地下水运动中计算.docx
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地下水运动中计算
地下水运动中计算
地下水运动中计算
地下水运动中的专门问题
§6.1非饱和带的地下水运动
ill
3!
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在地下水面以上的非饱和带（即包气带）也有水的运动。
在许多情况下，研究非饱和带的地下水运动具有很大的意义。
例如，在地下水资源评价中，必须研究“三水”（即大气水、地表水相地下水）的相互转化，而非饱和带的地下水运动是其转化的重要环节。
入渗的水必须经过非饱和带才能到达潜水面，故研究水在非饱和带的运动，对于入渗的计算很重要。
其次，各种施加在地表的污染物将随入渗的水一起运动，经过非饱和带进入地下水中。
因此研究地下水污染时，也必须研究非饱和带中水的运动o
6.1.1非饱和带水分的基本知识
1.含水率、饱和度和田间持水量
在非饱和带中，空隙空间的一部分充填了水，其余部分充填了空气。
水分和空气的相对份量是变化的。
可以用二个变量来表示水分含量的多少。
一为含水率外表示单位体积中所占的体积：
6—oM砂M用
（6-1）
式中，&为含水率，无量纲；（Vw）o为典型单元体中水的体积；Vo为典型单元体的体积；另一个为饱和度Sw,表示岩石的空隙空间中水所占据
部分所占的比例:
（6-2）
式中，S、v为饱和度，无量纲；（Vo）o为典型单元
体中的空隙体积。
显然，含水率。
不能大于空隙度no而饱和
度Sw不能大于1o两者之间有下列关系:
（6-3）
因为利用了典型单元体的概念•上述定义对于任一点都是适用的。
:
:
lll
在长时间重力排水后仍然保留在土中的水量称为田间持水量。
此时，水以簿膜水的形式和在颗粒接触点附近以孤立的悬挂环形式存在。
从图6-1可以看出，空隙度减去田间持水量，相当于排水空隙度，即排水时的有效空隙度。
当多孔介质空孔隙中有两种不相混溶的流
体（如水和空气）接触时，这两种液体之间的压力存在着不连续性。
此压力差的大小取决于该点界面的曲率（它又取决于饱和度），这个压力差Pc称为毛管压强：
（6・4）
式中，几一一空气的压强，几一一水的乐压强。
如假设孔隙中的空气是在101325Pa（一个大气压）下、并取大气压强作为测量流休压强的基准，则
几=0,于是:
Pc=-几
（6-5）
故非和带孔隙中的水处于小于大气压强的情况下。
正如在毛细管现象中见到的一样，在周围水面以上的毛管内的压强是负的。
和饱和带的情况一样，可以定义非饱和带水流中任何点的水头（毛管水头）:
式中，Y为水的容重;
h-代-几
^"7
（6-7）
称为毛管压力水头。
某些作者用符号肖表示压力水头的负值，即：
0=-厶>0
/
（6-8）
H=兀_屮
（6-9）
对于饱和一非饱和流动，可以写出统一的水头表
（6-10）
式中，压强，
达式;
压强少可正可负。
在饱和带中，P为水的取正值；在非饱和带，P为毛管压强的负
数，取负值。
其余符号同前。
水量曲线
（据Richards和
Weaner）
3・土壤水分特征曲线
1=
l?
i
反映毛管压强Pc或毛管压力水头ho和土壤含水率。
或饱和度弘关系的曲线，称为水分特征曲线（图6-2）0它表示非饱和带中水分的能量和数量之间的关系，反映了包气带中水的基本特征。
从曲线上还可以看出，即使在相当高的压强下，土样中仍保持一定的水，含水率不再进一步减小。
这个含水率记作亿相应的饱和度为：
九=7
不同土曲水分特征曲线是不同的。
在同样条
件下，粘性土要比砂保持更多的水分，具有更高的含水率。
土的颗粒级配，对持征曲线的形状也有影响，如图6・2的曲线I和II。
温度的变化对
它也有影响。
温度升高时，表面张力降低，在同样吸力下含水率要低一些。
水分持征曲线斜率的负倒数称为容水度，记作
de_dedHdh
（6-11）
容水度不是常数，它随含水率或毛管压强而变化，记作C（o）或C（入）。
它表示毛管压力水头变化一个单位时从单位体积土中释放出的水体积,是计算非饱和带水运动的重要参数。
图6・3吸湿和排水情况下的水分特征曲线（据J.
