二次函数中常见的几种综合题型.docx
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二次函数中常见的几种综合题型
二次函数常见的几类综合题型
一
求线段最大值及根据面积求点坐标问题
1、如图，已知抛物线
2
轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，
y=x+bx+c的图象与x
且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点
M作MN∥y轴交直线BC于点N，
求MN的最大值；
（3）在
（2）的条件下，MN取得最大值时，若点
P是抛物线在
x轴下方图象上任意一点，
以BC为边作平行四边形
CBPQ，设平行四边形
CBPQ的面积为
S1，△ABN的面积为S2，
且S1=6S2，求点P的坐标．
2.如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中
点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值
二求三角形周长及面积的最值问题
2
3.如图，已知抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）如图
（2），若E是线段
轴的直线交抛物线于点F，交
AD上的一个动点（E与A、D不重合），过
x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF
E点作平行于
的面积为S．
y
①求S与
m的函数关系式；
②S是否存在最大值？
若存在，求出最大值及此时点
E的坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点
C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在
（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？
若存在，求出点
D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是
（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大
面积及E点的坐标．
三为等腰或直角三角形是求点坐标问题
5.如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于
A、B两点，抛物线
y=x2+bx+c经过
A、B两点，点
C是抛
物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？
若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．
6、如图，抛物线
2
y=x+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的
坐标为（2，0）
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．
（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
7、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点
P为第三象限内抛物线上的一点，设
△PAC的面积为
S，求
S的最大值并求出此
时点
P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直
角三角形？
若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
四四边形与二次函数问题
8、如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以
A，C，M，N
四点构成的
四边形为平行四边形？
若存在，求点
N的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图，抛物线
y=
x2+bx+c与
x轴交于点
A（2，0），交
y轴于点
B（0，
）．直线
y=kx
过点
A与y轴交于点
C，与抛物线的另一个交点是
D．
（1）求抛物线
y=
x2+bx+c与直线
y=kx
的解析式；
（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作
AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：
是否存在这样的点P，使四边形PMEC
y轴的平行线，交直线是平行四边形？
若存在请
求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在
（2）的条件下，作
PN⊥AD于点
N，设△PMN
的周长为
l，点
P的横坐标为
x，求
l与x的函数
关系式，并求出
l的最大值．
10.如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行
四边形？
若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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