高一数学点线面之间的位置关系.docx

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高一数学点线面之间的位置关系

高一数学点线面之间的位置关系

1.2点线面之间的位置关系

（1）

班级：

姓名：

第五课时1.2.1平面的基本性质

（1）

　教学目标

1、了解平面的基本性质即三条公理．

2、能正确使用集合符号表示空间图形中的点线面的关系．

　教学重点

平面的三条基本性质即三条公理．

　教学难点

运用三条公理解决问题．

　教学过程

一、问题情境

1、把直尺边缘上的任意两点放到桌面上，则直尺的整个边缘都能落在桌面上吗？

为什么？

2、演示与思考：

将一张矩形硬纸板的一角立在桌面上，试问硬纸板所在的平面与桌面所在的平面仅有一个公共点吗？

为什么？

二、学生活动

用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光能检查桌面是否平整，为什么？

椅子放不稳，是地面不平还是椅子本身有问题？

三、建构数学

1、平面的特性及点线面位置的表示

（1）平面的特性：

平面没有厚薄，可以无限向四周延展．

（2）平面的表示：

常用希腊字母表示，也可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面，平面AC等．

（3）点线面的位置关系及符号表示：

（对照图2）

点P在直线AB上：

；点C不在直线AB上：

；

点M在平面AC内：

平面AC；点A1不在平面AC内：

平面AC；

直线AB与直线BC交于点B：

；

直线AB在平面AC内：

平面AC；直线AA1不在平面AC内：

平面AC．

2、公理1及符号表示

　如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

用符号表示为：

直线PQ．（见图1）

　3、公理2及符号表示

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．

用符号表示为：

且．（见图3）

4、公理3

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．（见图4）

不共线的三点A、B、C通常记作"平面ABC"．

四、数学运用

　例1、如图所示的正方体中的三个面所在平面A1C1、A1B、

BC1分别记作．

（1）A1，B1，C1，D1；

（2），，A1，B1；

　（3）A，B，A，B；

　（4），，．

例2、如图，点A平面BCD，E、F、G、H分别是AB、CD、DA上的点，若EH与FG交点K，求证：

K在直线BD上．

　学生练习：

1、口答：

P.23练习1、2、3、4、5．

2、分别用符号表示下列语句，并画出图形：

（1）直线l过平面内一点A，且过外两点B、C；

（2）平面与平面的交线为l，直线m在内，直线n在内，且m、n与l分别交于P、Q点；

（3）平面与平面相交于直线l，直线m在内，直线n在内，且m、n都与l平行．

五、回顾小结

本节主要学习了平面三个基本性质即三条公理，学会了如何用符号来表示点线面的关系．

六、课外作业

（一）自测训练：

必修2学习与评价[课课练]P.010分层训练

班级姓名等级

（二）反馈练习（友情提醒：

老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）

[1.2.1平面的基本性质

（1）]