Bear）
实验表明：
同一土样在同样的温度下，排水过程和吸湿过程的水分特征曲线是不同的（图6-3）o在同一Pc或几下，排水时的含水率要大于吸湿时的含水率。
这种现象称为滞后现象。
土壤从饱
Ill
和到干燥或从干燥到饱和的水分持征曲线称为主线。
土样从部分湿润到开始排水或从半干燥状态重新润湿时，水分特征曲线是顺着一些中间曲线由一条主线移至另一条主线，这些中间曲线称为扫描曲线。
因此，水分持征曲线随土壤的干、湿历史的不同而变化。
故容水度C2）不是含水率0的单值函数。
4.非饱和流动中的给水度概念
已经介绍过给水度的概念。
给水度是单位体积含水层中所排出的重力水的体积。
但实际上，当潜水面下降时，其间的水并未全部排出，只是由饱和带的水变成非饱和带的水，水分分布曲线发生相应的改变。
实际排出的水体积只相当于排水前后两条水分分布曲线间的那一部分面积。
为此，需要这样来定义给水度：
从地表一直延伸到含水层底板的一个单位水平面积垂直土柱，当潜水面降低一个单位时，由重力所排出的水的体
积。
由于重力排水的迟后，给水度“也是时间t的函数。
只有当长时间排水后才趋近于某一常数
6.L2非饱和带水运动的基本方程
1.运动方程
1931年，Richards提出，Darcy定律可引伸应用于非饱和带水的运动。
但此时的渗透率k和渗透系数K不再是常数，而与土壤的含水率有关。
当含水率（或饱和度）减小时，一部分空隙为
空气充填，因而过水断面减小，渗流途径的弯曲程度增加，导致渗透率或渗透系数减小。
因此,该情况下k和K可记作含水率。
或饱和度Sw的函数k（&）,K（。
或k（Sw）,K（Sw）o这样，非饱和
带中的Darcy定律表达式为:
v=K（e）J
（6-12）
如用渗透率来表达时，则有：
（6-13）
式中：
R—饱和土的渗透率;
k（S"——非饱和土的渗透率，为饱和度弘的函数;
^r（Sw）——相对渗透率,2）“——水的动力粘滞系数。
透在较小的孔隙中进行,
过水断面减小，渗流途径
的弯曲度增加，相对渗透
率急剧减小。
到达A点,
孔隙中的水变得不连续
了，相对渗透率等于零。
此时的饱和度为身Swo,
相应的含水率为8o=n
2.基本微分方程
在第一章中，我们已经得到了渗流的连续性方程（1・65）式。
对于非饱和流动，把等式右端的空隙度n换成含水率外方程仍然是适用的。
在非
饱和带中，一般不考虑介质的变形，即单元体体积AxAyAz不随时间而变化。
于是可以约去等式两端的AxAyAzAt；同时，在非饱和流动中，水的密度p变化很小，可当作常数。
于是，相应的连续性方程为：
（6-14）
将运动方程（6・12）式代入（6・14）式中，得:
Tt=软K⑹薯〕十斡⑹釣十割K⑹薯〕
（6-15）
式（6■⑸即为非饱和流的基本微分方程，称为Richards方程。
上述方程中，既含有含水率0,又含有水头H,为解决问题方便起见，可以把基本微分方程化成以下几种表达形式。
（1）以含水率肋因变量的表达式：
前已述及,非饱和带的水头H=S又由水分特征曲线、毛管压力水头hc和含水率吐间存在着函数关系，因此（6■⑸式可改写为：
乡-炉喘鈿获⑹鵲卜歙⑹翳〕十黠
（7-16）
d札1_1
一矿一^弋
de
由于水分持征曲线各处的斜率不同，C不是常数.而是随含水率師变的变数，即c=c⑹。
令:
参数D（e）是渗透系数和容水度的比值，称为扩散系数，量纲为[L^T-1]O它是一个重要的参数。
引入D⑹以后，（6・16）式变为：
黑燈〕務®閹+克
（6-18）
这是二阶的非线性偏微分方程。
对于一维的垂直流动，可简化为：
裁親"亀士警
（6-19）
z轴向上取正值，z轴向下取负值。
（2）以毛管压力水头为因变量的表达式：
从水分特征曲线可知，毛管压力水率之间存在着函数
关系。
