二阶微分方程解法.docx
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二阶微分方程解法
教学目的：
使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
教学重点：
二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程：
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程方程
ypyqyo
称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、Q均为常数
如果□、上是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yG/必乃就是它的通解
我们看看能否适当选取厂使y/满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将
y『代入方程
ypyqyo
得
（r'prq）e'0
由此可见只要厂满足代数方程Xprq0函数y『就是微分方程的解
特征方程方程Xprq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程
的两个根巧、匕可用公式
-p+±y]p2-4q
计2
求出
特征方程的根与通解的关系
（1）特征方程有两个不相等的实根刀、门时函数”=刃"、y2=^r是方程的两个线性无
关的解
这是因为
函数”之M.儿=£加是方程的解又垒=咯=£心少不是常数
因此方程的通解为
y=C^x+C2er^
（2）特征方程有两个相等的实根nn时函数、y2=xer^x是二阶常系数齐次线性徹分方程的两个线性无关的解
这是因为廿=£和是方程的解又
（xef]x）f,+p{xer{X）f+q（xer{X）=（2zj+“20・丫+“（1+口）€2+处小工
=er}X（2i\+p）+xe,]X（rf+/巧+q）=0
所以＞S=恥2也是方程的解且里=略=兀不是常数
"）1尹
因此方程的通解为
y=C{er}X+C2xerxX
（3）特征方程有一对共範复根刀.2i时函数yeJ，ye（八”是微分方程的两个线性无关的复数形式的解函数ye'cosx、ye“sinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解
函数丿
（
口e
（
yie
故e'cos
可以验证
因此方程的通解为
ye"（GeosxQsinx）
求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为
第一步写出微分方程的特征方程
fprq0
第二步求出特征方程的两个根门、匕
第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解
例1求微分方程y2y3y0的通解
解所给微分方程的特征方程为
f2r30即（厂1）（r3）0
其根门1r23是两个不相等的实根因此所求通解为
yC\eCie1
例2求方程y2yy0满足初始条件yxo4、y|…2的特解
和yi
"5都是方程的解
而由欧拉公式得
21e4sinx
yzesin
Jsinx）
isinx）
严cos0v=*（y]+y2）
严sin/k=*（yi_）'2）
才也是方程解
eJsinx是方程的线性无关解
解所给方程的特征方程为
r2r10即（厂I）20
其根门221是两个相等的实根因此所给緻分方程的通解为
y（CCix）e■'
将条件o4代入通解得C4从而
y（4Cix）e"
将上式对x求导得
y（624Qr）e1
再把条件yL«2代入上式得G2于是所求特解为
x（42x）e1
例3求微分方程y2y5y0的通解
解所给方程的特征方程为
r2r50
因此所求通解为
ye*（6]cos2xGsin2x）
S）SI）52）
yp^yp丄y
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到P阶常系数齐次线性微分方程上去
引入微分算子D及微分算子的/?
次多项式
Z（D）=D/J1小
>2
Pe：
lDPt：
则/?
阶常系数齐次线性微分方程可记作
（D"八p>D"$
Pn
iD
p》y0或Z（D）y0
注D叫做微分算子D"yy
Dyy
Dy
y
Dy
yDyy*
分析令yex则
Z（D）yZ（D）el{r
nI
刀2
PM
pwpJe'Z（r）el
因此如果厂是多项式£（/）的根
则y
『是微
分方程£（D）y
0的解
刀阶常系数齐次线性微分方程的特征方程
£（"rp\r1p：
rp“\rpf：
0
称为微分方程Z（D）y0的特征方程
特征方程的根与通解中项的对应
单实根r对应于一项Ce"
它的根是门n0和n\12i
因此所给微分方程的通解为
二.二阶常系数非齐次线性微分方程简介
二阶常系数非齐次线性微分方程方程
ypyqyf3
称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中刀、g是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程
的通解y卩（方与非齐次方程本身的一个特解y严（”之和
yY{x）户3
当为两种特殊形式时方程的待解的求法
一、f（x）Po（x）ex型
当f（x）P心「时可以猜想方程的特解也应具有这种形式因此设特解形式
为户Mex将其代入方程
得等式
Q（x）（2p）Q
3（2
P
q）Q{x）
及3
（1）如果不是特征方程?
