中考数学复习专题圆.docx
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中考数学复习专题圆
2019-2020年中考数学复习专题：
圆
圆是初中数学的重点和考点.一般A卷中基本题目难度较低，要求我们掌握好圆的有关概念，弧、圆心角、圆周角、弦（弦心距）的关系，切线的性质及判定方法，会判断直线与圆的位置关系，会计算弧长及扇形面积．在B卷中主要是圆的综合题，多与三角形、四边形、相似、函数等知识相结合．由于这类题目综合性强，我们需要根据图形特点，通过观察、分析、归纳、推理等方法寻求解题思路．常用添加辅助线方法有：
连半径、作弦心距、连公共弦、连心线、连结切点和圆心、过圆心作已知直线的垂线等．
典型例题：
一、圆的有关概念
例1.（改编xx•珠海，第5题3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=30°，则∠AOD等于（ ）
A．
160°
B．
150°
C．
140°
D．
120°
考点：
圆周角定理；垂径定理．
解答：
解：
∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°．
故选：
D．
变式训练：
1.（xx•毕节地区，第6题3分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）
A．
6
B．
5
C．
4
D．
3
2．（xx·台湾，第10题3分）如图，有一圆通过△ABC的三个顶点，且弧BC的中垂线与弧AC相交于D点．若∠B＝74°，∠C＝46°，则弧AD的度数为何？
（ ）
A．23B．28C．30D．37
3.若Rt△的一条直角边等于它的外接圆半径的倍，则此三角形面积与其外接圆面积比为（）
A、π:
B、2:
πC、:
πD、1:
π
4.（xx•毕节地区，第15题3分）如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（）
A．
1
B．
C．
3
D．
4.（xx•年山东东营,第16题4分）在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是 cm．
二、切线的性质与判定
例2.（xx•广西玉林市、防城港市，第16题3分）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E= ．
考点：
切线的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．
解答：
解：
连结OM，OM的反向延长线交EF与C，如图，
∵直线MN与⊙O相切于点M，
∴OM⊥MF，
∵EF∥MN，
∴MC⊥EF，
∴CE=CF，
∴ME=MF，
而ME=EF，
∴ME=EF=MF，
∴△MEF为等边三角形，
∴∠E=60°，
∴cos∠E=cos60°=．
故答案为．
变式训练：
1．（xx•四川自贡，第14题4分）一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为 cm．
2.（xx•邵阳，第8题3分）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（）
A．
30°
B．
45°
C．
60°
D．
40°
3．（xx•温州，第16题5分）如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：
EF=：
2．当边AB或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是 ．
例3：
（xx•年山东东营,第21题8分）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=BFD．
（1）求证：
FD是⊙O的一条切线；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
考点：
切线的判定；垂径定理．菁优网
解答：
（1）证明：
∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD，
∴FD∥AC，
∵∠AEO=90°，
∴∠FDO=90°，
∴FD是⊙O的一条切线；
（2）解：
∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，
∴AE=EC=4，AO=5，
∴EO=3，
∵AE∥FD，
∴△AEO∽△FDO，
∴=，
∴=，
解得：
FD=．
点评：
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△AEO∽△FDO是解题关键．
变式训练：
1．（xx•四川宜宾，第23题，10分）如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：
直线EF是⊙O的切线；
（2）若CF=5，cos∠A=，求BE的长．
2．（xx•四川遂宁，第24题，10分）已知：
如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结PD．
（1）求证：
PD是⊙O的切线．
（2）求证：
PD2=PB•PA．
（3）若PD=4，tan∠CDB=，求直径AB的长．
3．如图，点E为正方形ABCD中BC上一动点，正方形边长为1，以AE为直径作圆，圆心为O．
（1）设，⊙O的面积为y，求y与x的函数关系，并写出x的取值范围；
（2）x为何值时，⊙O与CD相切？
（3）以CD为直径的圆是否与
（2）条件下的AE相切？
请说明理由．
3、扇形弧长与面积的计算
例4.（xx•滨州，第21题8分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：
CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
考点：
扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值．
解答：
（1）证明：
连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=90°．
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：
∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S扇形BOC=．
在Rt△OCD中，∵，
∴．
∴
．
∴图中阴影部分的面积为．
变式训练：
1.（xx•广西贺州，第11题3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（xx年湖北咸宁13．（3分））如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．若DE=1，则扇形OAB的面积为 ．
3.如图，已知直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过M引MP∥AO交于P，求与半圆弧及MP围成的阴影部分面积.