　1、下列命题正确的是（）

　A、立体图形中的虚线是辅助线；B、一张白纸是一个平面；

　C、一个平面将空间分成两个部分；D、三点确定一个平面．

　2、若两个不重合的平面有公共点，则公共点个数是（）

　A、1个B、1个或无数个

　C、2个D、无数个且在一条直线上

　3、如右图所示，

　点A平面ABC；点A平面BCD；

　BD平面ABD；BD平面ABC；

　平面ABC平面ACD=；

　=BC．

4、将"平面与平面相交于直线l，直线m、n分别平面与内，且直线m与n相交于点O"用数学符号语言．

　5、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1B1D1=O1，B1D平面A1BC1=P，

求证：

点B、P、O1共线．

6、分别根据下列条件画出相应的图形：

（1）；

（2），△ABC的顶点A，B，B，C，C．

7、如图，在四面体ABCD中，点E在棱BD上，AF是△ACD的中线，G在线段AF上，试画出BG与平面ACE的交点．

1.2点线面之间的位置关系

（2）

班级：

姓名：

第六课时1.2.1平面的基本性质

（2）

　教学目标

1、巩固平面的基本性质即三条公理和三条推论．

2、能使用公理和推论进行解题．

　教学重点

平面的三条基本性质即三条推论．

　教学难点

准确运用三条公理和推论解题．

　教学过程

一、问题情境

1、空间共点的三条直线能确定几个平面？

空间互相平行的三条直线呢？

2、如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内？

瓦匠如何判断房屋的基底是否同在一水平面内？

二、学生活动

1、试用一支笔将一本讲义夹支撑住．

2、在如图所示的长方体中，试找出所有的对角面．

三、建构数学

1、推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

已知：

直线l，点；求证：

过直线l和点A有且只有一个平面．

2、推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．

证明方法类似推论1．

　3、推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．

证明用定义及反证法．

四、数学运用

　例1、已知：

；求证：

直线AD、BD、CD共面．

例2、已知；求证：

．

例3、已知，求证：

四条直线在同一平面内．

*例4、如图，三棱锥A-BCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF:

FC=DH:

HA=2:

3；求证：

EF、GH、BD交于一点．[渗透空间问题平面化思想]

　学生练习：

1、如果直线两两相交，那么这三条直线是否共面？

（口答）

2、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？

（口答）

3、画一个"三个平面两两相交"的直观图．

4、已知空间不共面的四点，过其中任意三点可以确定一个平面，由这四个点能确定几个平面？

五、回顾小结

本节主要学习了平面公理的三个推论，学会了如何使用公理及其推论解题．

六、课外作业

（一）自测训练：

必修2学习与评价[课课练]P.011拓展延伸回顾反思

班级姓名等级

（二）反馈练习（友情提醒：

老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）

[1.2.1平面的基本性质

（2）]

　1、经过同一直线上的3个点的平面（）

　A、有且只有1个B、有且只有3个C、有无数个D、有0个

　2、若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是（）

　A、1或2B、2或3C、1或3D、1或2或3

　3、与空间四点距离相等的平面共有（）

　A、3个或7个B、4个或10个C、4个或无数个D、7个或无数个

　4、四条平行直线最多可以确定（）

　A、三个平面B、四个平面C、五个平面D、六个平面

　5、四条线段首尾顺次相连，它们最多可确定的平面个数有个．

　6、给出以下四个命题：

①若空间四点不共面，则其中无三点共线；

②若直线l上有一点在平面外，则l在外；

③若直线、、中，与共面且与共面，则与共面；

④两两相交的三条直线共面．

其中所有正确的命题的序号是．

7、已知A、B、C不在同一条直线上，求证：

直线AB、BC、CA共面．

8、求证：

如果一条直线与两条平行线都相交，那么这三条直线在同一个平面内．

已知：

直线、、且，，；

求证：

直线、、共面．

9、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

①AA1与CC1能否确定一个平面？

为什么？

②点B、C1、D能否确定一个平面？

为什么？

③画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线．

10、两两相交且不共点的四条直线共面．（注：

有两种情形，见图，试分别证之）

1.2点线面之间的位置关系（3）

班级：

姓名：

第七课时1.2.2空间两条直线的位置关系

（1）

　教学目标

1、了解空间两条直线的位置关系．

2、理解公理4即平行公理和等角定理．

　教学重点

平行公理和等角定理．

　教学难点

等角定理的运用．

　教学过程

一、问题情境

1、请你动手将一张长方形的纸如图对折几次后打开，观察这些折

痕有怎样的位置关系？

并推测平面几何中"平行线的传递性"

在空间是否成立？

2、在平面中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那

么这两个角相等吗？

在空间呢？

二、学生活动

试用两支笔和一硬纸板，分别在平面和空间按下图所示情形进行比画，观察两条直线的位置关系，并填写下表．

三、建构数学

1、公理4（平行公理）平行于同一条直线的两条直线互相平行．

用符号可表示为：

．（试从棱柱或圆柱中找到模型）

思考：

经过直线外一点有几条直线和这条直线平行？

　2、等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，

那么这两个角相等．

已知：

∠BAC和∠B1A1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，并且方向相同；

求证：

∠BAC=∠B1A1C1．　思考：

如果∠BAC和∠B1A1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，并且方向相反；那么∠BAC和∠B1A1C1之间有何关系？