prq
的根
则2
Pq0要使上式成立QCr）
应设为m次多项式
ft（x）thxb\x*
b八x
通过比较等式两边同次项系数
可确定仇
bx并得所求特解
丿林a3e*
Pg0但2p0要使
（2）如果是特征方程2-2prq0的单根则2
等式
成立0Cr）应设为刃1次多项式
03xQAx）
严xQ3e'
（3）
02p0要使等
如果是特征方程*prq0的二重根则
Q3（2p）Q（%）（pq）Q（.x）
成立"（/）应设为刃2次多项式
pyqyf（x）有形如
根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2
0）
与所给方程对应的齐次方程为
2y3y0
它的特征方程为
把它代入所给方程得
3Z»x2Zxi3bi3-y1
比较两端/同次黑的系数得
解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且fd）是化d）e」型（其中PAx）x
2）
与所给方程对应的齐次方程为
y5y6y0
它的特征方程为
r5r60
特征方程有两个实根门2啓3于是所给方程对应的齐次方程的通解为
YCe"Cie1
由于2是特征方程的单根所以应设方程的特解为
严xlkxbje1
把它代入所给方程得
2&x2厶bix
比较两端X同次無的系数得
叮严C2A>12A）bt0
1劝（）一勺=0
由此求得^0=-|区1于是求得所给方程的一个特解为
y*=X（-LX-［）e-X
从而所给方程的通解为
尸C］宀C20（X2+2x>lv
厶
提示
严x{thx方J『（Zaj%2b\X）d‘
[（h）x~
b\x）eT
［（2b、x
bi）（boxb\x）
2]『
[（A>?
bix）ev]
[2A,
2（2心A）2
（AjZbix）22]e2A
5j/*6j*[（厶+Z?
iX）e2r]
5[（A）Zbix）ex}6[（Za）x2b\x）e']
[2b>2（2Z»xb\）2（boxb\x）2']e15[（2Zxi%bi）（b）xb\x）2]e16（A）%2?
ix）2x
[2Za）4（2ZmtA）5（26>x^）]e2x[2Z2bb^ex
ea[P/（x）cosx£Osinx]
S亠Texr^x_-id>x
严比（X）—y—+化（x）—奇—1
=抽（劝-迟⑴［恥）+迟（力严咖
=P（x0+®+郴
其中p（x）=i（/>-^）P（x）=^Pl+Pni）而mmax{7/?
}
乙厶
设方程ypyqyP{x）e'的特解为xQXx）e''
则y^=xkQm（x）e^-^必是方程y"+py%y=戸（比（皿）的特解
其中斤按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1
于是方程ypyqye'［P；（x）cosxE（x）sinx］的特解为
=x*£,/LV[（>„I（Jt）（cos6iv+zsincox）+Q,n（a）（coscox-isincox）
xe'［#"°（x）cosx片°0（x）sinx\
综上所述我们有如下结论
如果/'（x）e“［P/（x）cosxE（x）sinx\则二阶常系数非齐次线性徹分方程
ypyqyf（x）
的特解可设为
/*xeO（x）cosx?
?
'o（x）sinx\
其中F\（x）、严\（x）是刃次多项式mmax{7n}而点按i（或i）不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1
例3求微分方程yyxcos2x的一个特解
解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程
且/'（x）属于e*［力（x）cosx尢（x）sinx］型（其中02Pi{x）xP,,（x）0）
与所给方程对应的齐次方程为
yy0
它的特征方程为
r10
由于这里；21不是特征方程的根所以应设特解为
j7*{ax方）cos2x（exd）sin2%
把它代入所给方程得
（3乩r3b4c）cos2%（3ex3d4日）sin2xxcos2%
比较两端同类项的系数得"=一£b0c0
39
于是求得一个特解为v*=--xcos2x+—sin2x
39
提示
（axZ?
）cos2xlexd）sin2x
严acos2%2（axZ?
）sin2xcsin2x2{exd）cQs2x
（2exa2d）cos2x（lax2bc）sin2x
c）cos2%
严2ccos2才2（2exa2d）sin2x2asin2x2（2ax2b
（AaxAb4c）cos2x（4cx4a46/）sin2x
j7*严（3ax3b4c）cos2x（3ex4a3d）sin2%
-3a=1
_3b+4c=0
-3c=0
i4
得y亏小c0J=9
—4z/-3J=0
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