因此，非饱和土的渗透系数同样是毛管压力水头的函数，即K=K（人）或K®,C=C（hc）或C（讷。
于是，
»=K（0）
（6-20）
黑一环薯〕-訊w約—软®为十譬
（6-21）
考虑到
一CW兽十訊喲+弊仞野J+/〔K0磐〕一卑护=0（6-22）
饱和一非饱和流的表达式：
在饱和一非饰
和流动中，常以压强p或水头H为因变量，有r如果不忽略密度的变化，连续性方程（6・14河写为：
+divC^w）=0
（6-23）
再将v用运动方程（6・13）代入，容重Y=pg,
含水率e=nSw,则得：
彩（®Sw）=▽♦£p+Pg”〉］
（6-24）
该方程中的某些参数的取值范围如下：
饱和帯非饱和带
〃>0,Sw=*1P<0,Sw=Sw〈Q）;S出MV1
A（5w>=$=常数
对于Sw>S%
o对于ofSwM片。
以上考虑的模型都是单相流模型，只研究水的运动，即凡是水流到的地方，空气自然被排走。
实际上，岩石空隙是既存在空气也存在水的二相系统，也必然是更复杂的模型，这里就不介绍了,请读者参考有关的专著。
思考题:
2・图6・5为一个
垂直入渗情况下的饱和一非饱和流动模型O地面入渗率为R（t）,潜水面的埋深S（t）随时间而变化，初始埋深为
s（0）=L,潜水含水层底板隔水。
试写出该情况下的饱和一非饱和流动的数学模型。
他在建立微分方程时应用了下列假定：
（1）具有原生孔隙的岩层中广泛发育有随机分布的裂隙，二者都充满着整个研究区，形成两个重叠的连续系统。
也就是说，孔隙和裂隙的分布彼此都是连续的。
即所谓的“二重性”假定。
双重介质的名称即由此而来。
根据这一假定，在渗流区中的每个点上都有两个水头，一个是孔隙水头H,另一个是裂隙水头Hf；
（2）孔隙以贮水为主，裂隙以导水为主，水自孔隙经裂隙流向别处，其总的渗透性决定于裂隙的渗透性；水在裂隙中的流动服从Darcy定律;
⑶孔隙和裂隙的初始水头相等，它们之间交换的水量与其水头差成正比，即：
QPf=C（H-Hf）
（6-25）
式中，Qpf为单位体积的含水层在单位时间内从孔隙流入裂隙的水量，C是比例常数;
含水层骨架可以压缩，但其固体颗粒的压
缩性忽略不计，看成是刚性的。
6.2.2微分方程的建立
根据上述假定和水流连续性原理，可以建立裂隙承压含水层的微分方程。
仍然考虑图1-29中那个单元体的水均衡，所取坐标轴和主渗透方向一致。
根据第二个假定，这个单元体中的水通过裂隙流入、流出，并服从Darcy定律。
因此，在At时段内沿x轴方向流入这个单元体与流出这
个单元体的水量之差（净流入这单元体的水量）
为:
式中，心为裂隙的主渗透系数（与X轴平行）。
同理可得，&时段内沿y轴方向和z轴方向净流入这个单元体的水量分别为：
式中，心、紇为裂隙的主渗透系数（分别与y轴和z轴平行）。
根据假设，孔隙中释放出的水要
C（H—HJX'yWZ
因此，在At时间内单元体中总的水量变化（净流入量）为：
任沁警］+器馮f|+訓欝）+w-旳〕gs
（6-25）
这个时间内，单元体内由于贮存的变化所引
起的水量变化为:
式中M为裂隙贮水率。
者应相等。
于是得
劭略讐）十謝殆等|+割心韵十+黔
（6-26）
同理，对孔隙有
C（W-H.）=艸警
（6-27）
式中，心、心、心为沿x,y,z轴方向孔隙的主渗透系数，儿为岩块的贮水率。
由于孔隙中的水力坡降很小，可以认为：
靛禺+外禺+即闍"
故有
鴛匚心-
（6-28）
_c
式中r,称为承压水迁移系数。
为了建立关干
Hf的方程，把（6・28）式改写为
十7（27—=一・
这是关于（H—Hf）的一阶线性微分方程。
按已
知公式，可求得其道解为:
（6-29）
再利用初始条件:
片（才・*0）=HQ.*。
〉=
带入上式，可得c=o。
有此求得其解为H=H（-f-dr
Jod工
（6-30）
把它代入（6・28）式可得：
篦=7{H{—II）-Ze
