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中职数学基础知识汇总
预备知识：
1.完全平方和（差）公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a-b）2=a2-2ab+b2
2.平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）
3.立方和（差）公式：
a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）
第一章集合
1.构成集合的元素必须满足三要素：
确定性、互异性、无序性。
2.集合的三种表示方法：
列举法、描述法、图像法（文氏图）。
3.常用数集：
N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N+（正整数集）
4.元素与集合、集合与集合之间的关系：
”
（1）元素与集合是“ ∈ ”与“∉ 的关系。
/
（2）集合与集合是“ Í ” “ ”“ = ”“ Í ”的关系。
注：
（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。
（做题时多考虑Ф是否满足题意）
（2）一个集合含有 n 个元素，则它的子集有 2n 个，真子集有 2n-1 个，非空真子集有 2n-2 个。
5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）
（1） A
（2） A
B = {x |x 挝A 且x
B = {x |x 挝A 或x
B } ：
A 与 B 的公共元素组成的集合
B } ：
A 与 B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。
（3） C A ：
U 中元素去掉 A 中元素剩下的元素组成的集合。
U
注：
C （AB ） = C AC BC （AB ） = C AC B
UUUUUU
6.会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。
7.充分必要条件:
p 是 q 的……条件p 是条件， q 是结论
如果 p ⇒ q，那么 p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件.
如果 p ⇔ q，那么 p 是 q 的充要条件
第二章不等式
1.不等式的基本性质：
（略）
注：
（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。
（2）不等式两边同时乘以负数要变号！
！
（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。
2.重要的不等式：
（1） a 2 + b 2 ≥ 2ab ，当且仅当 a = b 时，等号成立。
（2） a + b ≥ 2 ab （a, b ∈ R +） ，当且仅当 a
= b 时，等号成立。
（3）
注：
a + b
2
（算术平均数） ≥ ab （几何平均数）
3.一元一次不等式的解法（略）
4.一元二次不等式的解法
（1）保证二次项系数为正
（2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：
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⎩| x |> a ⇔ x > a或x < -a
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（3）定解：
（口诀）大于取两边，小于取中间。
5.绝对值不等式的解法
⎧ | x |< a ⇔ -a < x < a
若 a > 0 ，则 ⎨
分式不等式的解法：
与二次不等式的解法相同。
注：
分母不能为 0.
第三章函数
1.函数
（1）定义：
设 A、B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则 f ,对 A 内任一个元素 x,在 B 中总有一个且只
有一个值 y 与它对应,则称 f 是集合 A 到 B 的函数,可记为:
f :
A→B,或 f :
x→y.其中 A 叫做函数 f 的定义域.函
数 f 在 x = a 的函数值,记作 f （a） ,函数值的全体构成的集合 C（CB）,叫做函数的值域.
（2）函数的表示方法：
列表法、图像法、解析法 。
注：
在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。
2.函数的三要素：
定义域、值域、对应法则
（1）定义域的求法：
使函数（的解析式）有意义的 x 的取值范围
主要依据：
①分母不能为 0，②偶次根式的被开方式 ≥ 0，
③特殊函数定义域：
y = x 0 , x ≠ 0y = a x , （a > 0且a ≠ 1）, x ∈ R
y = log x, （a > 0且a ≠ 1）, x > 0
a
（2）值域的求法：
y 的取值范围
①正比例函数：
y = kx 和 一次函数：
y = kx + b 的值域为 R
②二次函数：
y = ax 2 + bx + c 的值域求法：
配方法。
如果 x 的取值范围不是 R 则还需画图像
③反比例函数：
y = 1 的值域为 { y | y ≠ 0}
x
④另求值域的方法：
换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。
（3）解析式求法：
在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。
3.函数图像的变换
（1）平移
y = f （ x）
向左平移
a个单位
→ y = f （ x + a） y = f （ x）
向右平移
a个单位
→ y = f （ x - a）
y = f （ x）
（2）翻折
向上平移 向下平移
→ y = f （ x） + a y = f （ x） → y = f （ x） - a
a个单位 a个单位
y = f （ x）
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沿x轴 保留x轴上方图像
→ y = - f （ x） y = f （ x） → y =| f （ x） |
上、下对折 下方翻折到上方
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4.函数的奇偶性
（1）定义域关于原点对称
（2）若 f （- x） = - f （ x） → 奇若 f （- x） = f （ x） → 偶
