奥数解析二分与合.docx
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奥数解析二分与合
《奥赛天天练》第7讲，拓展提高，习题2
【题目】
按1，2，3.。
。
。
。
。
，9的顺序走，一共有多少种走法？
【解法一】这一题首先要找规律，找不到规律，盲目的数，显然很难得到准确的答案。
有什么规律呢？
如图所示：
图一：
走法线路图图二：
走法数量图
首先从1走到2有2（1+1）种走法，从2走到3共有4（1+2+1）种走法。
各有一种走法到左右两个3，中间的3有两种走法可以到达。
从3走到4有8（1+3+3+1）种走法，各有一种走法到第一个4和第四个4，中间两个4各有3（1+2）种走法。
以此类推，从1到5的走法数量正好符合杨辉三角形数表的规律，共有16（1+4+6+4+1）种走法。
但从6开始，数阵的排列有了变化，每行数字的个数由递增变为递减，成倒三角形状，但仍然可以运用杨辉三角形规律来寻找答案，如图：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
172135352171
18285670562881
所以，这题的答案是共有70种走法。
显然上面的解法虽说条理清楚，规律性强，应用面广，但一年级学生难以接受。
对于学生可以应用下面解法：
【解法二】首先我们给题目的表中数字从左到右依次编上序号：
1
21 22
313233
41424344
5152535455
61636264
717273
8182
9
然后我们仔细看图：
先从1出发走到2，可以走到21和22，由于表格的对称性，分别从21和22出发走到9的走法种类一样多。
我们只需找出从21到9的走法共多少种，再翻一倍就可以了。
再考虑从21出发走到9的走法种类。
从21出发走到3，可以走到31和32，分成两大类考虑。
第一大类：
从21由31到9的走法共15种。
第一种情况经过41有5种：
①一种：
1213141516171819；②四种：
1213141526171819、1213141526271819、1213141526272819、1213141526272829。
第二种情况经过42有10种：
①四种：
由42经过52，同上面第②类情况相似（从相同的数字到9的种类都一样多。
）②六种：
由4253经过62到9有三种（经过62到9前面已经数过。
）；由4253经过63到9有三种1213142536373829、1213142536372819、1213142536372829。
第二大类：
从21由32到9的走法共20种。
从32到9分为两种情况，分别经过42和43，由于表格的对称性这两种情况的种类一样都是10种（由42到9的种类前面已经数过。
）
所以从21出发走到9的走法共35种，35+35=70，从1走到9
的走法共70种。
示意图：
奥数解析
（二）分与合
《奥赛天天练》第９讲，巩固训练，习题2
【题目】：
现有1元硬币多个，2元和5元纸币好多张。
买一本书要用10元，你怎么拿？
【解法】：
可以分为三类考虑：
第一类，只用一种币值的人民币付钱有三种拿法：
10个1元硬币；5张2元纸币；2张5元纸币。
第二类：
用两种面值的人民币付钱共有5种拿法：
（一）、用1元硬币和5元纸币付钱有一种拿法：
5个1元硬币和1张5元纸币。
（二）、用1元硬币和2元纸币付钱有四种拿法：
1张2元纸币和8个1元硬币；2张2元纸币和6个1元硬币；3张2元纸币和4个1元硬币；4张2元纸币和2个1元硬币。
第三类：
用三种面值的人民币付钱有两种拿法：
一张5元纸币、2张2元纸币和1个1元硬币；一张5元纸币、1张2元纸币和3个1元硬币.