（6-31）
把它代入（6・26）式，便可得只包括裂隙水头
Hf的方程:
（6-32）
上式是描述承压双重介质裂隙水流的基本微分方程。
在二维情况下可简化为：
£（7-響十1（^制"警十厂张心黔
（6-33）
式中兄、兀为裂隙的主导水系数（分别与x，y轴平行）。
”/为裂隙和岩块的贮水系数。
把上述方程和描述多孔介质中渗流的基本微分方程比较，其不同之处只是多了一项：
吨厂…祭（二维情况下为呵宀"割）
从前面的讨论中不难发现，它表示：
娱黑—列或川韵
因此，它的物理意义为单位时间内单位体积含水层（二维情况下为单位面积的柱体）中从孔隙流入裂隙的水量。
它是一个和时间有关的量，抽水早期，即t值很小时，它很小，抽出的水主要来自裂隙内水的释放，从而造成裂隙水头的迅速下降。
随着时间的增长，这一水量相应地增大，裂隙水头的下降速度也随之减缓。
可见，多孔岩块中的水是逐渐释放出来的。
这是由该数学表达式的性质决定的，从而造成孔隙水头的下降落后于裂隙水头的下降，在时间上存在着迟后。
因此，这部分水量也可以称为延迟弹性释水量。
随着时间的增长，迟后效应逐渐变小，孔隙中释放的水量逐渐跟得上裂隙中水位的下降，最后迟后效应小到可以忽略不计。
和潜水Boulton方程比较,不难发现，两者在形式上是相似的，都包含有延迟效应项，即延迟弹性释水量项和潜水迟后重力排水项。
但前音有明确的物理含意。
延迟弹性释水项中包含一个新的参数
承压水迁移系数丫。
根据定义，其中比例常数C是反映孔隙和裂隙之间水量交换特征的参数，与孔隙的渗透系数K及多孔岩块的几何特征有关。
T.D.Streltsova（1976）认为,C=K/L,L为岩块的特征长度，用岩块的平均大小或岩块中心到
■III
它表面的平均距离来表示。
所以丫值取决于K,L,〃等，它是反映孔隙、裂隙发育情况及其连通程度的特征量。
丫越小，从孔隙向裂隙运移的水量越少，延迟时间越长；反之，丫越大，从孔隙向裂隙运穆的水量越多，延迟的时间越短。
对无压含水层，相应近似的裂隙水流基本方
程，在二维情况下为：
訥普）十訓驚i黔皿”必…黔
（6-34）
Ch
式中,称为水迁移系数，h为含水层厚度。
方程右端第二项的物理含意为延迟弹性释水量与延迟重力排水量之和。
对于完整抽水井，如果含水层是均质、等厚的承压含水层，抽水前，所有裂隙和孔隙中的静水压力相等，以定流量抽水，则有：
（6-35）
式中，Sf为裂隙中的降深，此时有定解条件：
过渡带的形成和演化过程。
Ill
这是一个不稳定的不可逆转的过程。
水动力弥散是由溶质在多孔介质中的机械弥散和分子扩散所引起的。
兹分述如下。
（1）机械弥散
l¥l
在多孔介质中，无论液体运动速度的大小还是方向，都是很不均一的。
这主要和下列情况有关：
由于液体有粘滞性以及结合水对重力水的摩擦阻力，使得最靠近隙壁部分的（重力）水流速度趋近于零，向轴部流速逐渐增大，至轴部最大，孔隙的大小不一，造成不同孔隙间轴部最大流速有差异，孔隙本身弯弯曲曲，水流方向也随之不断改变，因此对水流平均方向而言，具体流线的位置在空间是摆动的。
这几种现象是同时发生的，由此造成开始时彼此靠近的示踪剂质点群在流动过程中不是一律按平均流速运动，而是不断向周围扩展，超出按平均流速所预期的扩展范围。
沿平均速度方向和垂直它的方向上，都可以看到这种扩展现象。
液体通过多孔介质流动时，由于速度不均一所造成的这种物质运移现象称为机械弥散。
（2）分子扩散
分子扩散是由于液体中所含溶质的浓度不均一而引起的一种物质运移现象。
浓度梯度使得物质从浓度高的地方向浓度低的地方运移，以求浓度趋向均一。
因此，即使在静止液体中也会发生分子扩散，使示踪剂扩散到越来越大的范围。
分子扩散使同一流束内的浓度趋于均一，而且相邻流束间在浓度梯度的作用下也有物质交换，导致横向浓度差的减小。
i=.