注：
①若奇函数在 x
= 0 处有意义，则 f （0） = 0
②常值函数
f （ x） = a （ a ≠ 0 ）为偶函数
③
f （ x） = 0 既是奇函数又是偶函数
5.函数的单调性
对于 ∀x 、x ∈ [a, b] 且 x < x ，若 ⎨ f （ x1 ） < f （ x2 ）, 称f （ x）在[a, b]上为增函数
1212
增函数：
x 值越大，函数值越大； x 值越小，函数值越小。
减函数：
x 值越大，函数值反而越小； x 值越小，函数值反而越大。
6.二次函数
（1）二次函数的三种解析式
①一般式：
f （ x） = ax 2 + bx + c （ a
≠ 0 ）
②顶点式：
f （ x） = a（ x - k ） 2 + h（ a
）
≠ 0 ，其中 （k , h） 为顶点
③两根式：
f （ x） = a（ x - x ）（ x - x ）（ a
12
）
≠ 0 ，其中 x 、x 是 f （ x） = 0 的两根
1 2
（2）图像与性质
二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：
① 开口a > 0 → 开口向上a < 0 → 开口向下
b
② 对称轴：
x = -顶点坐标：
（-
2a
b 4ac - b 2
）
2a 4a
⎧b
⎪ 12
c
12
⑤ f （ x） = ax 2 + bx + c 为偶函数的充要条件为 b = 0
⑥二次函数（二次函数恒大（小）于 0）
⎧a > 0⎧ a < 0
f （ x） > 0 ⇔ ⎨⇔ 图像位于x轴上方f （ x） < 0 ⇔ ⎨⇔ 图像位于x轴下方
⎩ ∆< 0⎩ ∆< 0
⑦若二次函数对任意 x 都有 f （t - x） = f （t + x） ，则其对称轴是 x = t 。
第四章指数函数与对数函数
1.指数幂的性质与运算
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（1）根式的性质：
① n 为任意正整数， （n a ） n = a②当 n 为奇数时， n a n = a ；当 n 为偶数时， n a n =| a |
③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。
（2） 零次幂：
a 0 = 1（a ≠ 0）
（3）负数指数幂：
a -n
= 1
a n
（a ≠ 0, n ∈ N * ）
（4）分数指数幂：
a
m
n
= n a m （a > 0, m, n ∈ N + 且n > 1）
（5）实数指数幂的运算法则：
（a
> 0, m, n ∈ R）
① a m ⋅ a n = a m+n
② （a m ） n = a mn
③ （a ⋅ b） n = a n ⋅ b n
2. 幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的 n 次方。
⎧当a > 0时，y = x a 在（0， ∞）上单调递增
a
⎩当a < 0时，y = x a 在（0， ∞）上单调递减
4.指数与对数的互化：
a b = N ⇔ log N = b（a > 0且a ≠ 1）、（ N > 0）
a
5. 对数基本性质：
① log a = 1② log 1 = 0③ a logaN = N④ log
aa
1
⑤ log b与 log a互为倒数 ⇔ log b ⋅ log a = 1 ⇔ log b =
log a
ababa
b
a
a N = N
⑥ log
am b n = m
log b
a
6.对数的基本运算：
log （M ⋅ N ） = log M + log Nlog
aaa
a
M
N
= log M - log N
a a
log a
7.换底公式：
log N = logb N
a
b
（b > 0且b ≠ 1）
8.指数函数、对数函数的图像和性质
指数函数
对数函数
定
义
图
像
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y = a x （a > 0, a ≠ 1的常数） y = log x（a > 0, a ≠ 1的常数）
a
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性
（1） x ∈ R, y > 0
（1） x > 0, y ∈ R
（2） 图像经过 （0,1） 点
（2） 图像经过 （1,0） 点
质
（3）
a > 1, y = a x在R上为增函数；
a
0 < a < 1, y = log x在（0,+∞）上为减函数
a
9.利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用
中间值 0，1 来过渡。
10. 指数方程和对数方程：
①指数式和对数式互化 ②同底法 ③换元法 ④取对数法
注：
解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。
第五章数列
等差数列
每一项与前一项之差为同一个常数
等比数列
每一项与前一项之比为同一个常数
定
义
a - a = a - a =⋯= a - a
2 1 3 2 n
n-1
= d
a
2 =
a
1
a
a
a
3 =⋯= n = q （q ≠ 0）
a
2 n-1
注：
当公差 d
= 0 时，数列为常数列
注：
等比数列各项及公比均不能为 0；
当公比为 1 时，数列为常数列
通项
公式
a = a + （n - 1）d a = a q n-1
n 1 n 1
推
（1） d =
a - a
n m
a
n
a
m
论
（2） a = a + （n - m）d
n m
（2） a
n
= a q n-m
m
（3）若 m + n = p + q ，则 a + a = a + a
mnp
q
（3）若 m + n = p + q ，则 a a = a a
m n p
q
中项
三个数 a、b、c 成等差数列，则有
三个数 a、b、c 成等比数列，则有
公式
2b = a + c ⇔ b = a + c
前 n
n（a + a ）n（n - 1）
项和S == na +d
n1
公式
1.已知前 n 项和 S 的解析式，求通项 a
n
n
a （1 - q n ） a - a q
S = = 1 n
n
（ q ≠ 1 ）
⎧S（n = 1）
1
n
2.弄懂等差、等比数通项公式和前 n 项和公式的证明方法。
（见教材）
第六章三角函数
1.弧度和角度的互换
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180 o = π 弧度1o =
π
1弧度 = （ 180
2.