3+5+2=10（种）
所以，共有10种拿法。
这种解法运用的是加法原理，先把解决问题的方法分为几大类，求出每一类各有多少种解决问题的方法，再把它们加起来。
这种方法解题的关键是如何合理地分类，做到不重不漏。
《奥赛天天练》第９讲，拓展提高，习题2，第
（2）小题
【题目】：
使4个小圆圈的数合起来是正中大圆圈里的数。
【解法】：
要使4个数的和是9，最小的数是1（这里还不要求学生考虑0的情况），最大的数应该小于等于6，我们可以使用加法原理，先分为四大类：
一、最大的数是6有一种填法：
6、1、1、1。
二、最大的数是5有一种填法：
5、2、1、1。
三、最大的数是4有两种填法：
4、2、2、1；4、3、1、1
四、最大的数是3有两种填法：
3、2、2、2；3、3、2、1
（最大的数是2时，四个数的和是8，不符合题目要求。
）
1+1+2+2=6（种）
所以，在不考虑四个数的顺序的情况下，共有6种填法。
《奥赛天天练》第21讲，数积木
数积木有两种数法：
分层数或一排一排地数。
一排一排地数原理和分层数是一样的，但方法比较烦琐，如果孩子有兴趣了解一下就可以了，如果孩子没兴趣可以不介绍。
下面主要介绍第一种数法：
分层数。
首先，从最高层开始数，再按顺序依次向下一层一层地数。
最高层积木个数：
最高层积木因为都看得见可以直接数出。
其余各层的积木个数：
除了最高层外，其余各层的积木一般分为两类情况，一类是看得见的积木个数（看的见的积木个数有时为0），可以直接数出；另一类是看不见的积木个数，看不见的积木个数就是被上一层遮住的个数，与上一层积木的个数相同。
所以，只要先数出每一层看得见的积木个数，再加上上一层积木的个数，就是这一层积木的个数。
数出各层积木个数后，再加起来就是积木的总数。
注意：
数之前最好先在草稿纸上写好小标题（如“第一层:
”“第二层:
”），数出每一层积木个数后，在小标题后面注上数字，避免出错。
例如：
第21讲，模仿训练，练习2
从上往下先数出第一层（最高层）3个；第二层看得见的2个，共有2+3=5个；第三层看得见的1个，共有5+1=6个。
三层共有3+5+6=14个。
指导孩子作如下书面记录：
第一层：
3个
第二层：
2+3=5（个）
第三层：
1+5=6（个）
总个数：
3+5+6=14（个）
《奥赛天天练》第22讲《比比长短》，这一讲首先是通过直观的
现象让孩子理解“两点之间线段最短”这一公理。
其次是让孩子
从感性上认知，“路”弯的越厉害，路线就越长！
第三，让孩子
学会数单位线段（方格的边长）的段数和斜线段（方格的对角线）
的段数，并掌握通过比较线段的段数来比较总路线的长短的技能。
《奥赛天天练》第22讲，拓展与提高，习题1
【解析】
先帮助孩子列出表格，再让孩子自己数出各种
线段的段数，填入表格：
第一只兔子
第二只兔子
第三只兔子
横竖线段
8段
10段
5段
一格对角线
1段
2段
3段
两格对角线
1段
0段
0段
再根据表中数据进行比较，因为两个单位长度线段比一格对
角线的长度要长，第三只兔子的行走路线分别与前两只兔子的行
走路线比较，得出第三只兔子的行走路线最短。
又因为三只兔子
走得一样快（这个条件也是不可少的），所以第三只兔子最先吃
到萝卜。
《奥赛天天练》第2４讲，一半问题
一半问题其实就是用倒推法解一些很简单的应用题，这种解题方法是通过多次的，分步的乘加或乘减混合运算，从题目的现有数据出发，通过一步步的推理得出初始数据。
这种解题方法有利于培养孩子的逻辑思维能力。
针对一年级孩子需要注意的是，涉及到乘以2和除以2的计算要转化成加法计算或数的组成来解说，因为一年级还没有学习乘除法计算。
巩固训练，习题1
【题目】：
小白兔和小灰兔拔的萝卜一起放进筐里，小白兔说：
“我拔的萝卜是筐里萝卜总数的一半多一个。
”小灰兔说：
“筐里的萝卜只有4个是我拔的。
”问筐里一共有多少个萝卜？
【解析】：
因为筐里的萝卜除了小白兔拔的就是小灰兔拔的，综合两只兔子的话可以得出：
小灰兔拔的4个萝卜是筐里萝卜总数的一半少一个,或者说小白兔如果给小灰兔一个，小灰兔的萝卜就是筐里萝卜总数的一半了，让孩子明白这一点是解题的关键。
接下来，应该先求出总数的一半就是:
4+1=5（个），再求出总数：
5+5=10（个）。
拓展与提高，习题1
【题目】：
小平有20本图书，各种数的本数如下图那样分配，他有几本数学书？
【解析】