为什么？

四、数学运用

　例1、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分别是AB、BC的中点，求证：

EF∥A1C1．

例2、已知E、E1分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点，求证：

∠C1E1B1=∠CEB．　例3、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AB、AD、C1B1、C1D1的中点；

试判断下列直线是否平行？

（1）EF与GH；

（2）DE与HB1．　例4、如图，在正四面体ABCD中，E、F、G分别是AB、AC、AD上的点，且满足；求证：

△EFG∽△BCD．

　学生练习：

课本P.26.练习1，2，3．

五、回顾小结

本节主要学习了平行公理等角定理，等角定理使用时要注意方向．

六、课外作业

（一）自测训练：

必修2学习与评价[课课练]P.012分层训练拓展延伸

班级姓名等级

（二）反馈练习（友情提醒：

老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）

[1.2.1空间两条直线的位置关系

（1）]

　1、空间三条直线互相平行，由每两平行线确定一个平面，则可确定的平面个数为（）

　A、1B、1或2C、1或3D、2或3

　2、设ABCD是空间四边形，M、N分别是AB、CD的中点，且AC=4，BD=6，则（）

　A、B、C、D、

　3、若角和角的两边分别对应平行，当时，．

　4、下列命题中：

　①垂直于同一条直线的两条直线平行；

　②一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，则它也垂直于另一条直线；

　③经过直线外一点有无数条直线和这条直线垂直；

　④若∠AOB=∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．

　其中正确命题的序号为．

5、判断题：

（1）a、b、c、d是4条直线，a∥b，b∥c，c∥da∥d；（）

（2）若a、b是直线，且无公共点，则a∥b．（）

　6、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别为棱CC1、BB1、DD1的中点；

试证明：

∠BGC=∠FD1E．

　7、如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心；

（1）求证：

MN∥BD；

（2）若BD=6，求MN的长．

1.2点线面之间的位置关系（4）

班级：

姓名：

第八课时1.2.2空间两条直线的位置关系

（2）

　教学目标

1、理解异面直线的判断方法．

2、能准确地求出异面直线所成的角．

　教学重点

异面直线所成的角．

　教学难点

构造异面直线所成的角．

　教学过程

一、问题情境

1、空间两条直线如果不平行就一定相交吗？

你能找出两条既不平行又不相交的例子吗？

2、

（1）垂直于同一条直线的两条直线，有几条种位置关系？

（2）已知a和b是异面直线，a和c是异面直线，那么b和c也是异面直线吗？

二、学生活动

1、构造一个正方体ABCD-A1B1C1D1，试在其中找出与

直线A1C异面的所有棱和面对角线，并观察这些异

面直线所成的角的大小情况．

2、观察上述各种异面直线的位置情况，试考虑异面直

线的平面直观图有几种不同的画法．

三、建构数学

1、异面直线的判断方法：

过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．

用符号可表示为：

若，则直线AB与l是异面直线．[反证法]

2、异面直线所成的角：

设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线，则把直线所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角．　特例当异面直线a，b所成的角为90°时，则称这两条异面直线是互相垂直的；记为a⊥b．

四、数学运用

例1、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中；

（1）正方体的哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线；

（2）求异面直线AA1与BC所成的角；

　（3）求异面直线BC1与AC所成的角．

例2、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2a，AA1=a，E、F分别是A1B1和B1C1的中点，求AE与BF所成的角．

例3、如图，，求证：

b、c为异面直线．

例4、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=a，E、F分别是棱BC、DC的中点，求异面直线AD1和EF所成的角的大小．

　学生练习：

课本P.28.（口答）练习1，2，3，4，5，6．

五、回顾小结

本节主要学习了异面直线的判断和所成的角，证明异面直线要注意反证法和判断方法，找所成的角时要充分注意平行线的作用．

六、课外作业

（一）自测训练：

必修2学习与评价[课课练]P.014分层训练拓展延伸

班级姓名等级

（二）反馈练习（友情提醒：

老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）

[1.2.1空间两条直线的位置关系

（2）]

