新课标全国卷高考文科数学试题及答案.docx

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新课标全国卷高考文科数学试题及答案

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1、已知集合，，那么集合是（）

A．B．

C．D．

2、如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：

，，，，，，则图中的值等于（）

A．B．

C．D．

3、已知圆的极坐标方程是，那么该圆的直角坐标方程是（）

A．B．

C．D．

4、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（）

A．1

B．2

C．3

D．4

5、阅读程序框图，运行相应的程序，当输入的值为时，输出的值为（）

A．

B．

C．

D．

6、已知，那么的值为（）

A．B．C．D．

7、过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则的中点到轴的距离等于（）

A．B．C．D．

8、已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（其中是的导函数），若，，，则，，的大小关系是（）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9、已知向量，，若，则________．

10、若复数是纯虚数，则实数的值为________．

11、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________，的值为________．

12、如图，为⊙的直径，切⊙于点，且过点的割线交的延长线于点，若，，则________，________．

13、5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有________种．

14、在数列中，若对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题：

①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；

②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；

③若数列满足，，（），则该数列不是比等差数列；

④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列．

其中所有真命题的序号是________．

三、解答题：

本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15、（本小题共13分）

已知函数．

⑴求的最小正周期；

⑵当时，求的取值范围．

16、（本小题共13分）

某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表：

（单位：

人）

优秀良好合格

男

女

按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取人，其中成绩为优的有人．

⑴求的值；

⑵若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为的样本，从中任选人，记为抽取女生的人数，求的分布列及数学期望．

17、（本小题共14分）

如图，是等边三角形，，，将沿折叠到的位置，使得．

⑴求证：

；

⑵若，分别是，的中点，求二面角的余弦值．

18、（本小题共14分）

已知函数（）．

⑴求的单调区间；

⑵如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；

⑶讨论关于的方程的实根情况．

19、（本小题共13分）

已知椭圆：

（）的离心率，原点到过点，的直线的距离是．

⑴求椭圆的方程；

⑵若椭圆上一动点关于直线的对称点为，求的取值范围．

⑶如果直线（）交椭圆于不同的两点，，且，都在以为圆心的圆上，求的值．

20、（本小题共13分）

已知数列，，，，（）．

⑴求，；

⑵是否存在正整数，使得对任意的，有；

⑶设，问是否为有理数，说明理由．

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习

（二）

数学参考答案（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B

（2）C（3）A（4）D

（5）D（6）B（7）D（8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）（10）（11）

（12）（13）（14）①③

注：

两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：

（Ⅰ）因为

．

所以的最小正周期．

（Ⅱ）因为，

所以．

所以的取值范围是．………………………………13分

（16）（共13分）

解：

（Ⅰ）设该年级共人，由题意得，所以．

则．

（Ⅱ）依题意，所有取值为．

，

，

．

的分布列为：

．………………………………………13分

（17）（共14分）

（Ⅰ）证明：

因为

所以，

又因为，且，

所以平面，

因为平面，

所以．

（Ⅱ）因为△是等边三角形，

，，

不防设，则，

又因为，分别为，的中点，

由此以为原点，，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系．

则有，，，，，．

所以，．

设平面的法向量为．

则

即

令，则．

所以．

又平面的一个法向量为．

所以．

所以二面角的余弦值为．………………………………14分

（18）（共14分）

解:

（Ⅰ），定义域为，

则．

因为，由得，由得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

（Ⅱ）由题意，以为切点的切线的斜率满足

，

所以对恒成立．

又当时，，

所以的最小值为．

（Ⅲ）由题意，方程化简得

+

令，则．

当时，，

当时，，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．

所以在处取得极大值即最大值，最大值为．

所以当，即时，的图象与轴恰有两个交点，

方程有两个实根，

当时，的图象与轴恰有一个交点，

方程有一个实根，

当时，的图象与轴无交点，

方程无实根．……14分

（19）（共13分）

解:

（Ⅰ）因为，，

所以．

因为原点到直线：

的距离，

解得，．

故所求椭圆的方程为．

（Ⅱ）因为点关于直线的对称点为，

所以

解得，．

所以．

因为点在椭圆:

上，

所以．

因为，所以．

所以的取值范围为．

（Ⅲ）由题意

消去，整理得

．

可知．

设，，的中点是，

则，．

所以．

所以．

即．

又因为，

所以．所以．………………………………13分

（20）（共13分）

解：

（Ⅰ）；

　　　　．

（Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的，有．

　　　　则存在无数个正整数，使得对任意的，有．

　　　　设为其中最小的正整数．

　　　　若为奇数，设（），

　　　　则．

　　　　与已知矛盾．

　　　　若为偶数，设（），

　　　　则，

　　　　而

　　　　从而．

　　　　而，与为其中最小的正整数矛盾．

　　　　综上，不存在正整数，使得对任意的，有．

（Ⅲ）若为有理数，即为无限循环小数，

则存在正整数，，对任意的，且，有．

与（Ⅱ）同理，设为其中最小的正整数．

　　　若为奇数，设（），

当时，有．

　　　与已知矛盾．

　　　若为偶数，设（），

　　　当时，有，

　　　而

　　　从而．

　　　而，与为其中最小的正整数矛盾．

　　　故不是有理数．……………………………………………………13分