题中的图形是个扇形统计图，首先要帮助孩子理解扇形统计图的含义，通过此题初步认识扇形统计图并获得解题的已知条件：
数学书占图书总数的一半的一半。
再根据数的组成解题：
因为20=10+10，所以数学书和故事书共有10本；
又因为10=5+5，所以数学书有5本。
《奥赛天天练》第25讲，锯木头
这一讲的教学目标就是让孩子了解一排物体的个数和这一排物体中相邻两个物体之间的间隔的个数之间的关系，理解掌握用的最为广泛的数量关系式：
物体个数-1=间隔个数，初步学会运用这个数量关系式解决简单的实际问题。
针对一年级孩子需要注意的是，他们生活经验不太丰富，理解、使用上面的关系式有点困难。
这一讲的学习方式要以直观演示和实践活动为主。
这一讲内容可以分为两个部分。
第一部分是爬楼问题，可以把孩子带到楼梯房，让孩子在爬楼的实践活动中，知道什么是一楼？
（一楼就是楼下，是不需要爬楼就可以到达的地方。
），由一楼到二楼爬了几层楼？
由1楼到5楼爬了几层楼？
由3楼爬到6楼爬了几层楼？
引导孩子得出规律：
实际爬楼层数=到达楼层-开始楼层，如果从一楼开始爬，也就是：
实际爬楼层数=到达楼层-１。
例如：
模仿训练，练习2：
【题目】：
张奶奶家住在六楼，她每上一层楼要走2分钟，张奶奶从一楼走到家要用多少分钟？
【解答】：
爬楼层数：
6-1=5（层）
所用时间：
2+2+2+2+2=10（分钟）
巩固训练，习题1：
【题目】：
小勇家住在一栋楼的四楼，他从一楼爬到二楼，有18级台阶，小勇从楼下走到家，要走多少级台阶？
【解答】：
爬楼层数：
4-1=3（层）
所走台阶级数：
18+18+18=54（级）
第二部分：
其他问题。
主要通过摆模型（可以用积木代替），或画出示意图，让孩子看模型或看图，领会物体个数与间隔之间的关系。
例如：
巩固训练，习题2：
【题目】：
一座大钟，1点敲1下，几点就敲几下，2点时要敲2下，两下之间的间隔要用2秒，共用4秒敲完。
问10点钟要敲10下，多少秒才能敲完？
【解析】：
首先通过下图，帮助孩子理解敲2下共用4秒时间，这个4秒时间的分配：
2秒
在通过示意图，帮助孩子理解“敲10下”的时间，包括敲10下和9个间隔的总时间：
2秒2秒2秒2秒2秒2秒2秒2秒2秒
所以，敲完的总时间是：
10+2+2+2+2+2+2+2+2+2=28（秒）
拓展与提高，习题1：
【题目】：
小明用15张纸订成一个本子，从头数起，每隔3页夹进一片树叶，问这个本子内共夹进多少片树叶？
【解析】
这一题可以用一本15张纸的本子（没有，可以自己订一个。
）和树叶实际操作一下，来讲解。
也可以作如下的图示，来讲解此题。
如上图，把15张纸按3张纸一组可以分成5组，因为，3+3+3+3+3=15.那么相邻的两个组之间的间隔就：
5-1=4（个）。
所以，这个本子内共夹进4片树叶。
《奥赛天天练》第３０讲，算式谜
一年级奥数题多数都比较简单，几乎百分之八十的孩子都可以参与奥数学习，（随着难度的增加，就像玄幻小说中的异能练习一样，有些孩子受天赋的约束，可能就无法坚持下去了）。
一年级孩子学习奥数，主要目标不是学会解决一些简单问题，而是掌握解决问题的方法，为以后运用这些方法解决更复杂的问题打好基础。
算式谜的难度梯度很大，这类问题的解决方法是：
首先是认真审题，整体思考，寻找突破口，突破口可能是一个或多个，把能算的先算出来。
第二是从突破口出发，把已经算出来的和题目给出的数据作为条件，通过逐步的推理，求出其余的问题。
第三，要适当运用估算的知识。
一年级奥数中的算式谜很简单，可以分为两类。
第一类：
完成简单的不进位不退位的一步竖式，孩子一般都能独立完成。
第二类：
主要是有两步竖式的、涉及进位退位的和答案不唯一或不能直接算出唯一答案，需要试算的。
模仿训练，练习2：
在□里填上合适的数：
（1）7□
-□8
22
【解析】：
这一题有两种解法。
解法一：
从个位出发，想“10”减8等于2，被减数个位怎么得到“10”呢？
显然所以被减数个位上应填0，借1成10；再考虑十位上7被借走1个只剩下6，想6减“4”等于2，所以，减数的十位上要填4。
解法二：
换个角度思考，22加上几十八等于七十几。
想个位上2加8等于“10”，写0进1，所以被减数个位上应填0；再想7去掉进位的1个得6，十位上2加“4”等于6，所以减数十位上应填4。
巩固训练：
习题1：
你知道每个汉字各代表几吗？
（3）大明（4）友1
+明明+友好
568友