　1、若a，b是两条异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）

　A、相交B、异面C、平行D、异面或相交

　2、若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是（）

　A、异面B、平行C、相交D、相交、平行、异面均可能

　3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与BD1异面的棱共有条．

　4、"a，b为异面直线"是指：

　①，且a不平行于b；②平面，平面，且；

　③平面，平面；④平面，平面，且；

　⑤不存在平面能使同时成立．

　其中正确命题的序号为．

5、在空间四边形ABCD中，AB=CD=8，M、N分别是BC、AD的中点，若异面直线AB与CD所成的角为60°时，求MN的长．　6、如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若EG=FH，求AC与BD所成的角．　7、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱AB、BB1、A1D1、C1D1的中点；

（1）求异面直线DD1和EF所成的角的大小；

（2）求异面直线EF和GH所成的角的大小．

1.2点线面之间的位置关系（5）

班级：

姓名：

第九课时1.2.3直线与平面的位置关系

（1）

　教学目标

1、直观感知直线与平面的三种位置关系．

2、能初步理解直线和平面平行的判定定理和性质定理．

　教学重点

直线和平面平行的判定定理与性质定理．

　教学难点

使用定理解决问题．

　教学过程

一、问题情境

1、一支粉笔所在的直线与黑板面（或桌面）所在的平面之间有哪些可能的位置关系？

2、

（1）经过平面外一点可以作多少条直线与平行？

（2）若直线∥平面，则在平面内与平行的直线有多少条？

二、学生活动

试用一支笔和一张硬纸板，分别在平面和空间按下图所示情形进行比画，观察直线与平面的位置关系，并填写下表．

　注：

通常把直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外；符号表示为：

　三、建构数学

1、直线与平面平行的判定定理：

[书中说明：

本章判定定理不作证明]

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

用符号可表示为：

；图示为：

2、直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．

　已知：

；

　求证：

．

　四、数学运用

例1、已知E，F分别是三棱锥A-BCD的侧棱AB，AD的中点，求证：

EF∥平面BCD．

例2、一个长方体木块如图所示，要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，应怎样画线？

．　例3、求证：

如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行．

已知：

平面，且；求证：

，．

例4、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点；

求证：

AM∥平面EFG．　例5、已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：

另一条也平行于这个平面．

　学生练习：

课本P.32.（口答）练习1，2，3，4．

五、回顾小结

本节主要学习了直线与平面的位置关系，学习了直线与平面平行的判定和性质定理．

六、课外作业

（一）自测训练：

必修2学习与评价[课课练]P.016分层训练拓展延伸

班级姓名等级

（二）反馈练习（友情提醒：

老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）

[1.2.3直线与平面的位置关系

（1）]

　1、已知直线a∥平面，，那么过点P且平行于直线a的直线（）

　A、只有一条，不在平面内；B、有无数条，不一定在平面内；

　C、只有一条，且在平面内；D、有无数条，一定在平面内．

　2、过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面（）

　A、只有一个B、至多有两个C、不一定存在D、有无数个

　3、若直线a与平面内的无数条直线平行，则直线a与平面的关系是．

4、若空间ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是9、17，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为．

