E

i（t）d

输出随机过程Eo（t）的均值为

Eo（t）E_h（）

i（t）d

_aih（）d

a—h（）d

aiH（0）

（2-23）

式中，H0）是线性系统H（f）在f=0

处的频率响应。

由此可见，

输出过程的均值是一

个常

数。

输出随机过程Eo（t）的自相关函数为

尺馆冷）E[。

彷）。

彷）]

Eh（）i（t1）d

h（）i（t1

）d

h（）h（）E[i（t1

）i（t1

）]dd

h（）h（）R（

）dd

Ro（）（2-24）

上式表明，随机过程E°（t）的自相关函数仅是时间间隔的函数。

综合上面两点，若线

性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。

输出随机过程Eo（t）的功率谱密度为

PO（f）Ro（）ejd

h（）h（）R（）ddejwcl

I

h（）ejdh（）ejdR（）ejcl'

*i12

=H（f）H（f）P（f）|H（f）R（f）（2-25）

由上是式可见，输出随机过程Eo（t）的功率谱密度等于输入随机过程i（t）的功率谱密

度乘以系统传输函数模值的平方。

随机过程Eo（t）可以表示为

习题详解

2-1设随机过程{X（t）=Acos（3t）+Bcos（3t）,-g

试判断X（t）是否为平

稳过程。

解EX（t）EAcos（t）EBsin（t）0,

R（t,t）EX（t）X（t）

cos（

因此，X（t）的均值与时间无关，自相关函数只与时间间隔有关，它是平稳过程。

2-2离散白噪声｛X（n）,n=0,±1,±2,…｝，其中，是X（n）是两两不相关的随

机变量，且E[X（n）]=0,D[X（n）]=/。

试求X（n）的功率谱密度。

解X（n）的自相关函数为

X（n）的功率谱密度为

R（m）

EX（n）X（n

m）

S（）

R（m）ejm

2-3已知零均值平稳随机过程

X（t）,-

OO

OO}

的功率谱密度为

S（）

试求其自相关函数、方差和平均功率。

解由于F

2

2~

e",因此,

自相关函数为

方差为

平均功率为

2-4电路图如图题

零，自相关函数为FX（

的均值m,自相关函数

R（

F1S（）

3f

8

3

e

16

DX（t）]=F（0）

5

e

48

5f

8

W[X（t）]=

R（0）=7/24。

F（0）

2-4所示。

如果输入平稳过程

1

2e11

0,

FY（

24

{X（t）,-o<

。

试求输出过程

RC

T）、功率谱密度Sy（3）。

C

丫⑴

解由电路分析的知识可得

图题2-4

两边取付立叶变换，得到

此系统的传输函数为

此系统的脉冲响应函数为

输出过程的均值为

输出过程的功率谱密度为

输出过程的自相关函数为

Ry（）F1Sy（

RCdY^

dt

dY（t）

h（t）

dt

Y（

Y（t）

Y（t）

H（

F1H（

Y（

mYmX

H（）2Sx（

X（t）,

X（t）

）X（

h（t）dt

II

e11

2-5高斯随机变量

解高斯随机变量通过线性变换后仍然是高斯随机变量,随机变量Y的均值为

X的均值为

0，方差为

1

RC

1，试求随机变量

Y=6X+5的概率密度f（y）。

Y也是高斯随机变量。

E[Y]E[6X5]6E[X]55

随机变量Y的方差为

22

D[Y]E[Y]E[Y]

36E[X2]36

E[36X260X25]

D[X]E2[X]36（1

25

0）36

随机变量Y的概率密度为

f（y）:

■厂空exp

（y5）2

236

（y5）2

72

2-6随机过程X（t）=5sin（nt+0），其中，

P（0=n）=，试求随机变量X

（2）的均值，随机过程

概率P（0=0）=,

是随机变量，

X（t）的自相关函数RX（0,1）。

解随机变量X

（2）的均值为

EX[X

（2）]E5sin2n50.2sin2n00.8sin2n0.5n4

随机过程X（t）的自相关函数R（0,1）为

Rx（0,1）EX（0）X

（1）E5sin5sinn

25Esin2250.2sin200.8sin2（0.5n）20

2-7随机过程X（t）=Xsin（cot）-茨cos（cot），其中，Xi和％都是均值为0,方差为（T2的彼此独立的高斯随机变量，试求：

随机过程X（t）的均值、方差、一维概率密度函数

和自相关函数。

解随机过程X（t）的均值为

E[X（t）]E[XiSin（O）X2cos（0）]sin（O）E[Xi]cos（O）E[X2]0

随机过程X（t）的方差为

D[X（t）]E[X2（t）]E2[X（t）]