扇形弧长公式和面积公式
L=| α | ⋅rS=
扇扇
1 1 1
Lr = | α | ⋅r 2 （记忆法：
与 S
2 2 2
3.
任意三角函数的定义：
sin α =
对边 y 邻边 x 对边 y
= cos α = = tan α = =
斜边 r 斜边 r 邻边 x
4.
特殊三角函数值
α
0 = 0 0 π
π
4 = 45 0
π
3 = 60 0
π
2 = 90 0
sin α
cos α
0
2
4
2
1
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2
4
2
0
2
tan α
0
3
3
1 3
不存在
5.
三角函数的符号判定
（1）
（2）
口诀：
一全二正弦，三切四余弦。
（三角函数中为正的，其余的为负）
图像记忆法
6.三角函数基本公式
tan α = sin α
cos α
（可用于化简、证明等）
sin 2 α + cos 2 α = 1（可用于已知 sin α 求 cos α ；或者反过来运用）
7.诱导公式：
口诀：
奇变偶不变，符号看象限。
解释：
指 k ⋅ π
7.已知三角函数值求角 α :
（1） 确定角 α 所在的象限;
（2） 求出函数值的绝对值对应的锐角 α ' ; （3） 写出满足条件的 0 ~ 2π 的角; （4） 加上周期（同
终边的角的集合）
8.和角、倍角公式
⑴ 和角公式：
sin（α ± β ） = sin α cos β ± cos α sin β注意正负号相同
cos（α ± β ） = cos α cos β sin α sin β
tan（α ± β ） = tan α ± tan β
1 tan α tan β
注意正负号相反
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ns
⑵ 二倍角公式：
s i n2α = 2s i α c o αcos 2α = cos 2 α - sin 2 α = 2 cos 2 α - 1 = 1 - 2sin 2 α
tan 2α =2 tan α
1 - tan 2 α
α1 - c o αα1 + cos α
⑶ 半角公式：
s in = ±cos=±
2222
9. 三角函数的图像与性质
质
定义域值域同期奇偶性单调性
y = sin xx ∈ R[-1,1]T = 2π
奇
π
] ↑
2
π 3π
[2kπ + ,2kπ + ] ↓
2 2
y = cos x
x ∈ R [-1,1] T = 2π
偶
[2kπ - π ,2kπ ] ↑
[2kπ ,2kπ + π ] ↓
9.正弦型函数 y = A sin（ωx + ϕ）（ A > 0, ω > 0）
（1）定义域 R ，值域 [- A, A]
（2）周期：
T = 2π
ω
（3）注意平移的问题：
一要注意函数名称是否相同，二要注意将 x 的系数提出来，再看是怎样平移的。
（4） y = a sin x + b cos x
= a 2 + b 2 sin（ x + ϕ ）
10. 正弦定理
abc
=== 2R（ R 为 ∆ABC 的外接圆半径）
sin Asin Bsin C
n
其他形式：
（1） a = 2R sin Ab = 2R s i nBc = 2R s i C （注意理解记忆，可只记一个）
（2） a :
b :
c = sin A :
sin B :
sin C
11. 余弦定理
b 2 + c 2 - a 2
222
2bc
12. 三角形面积公式
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S
1 1
ab sin C = bc sin A = ac sin B （注意理解记忆，可只记一个）
2 2 2
13. 海伦公式：
S
∆ABC
= P（P - a）（P - b）（P - c） （其中 P 为 ∆ABC 的半周长， P =
a + b + c
2
）
第七章平面向量
1.向量的概念
（1）定义：
既有大小又有方向 的量。
（2）向量的表示：
书写时一定要加箭头！
另起点为 A，终点为 B 的向量表示为 AB 。
（3）向量的模（长度）：
| AB | 或| a |
（4）零向量：
长度为 0，方向任意。
单位向量：
长度为 1 的向量。
向量相等：
大小相等，方向相同的两个向量。
反（负）向量：
大小相等，方向相反的两个向量。
2.向量的运算
（1）图形法则
三角形法则平形四边形法则
（2）计算法则
加法：
AB + BC = AC减法：
AB - AC = CA
（3）运算律：
加法交换律、结合律注：
乘法（内积）不具有结合律
3.数乘向量：
λ a
（1）模为：
| λ || a |
（2）方向：
λ 为正与 a 相同； λ 为负与 a 相反。
4.AB 的坐标：
终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标。
AB = （ x - x , y - y ）
BABA