物理学的知识告诉我们,分子扩散服从Fick定律。
该定律揭示了溶液中溶质的扩散，在单位时间内通过单位面积的溶质质量入与该溶质的浓度梯度成正比，即：
人一及空
式中：
芸为该溶质在溶液中的浓度c沿方向S变化的浓度梯度，比例系数Dd称为扩散系数,量纲为[L^T1]o不同溶质的扩散系数各不相同，同一物质在不同温度下的扩散系数也不同。
在浓度低的情况下，可以认为它是一个与浓度无关的常数。
由于扩散是沿着浓度减小的方向进行的，而扩散系数总是正的，所以式中要加一负号。
液体在多孔介质中流动时，机械弥散和分子扩散是同时出现的，事实上也不可分。
这种划分带有某种人为的性质。
事实上，“纯”机械弥散不可能存在。
因为当示踪剂质点沿着微小的流管运移时，分子扩散不仅使流管中的浓度趋于拉平，而且还使示踪剂质点从一条流管移向相邻的另一条流管，导致横向浓度差的减小。
但分子扩散，即使在没有水流运动的情况下也能单独存在。
当流速较大时，机械弥散是主要的；当流速甚小时，分子扩散的作用就变得很明显。
显然，机械弥散和分子扩散都会使溶质既沿平均流动方向扩展又沿垂直于它的方向扩展。
前者称为纵向弥散，后者称为横向弥散。
除了机械弥散和分子扩散外，某些其它现象也会影响多孔介质中溶质的浓度分布，如多孔介质中固体颗粒表面对溶质的吸附、沉淀，水对固体骨架的溶解及离子交换等。
此外，液体内部的化学反应也可导致溶质浓度的变化。
6・3.2水动力弥散系数
由于多孔介质几何结构的复杂性，从微观水平上研究一个点的运动规律实际上足不可能的；同样，从微观水平宋研究弥散也是困难的。
因此，和定义渗流速度一样，也从宏观上来描述弥散现象，亦即将其定义在典型单元体（REV）上的平均值。
分子扩散服从Fick定律，通过实验和理想
模型的研究，证实机械弥散也能用这个定律来描述。
根据Fick定律，多孔介质中的分子扩散可用下式描述:
1"=—D"•grade
式中，D”为多孔介质中的分子扩散系数，量纲为[1?