大=（）友=（）
明=（）好=（）
【解析】：
这两题有相似的地方。
第（3）小题，突破口在个位上，两个相同的数“明”相加的和个位是6，“明”有两种可能：
3和8（这儿容易把8丢掉，要引导孩子有序查找和的个位是6的数，而不能仅仅想到6）。
考虑十位上和为5，所以：
“明”=3，“大”=5-3=2。
第（4）小题，突破口在十位上，和的十位上是8，是双数，个位上肯定没有进位，两个相同的数“友”相加的和是8，所以“友”=4，“好”＝4-1＝3。
巩固训练，习题2：
每个图形各代表几？
△△△
△△
△
△
+△
500
△=（）
【解析】：
这一题的突破口在百位上，和的百位上是5，所以第一个加上的百位上数字应该是4或5，又因为和的十位上是0，所以肯定向百位进1了，所以△=（4）。
这一题做完后，应该让孩子检验一下。
拓展提高，习题1：
（1） △○
（2）△○
-○△-○△
△□
△=（），○=（）； △=（），○=（），□=（）
【解析】：
这两小题有个共同的特点，被减数和减数的十位上是两个不同的数，差的十位上是0，通过这个条件可以得出△比○大1，因为个位不够减，退1后，与○相等，减得的差为0。
而被减数和减数的十位上都是○减△，因为○比△小1，借1作10，再减△，差就比10少1，即9。
所以：
第
（1）小题中，△=9，○=9-1=8。
第
（2）小题中，□=9，△与○可以选任意两个相邻的非0（十位上数字不能为0）自然数，这题的答案不唯一，可依据△的取值从2到9，一次得到对应的○的取值从1到8，这题共有8种答案。
拓展提高，习题2：
猜一猜，每个算式中的汉字代表的数是几？
（1）学习
-学习
爱8
-爱
71
爱=（），学=（），习=（）
【解析】：
这一题的突破口在第二步竖式个位的“爱”字上，很容易推出爱=7，根据爱=7，7为单数，而两个相同的数“学”相加的和肯定为双数，所以两个相同的“学”相加的和肯定是6，个位上进1才得到7。
由上可得：
爱=7；学+学=6，学=3；习+习=18，习=9。
《奥赛天天练》第３１讲，拓展提高，习题1
【题目】：
把1、2、3、4、5、6六个数填在下图的六个圆圈里（每个数只能用一次），使每条直线上的三个数相加的和都等于10：
○
∕﹨
○○
∕﹨
○—○—○
【解析】：
首先算出六个圆圈里六个数的和：
1+2+3+4+5+6=21；再算出
三条直线上的三个10的总和：
10+10+10=30。
会发现30比21多9，多的9是怎么来的呢？
因为每条边上都有三个数，我们算的三条边上的三个和的总和，就是9个数的和，其中三个顶点的三个数都计算了两遍，比原来的六个数多算了三个数，重复计算的三个顶点的三个数的和就是9。
解决这个问题的关键就是算出三个顶点的三个数的和，再在1-6六个数中找出和是9的三个数，把三个顶点的数确定好。
在1、2、3、4、5、6六个数中，和为9，只有三种情况：
①1+2+6=9；②1+3+5=9；③2+3+4=9。
第①种情况不符合要求，因为两个顶点为1和2，要使这条边上三个数的和为10，这条边中间的数必须是7，而这六个数中没有7；
第③种情况也不符合要求，因为两个顶点为3和4时，要使这条边上三个数的和为10，这条边中间的数必须是3，那么3就出现了两次；
第②种情况是可以的，三个顶点分别填1、3、5，每条边中间的数对应的是6、2、4。
这种题型有时有多种答案，但，这题只有一种答案，就是第②种情况。
《奥赛天天练》第３１讲，拓展提高，习题2
【题目】：
请你将下面的7快图形，拼成一个正方形，要求拼成的正方形，无论横行、竖行、斜行上的四个数的和都相等。
【解析】：
第一步：
分析计算
这一题共有十六个数，首先确定每行每列都是四个数（题中已有说明）。
然后，算出这16个数的总和是120，每一行每一列四个数的和应该是30。
第二步：
操作活动
用硬纸板把题中的7块图形做成卡片，依据上面的计算结果，实际拼一拼，找出答案。
奥赛天天练》第３２讲，巩固训练，习题1
【题目】：
把3、4、5、6、32、33、34、35这八个数填入下面的两个算式中（每个数只能用一次）：
⑴□+□-□=□
⑵□+□-□=□
【解析】：
这道题解题的关键在于合理分组。
仔细观察给出的八个数的特点：
两组，每组四个连续自然数。
根据这八个数的特点，可以有多种分组方法，所以这题的解法非常多，要完整的给出题目的所有解法，做到不重不漏，就需要进行有序的分组。
首先，对八个数进行分组。