5.向量共线（平行）：
∃ 唯一实数 λ ，使得 a = λ b 。
（可证平行、三点共线问题等）
6. 平面向量分解定理：
如果 e , e 是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量 a ，都存在唯一的
12
一对实数 x , x ，使得 a = x e + x e 。
121 122
7.注意 ∆ABC 中，重心（三条中线交点）、外心（外接圆圆心：
三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：
三角平分
线交点）、垂心（三高线的交点）
8.向量的内积（数量积）
（1）向量之间的夹角：
图像上起点在同一位置；范围 [0, π ] 。
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（2）内积公式：
a ⋅ b =| a || b | cos < a, b >
9.向量内积的性质：
（1） cos < a, b >=a ⋅ b
（3） a ⋅ a =| a |2 或 | a |=a ⋅ a（长度公式）
10. 向量的直角坐标运算：
（1） AB = （ x
B
- x , y - y ）
A B A
（2）设 a = （ x , y ）, b = （ x , y ） ，则a ± b = （ x ± x , y ± y ）
11221212
λ a = （λx , λy ） a ⋅ b = x x + y y
1 1 1 2 1
2
11.中点坐标公式：
若 A （ x , y ） ,B （ x , y ） ,点 M（x,y）是线段 AB 的中点,则 x =
1122
12.向量平行、垂直的充要条件：
设 a = （ x , y ）, b = （ x , y ） ，则
1122
y
1 =1（相对应坐标比值相等）
xy
22
a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ⇔ x x + y y = 0（两个向量垂直则它们的内积为 0）
1212
11. 长度公式
（1）向量长度公式：
设 a = （ x, y ） ，则 | a |=x 2 + y 2
x + x y + y
1 2 , y = 1
2 2
2
（2）两点间距离公式：
设点 A（ x , y ）, B（ x , y ） ，则
1122
| AB |= （ x - x ） 2 + （ y - y ） 2
2 1 2 1
⎩ y' = y + a2
12. 向量平移
⎧ x' = x + a
（1）平移公式：
点 P（ x, y） 平移向量 a = （a , a ）到P'（ x', y'） ，则 ⎨1记忆法：
“新=旧+向量”
12
（2）图像平移：
y = f （ x） 的图像平移向量 a = （a , a ） 后得到的函数解析式为：
y - a = f （ x - a ）
1221
第八章平面解析几何
1.曲线 C 上的点与方程 F （ x, y） = 0 之间的关系：
（1）曲线 C 上点的坐标都是方程 F （ x, y）
= 0 的解；
（2）以方程 F （ x, y） = 0 的解 （ x, y） 为坐标的点都在曲线 C 上。
则曲线 C 叫做方程 F （ x, y）
= 0 的曲线，方程 F （ x, y） = 0 叫做曲线 C 的方程。
2.求曲线方程的方法及步骤：
（1） 设动点的坐标为（x，y）；
（2） 写出动点在曲线上的充要条件；（3） 用 x, y 的关系式
表示这个条件列出的方程；（4） 化简方程（不需要的全部约掉）；（5）证明化简后的方程是所求曲线的方程。
如果
方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。
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3.两曲线的交点：
联立方程组求解即可。
4.直线：
（1） 倾斜角 α ：
一条直线 l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。
其 范围是 [0, π ）
（2） 斜率：
①倾斜角为 90 0 的直线没有斜率；② k
= tan α （倾斜角的正切）
x - x
③经过两点 P （ x , y ）, P （ x , y ） 的直线的斜率 K = y2 - y1
111222
21
（3） 直线的方程
（ x ≠ x ）
1 2
① 两点式：
y - y
1
y - y
2 1
=
x - x
1
x - x
2 1
② 斜截式：
y = kx + b
③ 点斜式：
y - y = k （ x - x ）④ 一般式：
Ax + By + C = 0
00
注：
1.若直线 l 方程为 3x+4y+5=0，则与 l 平行的直线可设为 3x+4y+C=0；
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