卩1],是二秩张量；c为该溶质在溶液中的浓度；L为由于分于扩散在单位时间内通过单位面积的溶质质量，对于机械弥散有:
1'=一D'•grade
式中，D，为机械弥散系数，量纲为[L2TA],也是二秩张量；I，为由于机械弥散造成的个单位时
间内通过单位面积的溶质质量，C的含义同前。
D，和D"的量纲相同，由此定义水动力弥散系数D：
£）—"4-D"
D也是二秩张量。
由于水动力弥散在单位时间内通过单位面积的溶质的质量则为i=r十I”=一D•grade,如果我们选择x轴与该点处的平均流速方向一致，y轴和z轴则与平均流速方向垂直，则上式也可以写成下列更容易被我们理解的形式：
匚一心訂・—D金
iT=亠儿竺
JJ
10
01
Jr
de
I右
0-
此时水动力弥散系数张量:
d0
0Dyy01
10
0D~」
坐标轴方向称为弥散主轴。
Doe称为纵向弥散系数，Dyy,%称为横向弥散系数。
由于弥散主铀的方向依赖于流速方向，即使在均质各向同性介质中，各点弥散主轴的方向也会随着水流方向的改变而各不相同。
III
水动力弥散系数在研究地下水物质运移问题中是一个很重要的参数。
通过大量在末固结的多孔介质中的实验，得到了如图7-10所示的曲
线。
图中纵坐标是从实验室得到的纵向弥散系数Dl与溶质在所研究的液相中的分子扩散系数Dd的比值，横坐标是一个无量纲的量：
（a）几“兀
图6-10分于扩散和水动力弥散间的关系（据J.Bear）
称为Peclet数。
其中，u为实际平均流速，d为多孔介质的某种特征长度，如多孔介质的平均粒径等。
该无量纲数表示实际流速和分子扩散系数相比的相对大小，Pe数愈大，表示流速相对愈大。
根据这条曲线的变化情况，大致上可以分五个区。
第实际流速很小，以分子扩散为主，相当于曲线上寻接近于常数的一段。
nil
第II区：
对应的Peclet数Pe约在0.4到5之间，曲线开始向上弯曲，机械弥散已达到和分子扩散相同的数量级。
因此，应当研究两者的和,而不应忽略其中的任何一个。
第III区：
物质运移主要由机械弥散和横向分子扩散相结合而产生。
横向分子扩散往往会削弱纵向的物质运移，实验结果得出DL/Dd=a（Pe）m,a=0.5,1VMV1.2。
第IV区：
以机械弥能为主，分子扩散的作用已经可以忽略不计，但流速尚未达到偏离Darcy定律的程度。
本区相当于图中的直线部分。
实验给出于DL/Dd=pPe,P=1.8o
第V区；仍属于机械弥散为主的区域，与第IV区的区别在于水流速度已达到越出Darcy定律适用的范围。
惯性力和紊流的影响造成纵向物质运移的减少，曲线斜率减缓。
横向弥散试验得到了和纵向弥散相类似的
结果。
1述曲线说明，弥散系数和水流速度、分子扩散有关。
它们间的关系如下式所示：
%=££勺4誉/XPe,。
）
式中：
巧一一机瀛散系数，为一个二秩对称张量，这是它的一个分量；
捡”一一多孔介质的弥散度，为一四秩张量；在饱和流动中它反映多孔介质固体骨架的几何性质，量纲为［L］；
U实际平均流速，Uk,Um分别为它在
一一表示水流通道形状持征的系数,无量
纲;
『＜Pe，。
=2+F^+4^在微观水平上考虑相邻流线之间内分子扩散所引起的对物质运移影响的因数，这个影响和机械弥散是不可分的。
Pe较大时，由f（Pe，刃的表达式可以看出，f（Pe—戶1。
也就是说，分子扩散对机械弥散系数的影响就变得微不足道了。
这时机械弥散系数和实际平均流速之间呈线件关系。
对于大多数实际问题来说，都属于这种情形，总是假定，f（Pe,刃=1。
如果在某一点上选择坐标轴，使得其中一个
坐标油（如f轴）祁该点处的平均流速方向一致（即
—Dfvy=二D'xv=—IY=…=0
式中，«L,OCT分别称为纵向弥散度和横向弥散
度。
纵向机械弥散系数几和横向机械弥散系数儿，及2称为弥散系数的主值。
由于弥散主轴依赖于水流方向，所以除了均匀流（％=常数，uy=uz=0）以外，一般说来即使在各向同性介质中
各点的弥散系数也各不相同，随空间位置而变化。
6.3.3对流一弥散方程及其定解条件
考虑由某种溶质和溶剂组成的二元体系。
以充满液体的渗流区内任一点P为中心，取一无限小的六面体单元，各边长为Ax、Ay和Az,选择x轴与p点处的平均流速方向一致，来研究该单元中溶质的质量守恒。
先研究由水动力弥散所引起的物质运移。
在At时间内，由于弥散和水流运动所引起的单元
体内总的溶质质量变化为
警+影+
韵+警2+瞥+弩鬥皿3
在At时间内:
单元体内「溶质的浓度发生了券△'的变化，单元体内的液体体积为OAXAyAZ,则由它所引起的该单元体中溶质质量的变化为:
n号心3△乙△/
根据磺'量守恒定律，上述两者应该相等，当坐标轴与水流平均流速方向_致时，经过整理、简化后得到：
ded
3z
上式称为对流一弥散方
升级会员 