第一类分组方法，只有一种，即前四个连续自然数为一组，后四个连续自然数为一组，得到一种组合：
3+6=4+5；32+35=33+34。
第二类分组方法，共有三种，我们把八个数大、小搭配分成四组，得到和相等的四个加法算式：
①3+35；②4+34；③5+33；④6+32。
把这四个算式相互搭配得到三种组合，第一种：
①=②、③=④；第二种：
①=③、②=④；第三种：
①=④、②=③。
所以，八个数共有四种分组方法。
再根据每种分组完成⑴、⑵两小题的填空，如果不考虑每个加法算式中加数位置的变化，可以得到四种不同的基本的填法，如果考虑到每个加法算式中加数位置的变化，填法就非常多了。
《奥赛天天练》第３２讲，巩固训练，习题2
【题目】：
兔妈妈拔来31个萝卜，准备放在5个盘子里，每个盘子里放的萝卜个数都不相等。
如果你要1-31个萝卜中的任何个数，那么只要端一些盘子进行组合就能满足。
每个盘子里放几个？
（图形略）
【解析】：
这一题里，每个盘子里萝卜的个数应该是一个公比为2，首项为1的等比数列：
1、2、4、8、16。
这个数列最大的特点就是数列中的每一项都是前面所有项的和加1，正是这个数列的这个特点满足了题目的要求。
例如，我们可以拿1个、2个、3个（1+2）、4个、5个（1+4）……。
这道题是奥数中的一种经典题型，它的答案即这个数列，在小学高年级的有关分数运算的奥数中，用的非常多，通过这题的讲解，最好能让孩子对这个数列，有个初步的认识，能记住数列的前几项。
《奥赛天天练》第３２讲，拓展提高，习题1
【题目】：
把下面的钟面用一条直线分成两部分，使每一部分的数相加的和都相等。
（钟面略）
【解析】：
因为钟面上的数是1-12这12个连续的自然数。
连续自然数都是等差数列，都有相同的特征，即可以按大、小两两分组（首尾搭配）得到若干个和相同的组合：
12、1；11、2；10、3；9、4；8、5；7、6。
既然要用一条直线把钟面分成两部分，使每一部分的数相加的和都相等，则每部分应有三组数，根据这些数在钟面上的位置，这条直线应该在10和3的下方，9和4的上方。
《奥赛天天练》第３２讲，拓展提高，习题2
【题目】：
将0、1、2、3、7、8、9几个数字分别填入下面的□内，使算式成立。
①②③④⑤⑥⑦
□+□=□□-□=□□
【解析】：
解决这一题，需要估算和一步步的推理。
如上图，我已经给7个方框编了号。
首先我们可以确定第6个方框里的数。
因为①和②两个一位数相加最多只能得到一十多，一个数的最高位又不能为0，所以，第6个方框里的数一定是1。
第二步，我们可以确定第3个方框里的数。
因为减一个一位数得一十多，这个数只能是一十多或二十多，又因为1已经用过了，所以，第3个方框里的数一定是2。
第三步，我们可以确定第4个方框里的数。
这个数可以这样推理：
剩下的几个方框里都不可能填0。
第1、2、5三个方框如果填0就得不到最后的得数一十多；因为第4、5两个方框里是不同的数，第7个方框也不可能为0。
所以，第四个方框里的数肯定是0。
第4个方框里的数，还可以通过对剩下的数试填得到，例如，填3时，23减7、8或9，个位依次是6、5、4，而这三个数都不符合要求，显然，不能填3。
剩下3、7、8、9四个数，可以从第1、2、7这三个方框着手，考虑和的个位数字特征，只有8+9=17，符合要求。
因此第1、2两个方框里填8和9，第7个方框里填7，第5个方框里填3。
完成这样的题目，需要孩子有很强的估算能力和很好的数感，平时可以通过让孩子多读数、写数、想数的分成、熟练口算等培养孩子的数感。
《奥赛天天练》第4２讲，拓展提高，习题2
【题目】：
小丽、小玲、小平三人进行跑步比赛。
赛后小丽说：
我不是第2名；小玲说：
我不是第1名；小平说：
我前面没有人。
小朋友，你知道他们的名次吗？
【解析】：
这题关键是让孩子初步熟悉列表法解题。
解决这类问题的方法，是通过对已经条件进行逻辑推理，作出判断，当已知条件比较多，各个条件之间的关系错综复杂时，就需要列出表格，对众多的条件进行梳理，对推理出来的结论在表格中即时记录，以便于运用已经条件和已推出的结论再进行二次、三次......推理，最终找出题目的结论。
第一步：
列出表格
第一名
第二名
第三名
小丽
×
×
√
小玲
×
√
×
小平
√
×
×
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