二次函数压轴题训练题.docx

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二次函数压轴题训练题

二次函数压轴题训练题

1.如图1，已知抛物线

（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

2.如图2，已知抛物线的方程C1：

（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M（2,2），求实数m的值；

（2）在

（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在

（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？

若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

图2

3.如图3，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图4的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；

（3）在图3中，设点D的坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

图3图4

4.如图5，抛物线经过点A（4，0）、B（1，0）、C（0，－2）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

图5

5.如图6，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0,0）和

两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0,2）．

（1）求a、b、c的值；

（2）求证：

在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；

（3）设⊙P与x轴相交于M（x1,0）、N（x2,0）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．

图6

6.如图7，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图7

7.如图8，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图8

8.如图9，二次函数y＝a（x2－2mx－3m2）（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0,－3），点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的式子表示a；

（2）求证：

为定值；

（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：

在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？

如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

图9

9.如图10，抛物线

与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m,0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图10

10.如图11，抛物线

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E（4,0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

图11

11.在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k（x2＋x－1）的图象交于点A（1,k）和点B（－1,－k）．

（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

图12

12.在平面直角坐标系xOy中，抛物线

与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2,n）在这条抛物线上．

（1）求点B的坐标；

（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；

②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．

图13

13.如图14，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：

y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为

，求a的值；

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？

若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

图14备用图

14.如图15，已知抛物线C：

y＝－x2＋bx＋c经过A（－3,0）和B（0,3）两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．

（1）求抛物线C的表达式；

（2）求点M的坐标；

（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？

为什么？

图15

15.如图16，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（0,1）、B（4,3）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求tan∠ABO的值；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

图16

16.如图17，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：

QB＝_______，PD＝_______；

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？

若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图18，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．

图17　图18

17.如图19，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1,0）、C（3,0）、D（3,4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？

最大值为多少？

（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？

请直接写出t的值．

图19

18.已知平面直角坐标系xOy（如图20），一次函数

的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数

的图象上，且MO＝MA．二次函数

y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．

（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数

的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

图20

19.将抛物线c1：

沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图21所示．

（1）请直接写出抛物线c2的表达式；

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．

①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？

若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

图21

20.如图22，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A（－1,0）和点B（3,0），D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C（5,6）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点E的坐标；

（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．

图22

21.如图23，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，点B是这条直线上第一象限内的一个点，过点B作x轴的垂线，垂足为D，已知△ABD的面积为18．

（1）求点B的坐标；

（2）如果抛物线

经过点A和点B，求抛物线的解析式；

（3）已知

（2）中的抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P是抛物线对称轴上的一点，过点P作PQ//AC交x轴于点Q，如果点Q在线段AH上，且AQ＝CP，求点P的坐标．

图23

22.已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．

①求点D的坐标；

②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若

，求四边形BDEP的面积．

图24

23.如图25，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？

若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

图25

24.已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒

个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．

图26图27

25.如图28，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为（0,6）、（－4,0），联结PD、PE、DE．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置发现：

当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：

对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

（3）小明进一步探究得出结论：

若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．

请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．

图28备用图

26如图29，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A（－2,0）、B（4,0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．

图29

27.如图30，已知抛物线

（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（－1,0）．

（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；

（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为（2,0），当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在

（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．

①求S的取值范围；

②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．

图30

28.如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0,1）、B（2,0）、O（0,0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．

（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？

并写出它的两条性质．

图31

29.如图32，在平面直角坐标系中，直线

与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．

（1）求a、b及sin∠ACP的值；

（2）设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？

若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

图32

30.如图33，直线l经过点A（1，0），且与双曲线

（x＞0）交于点B（2，1）．过点

（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线

（x＞0）和

（x＜0）于M、N两点．

（1）求m的值及直线l的解析式；

（2）若点P在直线y＝2上，求证：

△PMB∽△PNA；

（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？

若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

图33

31.如图34，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3,0），（0,1）．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线

交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？

若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

图34

32.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（－3,0），点D在线段AB上，AD＝AC．

（1）求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴；

（2）如果以DB为半径的⊙D与⊙C外切，求⊙C的半径；

（3）设点M在线段AB上，点N在线段BC上，如果线段MN被直线CD垂直平分，求

的值．

图35

33.已知OA＝5，sin∠O＝

，点D为线段OA上的动点，以A为圆心、AD为半径作⊙A．

（1）如图36，若⊙A交∠O于B、C两点，设OD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）将⊙A沿直线OB翻折后得到⊙A′．

①若⊙A′与直线OA相切，求x的值；

②若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求x的值．

图36

34.如图37，抛物线y＝x2－4x与x轴交于O、A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线

y＝x＋m与抛物线的对称轴交于点Q．

（1）这条抛物线的对称轴是_________，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是______；

（2）若两个三角形的面积满足S△OQP＝

S△PAQ，求m的值；

（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2,2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：

①PD＋DQ的最大值；②PD·DQ的最大值．

图37

35.已知平面直角坐标系中两定点A（－1,0）、B（4,0），抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P（m,n）（n＜0）为抛物线上一点．

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；

（3）若m＞

，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜

）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？

若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．

36.在平面直角坐标系中，已知点A（－2,0），B（0,4），点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．

（1）如图38，求点E的坐标；

（2）如图39，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．

①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；

②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．

图38图39

37.如图40，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－2,－4）、O（0,0）、

B（2,0）三点．

（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．

图40

38已知抛物线y＝x2＋（2m－1）x＋m2－1经过坐标原点，且当＜0时，y随x的增大而减小。

（1）求抛物线的解析式，并写出y<0时，对应x的取值范围；

（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C.

①当BC＝1时，直接写出矩形ABCD的周长；

②设动点A的坐标为（a,b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．

39.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0,4），点B的坐标为（4,0），点C的坐标为（－4,0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．

①求证：

∠BDE＝∠ADP；

②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：

点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？

如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

40.如图41，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A（1,－1），B（3,－1），动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），