4、直线与圆的位置关系
例5．（xx年山东泰安，第18题3分）如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；
（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
分析：
（1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；
（2）利用
（1）所求得出：
∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO=PO=AB；
（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即可．
解：
（1）连接CO，DO，
∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，
在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，
∴PD与⊙O相切，故此选项正确；
（2）由
（1）得：
∠CPB=∠BPD，
在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故此选项正确；
（3）连接AC，
∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，
在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，
∴CO=PO=AB，∴PO=AB，故此选项正确；
（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，
∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故此选项正确；故选：
A．
变式训练：
1.如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O的切线AD，BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E．已知BC=10，AD=4，那么直线CE与以点O为圆心，2.5为半径的圆的位置关系是．
2.（xx•益阳，第8题，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．
1
B．
1或5
C．
3
D．
5
3．如图，点P是x轴上一点，以P为圆心的圆分别与x轴、y轴交于A、B、C、D四点，已知A（-3,0）、B（1,0），过点C作⊙P的切线交x轴于点E.
（1）求直线CE的解析式；
（2）若点F是线段CE上一动点，点F的横坐标为m，问m在什么范围时，直线FB与⊙P相交？
（3）若直线FB与⊙P的另一个交点为N，当点N是的中点时，求点F的坐标；（4）在（3）的条件下，CN交x轴于点M，求CM·CN的值．
5、圆的综合
例6．（xx•株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求¡÷ABC的面积（图1）；
（2）设¡ÏAOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；
（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO¡ÍPM于点N，求CM的长度（图3）．
（第1题图）
考点：
圆的综合题；等边三角形的性质；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．
解答：
解：
（1）连接OA，过点B作BH¡ÍAC，垂足为H，如图1所示．
¡ßAB与¡ÑO相切于点A，
¡àOA¡ÍAB．
¡à¡ÏOAB=90°．
¡ßOQ=QB=1，
¡àOA=1．
¡àAB=
=
=．
¡ß¡÷ABC是等边三角形，
¡àAC=AB=，¡ÏCAB=60°．
¡ßsin¡ÏHAB=，
¡àHB=AB•sin¡ÏHAB
=×
=．
¡àS¡÷ABC=AC•BH
=××
=．
¡à¡÷ABC的面积为．
（2）¢Ù当点A与点Q重合时，
线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；
¢Ú当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，
线段A1B与圆O只有一个公共点，
此时OA1¡ÍBA1，OA1=1，OB=2，
¡àcos¡ÏA1OB==．
¡à¡ÏA1OB=60°．
¡à当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，
α的范围为：
0°=α=60°．
（3）连接MQ，如图3所示．
¡ßPQ是¡ÑO的直径，
¡à¡ÏPMQ=90°．
¡ßOA¡ÍPM，
¡à¡ÏPDO=90°．
¡à¡ÏPDO=¡ÏPMQ．
¡à¡÷PDO¡×¡÷PMQ．
¡à==
¡ßPO=OQ=PQ．
¡àPD=PM，OD=MQ．
同理：
MQ=AO，BM=AB．
¡ßAO=1，
¡àMQ=．
¡àOD=．
¡ß¡ÏPDO=90°，PO=1，OD=，
¡àPD=．
¡àPM=．
¡àDM=．
¡ß¡ÏADM=90°，AD=A0﹣OD=，
¡àAM=
=
=．
¡ß¡÷ABC是等边三角形，
¡àAC=AB=BC，¡ÏCAB=60°．
¡ßBM=AB，
¡àAM=BM．
¡àCM¡ÍAB．
¡ßAM=，
¡àBM=，AB=．
¡àAC=．
¡àCM=
=
=．
¡àCM的长度为．
点评：
本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强．
变式训练：
1．（xx•舟山，第16题4分）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：
①CE=CF；②线段EF的最小值为2；③当AD=2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在上，则AD=2；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是16．其中正确结论的序号是 ①③⑤ ．
2.（xx•莱芜，第23题10分）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=（r是⊙O的半径）．
（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：
直线DC与⊙O相切；
（2）求EF•EC的值；
（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．
3．如图，已知¡÷ABC内接于⊙O，BT与⊙O相切于点B，点P在直线AB上，过点P作BC的平行线BT于点E，交直线AC于点F；
（1）如图，当点P在线段AB上时，求证：
;
（2）当点P在BA延长线上时，
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若AB，，求⊙O的半径
4．如图，AB是半圆O的直径，C是弧AB的中点，D是弧BC上一动点（不与点B、C重合），OE⊥AD于点E，OF⊥CD于点F，连接OC、OD、EF，已知AB=4；
（1）求证：
①；②；
（2）若，求面积；
（3）在点D移动过程中，是否存在以O、D、E为顶点的三角形与全等的情况？
若存在，求出的面积；若不存在请说明理由
5.（xx年云南省，第23题9分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？
若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？
若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．
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