5、在长方体ABCD-A1B1C1D1的各面中，与BC平行的面有哪些？

与CC1平行的面有哪些？

6、根据下列条件画出图形：

平面平面，直线，CD∥，，直线,．

7、如图，设P、Q分别是正方体的面AA1D1D和面A1B1C1D1的中心，求证：

PQ∥平面AA1B1B．

8、如图，a、b是两条异面直线，A、C与B、D分别是a、b上的两点，直线a∥平面，

直线b∥平面，，若AM=BM，求证：

CN=DN．

1.2点线面之间的位置关系（6）

班级：

姓名：

第十课时1.2.3直线与平面的位置关系

（2）

　教学目标

1、了解直线与平面垂直的意义及相关的概念．

2、能初步理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理．

　教学重点

直线和平面垂直的判定定理与性质定理．

　教学难点

使用定理解决问题．

　教学过程

一、问题情境

1、分别说出长方体的侧棱与底面之间、圆柱（圆锥）的轴与底面之间的位置关系．

2、

（1）准备正三角形、矩形纸片各一张，分别对折后适当放开并竖立在桌面上，观察折痕与桌面有怎样的位置关系？

（2）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面吗？

二、学生活动

用一个30°、60°、90°的三角板在桌面上，绕一直角边所在直线旋转，由此得出直线与平面垂直的概念，点到平面的距离等等．

三、建构数学

　1、直线与平面垂直的概念

如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点叫垂足．

　2、重要结论

过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且

　只有一个平面与已知直线垂直．

过平面外一点A向平面引垂线，则点A和垂足B之

　的距离叫做点A到平面的距离．

3、直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直．

用符号表示为：

若，则．

4、直线与平面垂直的性质定理：

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

已知：

；求证：

．

四、数学运用

例1、求证：

如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．

　已知：

，求证：

．

例2、已知：

直线l∥平面，求证：

直线l上各点到平面的距离相等．

[注：

如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点

到这个平面的距离叫做这条直线的和这个平面的距离]

例3、如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC，求证：

AC⊥平面PBD．

例4、如图，A是平面BCD外一点；AB⊥CD，AC⊥BD，求证：

AD⊥BC．

学生练习：

课本P.35.（口答）练习1，2，3．

五、回顾小结

本节主要学习了直线与平面垂直的判定和性质定理．

六、课外作业

（一）自测训练：

必修2学习与评价[课课练]P.018分层训练拓展延伸

班级姓名等级

（二）反馈练习（友情提醒：

老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）

[1.2.3直线与平面的位置关系

（2）]

　1、以下条件中，能判定直线l⊥平面的是（）

　A、l与平面内的一个三角形的两边垂直；B、l与平面内的一条直线垂直；

　C、l与平面内的两条直线垂直；D、l与平面内的无数条直线垂直．

2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则在下列直

线中一定与直线CE垂直的直线是（）

　A、ACB、BDC、A1D1D、AA1

3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下结论：

①AB⊥平面BCC1B1；②AC⊥平面CDD1C1；

③AC⊥平面BDD1B1；④A1C⊥平面AB1D1．

其中正确的命题的序号是．

4、四面体ABCD中，是直角三角形的面至多有个．

5、有一旗杆高8m，它的顶端挂一条10m长的绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一条直线上），如果这两点都和旗杆脚的距离为6m，那么旗杆和地面垂直，为什么？

6、命题"如果三条直线共点且两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面"正确吗？

为什么？

　7、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC与BD交于点O，

求证：

A1O⊥平面MBD．

　8、已知于A，于B，于Q；

求证：

．

1.2点线面之间的位置关系（7）

班级：

姓名：

第十一课时1.2.3直线与平面的位置关系（3）

　教学目标

1、理解直线与平面所成的角的概念并会求直线与平面所成的角．

2、能理解斜线、垂线及其射影之间的关系．

　教学重点

求直线与平面所成的角．

　教学难点

找出直线与平面所成的角．

　教学过程

一、问题情境

1、

（1）分别指出长方体的每一条侧棱与底面的位置关系、两条侧棱之间的关系．

（2）圆柱的任意一条母线与底面都垂直吗？

任两条母线之间有怎样的位置关系？

2、直线与平面所成的角一定是锐角吗？

其取值范围是什么？

二、学生活动

试用三支笔，按右图PQ、P'Q和PP'的方式放置，

并回答下列问题：

（1）PQ、P'Q和PP'分别叫什么线？

（2）PQ、P'Q和PP'和a中有多少对互相垂直的直线？

（3）这些互相垂直的直线对之间有没有内在的关系？

三、建构数学

　1、基本概念

平面的斜线：

平面的斜线段：

直线与平面所成的角：

直线与平面所成的角的范围是：

2、重要命题

（1）如图，已知AC，AB分别是平面和垂线和斜线，

　C，B分别是垂足和斜足，，；

　求证：

．

（2）如图，已知AC，AB分别是平面和垂线和斜线，

　C，B分别是垂足和斜足，，；

　求证：

．

四、数学运用