EX12sin2（ot）X22cos2（Ot）2X1X2sin（t）cos（t）sin2（ot）E[X12]cos2（ot）E[X22]sin（2t）E[X1X2]

2sin2（衣）2cos2（ot）sin（2t）E[X1]E[X2]

随机过程X（t）的自相关函数为

理山）E[X（t1）X（t2）]

EX1sin（cot1）X2cos（&）X1sin（切）X2cos（切

22

EX1sin（cot|）sin（切）X2cos（t1）cos（直）X1X2sin（tpot2）

2

sin（otjsin（t@）cos（扪cos（扯）EX1EX2sin（曲血）

22

coscot1cot?

cosco

其中，T=

=12-11。

随机过程X（t）的一维概率密度函数为

2

exp

f（x）

2-8平稳随机过程X（t）和Y（t）的均值分别为ax和aY,自相关函数分别为R（t）和

R（T），且它们彼此独立。

随机过程Z1（t）=X（t）+Y（t）和乙（t）=X（t）Y（t）的。

解随机过程乙（t）的自相关函数为

Rx（）Ry（）2axaY

随机过程Z2（t）的自相关函数为

Rz2（ti,t2）E[Z2（tJZ2（t2）]EX（ti）Y（ti）X（t2）Y（t2）

EX（ti）X（t2）EY（ti）Y（t2）Rx（）Ry（）

2-9已知随机过程X（t）=a（t）cos（30t+e），其中，随机变量e在（0,2n）上服从均匀分布，是a（t）广义平稳过程，且其自相关函数为

1-10

Ra（）10<1

0Others

a（t）与e统计独立。

试求随机过程X（t）的自相关函数、功率谱密度和平均功率，并判断其是否为广义平稳过程。

解随机过程X（t）的均值为

EX（t）Ea（t）cos（gt）Ea（t）Ecos（3）

X（t）的自相关函数只与时间间隔有关，均值函数与时间无关，是

广义平稳过程。

随机过程X（t）的功率谱密度为

1

11

1

P<（）F

RX（t1,t2）

n

（-0）+（

0）FRa（）

22n

1

（-0）+

（0）

Sa2-

4

2

1

Sa2

2Sa2-

0

4

2

2

随机过程X（t）的平均功率为

SRx（0）=2Ra（0）cos（0）2

2-10随机过程X（t）的均值为0，自相关函数为R（t），它通过一个如图题2-10所示的

系统后的输出为随机过程Y（t）。

试求随机过程Y（t）的自相关函数和功率谱密度。

解由题意可得

Y（t）X（t）X（tT）

因此，系统的传输函数为

H（）1exp（jT）

随机过程Y（t）的功率谱密度为

22

PY（）|H（）|Px（）|1exp（jT）|Px（）

2

1COS（T）jsin（T）FRx（）

21cos（T）Rx（）ejd

21cos（T）RX（）ejd

2Rx（）

1ejTe-jT

2F1Px（）

2

2Rx（）

F1PX（）ejTF1Px（）e-jT

2Rx（）

Rx（tT）Rx（tT）

随机过程Y（t）的自相关函数为

RY（）F1PY（）

2F1Px（）PX（）cos（T）

2-11理想带通滤波器的中心频率为fc，带宽为B,幅度为1,如图题2-11所示。

输入

此滤波器的高斯白噪声的均值为0,单边功率谱密度为n。

。

试求滤波器输出噪声的自相关函

数、平均功率和一维概率密度函数。

|H（f）|

1

Others

「「

丨I

0fc

图题2-11

解输出噪声的双边功率谱密度为

匹

Po（f）I2LiH（f）22

0

输出噪声的自相关函数为

Ro（）FO（f）ej2fdfn0BSa（tB）cos（2nfc）

输出噪声的平均功率为

S）Ro（0）noB

输出噪声仍然是高斯过程，其均值和方差分别为

输出噪声的一维概率密度函数为

图题2-12

解这是一个线性系统，所以，随机过程Y（t）也是一个平稳过程。

系统传输函数为

H（）1ejTjj1ejT

随机过程Y（t）的功率谱密度为

）X2（t2）dd0

PY（f）Px（f）H（f）2221cosTPx（）

EY（t）

EX1（t）H（0）0

EY2（t）

EX2（t）H（0）0

E

X1（tJX2（t2）

EXOEX2&）0

因此，

EW（t1）Y2（t2）

E0h（）X1（t1）d0h（）X2（t2）d

2-13平稳随机过程X1（t）和X^（t）的均值都为0，且互不相关，他们分别通过一个线性时不变系统后的输出分别为Y1（t）和Y«t）。

试判断Y（t）与Y2（t）是否互不相关。

解由于

0

0

h（）h（）EX©

所以，Y1（t）与Y2（t）是互不相关的。