六年级奥数教案1.docx
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六年级奥数教案1
六年级奥数教案
巧算求和
教学目标：
巧妙的运用分数的拆分来进行简便运算。
教学重难点：
能够灵活运用此方法进行这一类型的简便计算。
教学方法：
讲授法、练习法
教学过程：
步骤
教学过程
个人加减
新课教学
出示例1
计算1/2+1/6+1/12+1/20
常规分析：
按照常规方法，这是一题普通的异分母分数加法，我们一般采用通分的方法。
1/2+1/6+1/12+1/20
＝60/120+20/120+10/120+6/120
＝96/120
＝4/5
创新点拨：
仔细观察每个分数有什么特殊的地方，不难看出，分子都是1，而分母可以写成1×2，2×3，3×4，4×5，即每个分母都可以写成两个连续自然数的积，于是每个分数都可以拆成两个分数的差：
1/2＝1/1×2＝1-1/2，1/6＝1/2×3＝1/2－1/3，1/12＝1/3×4＝1/3-1/4，1/20＝1/4×5＝1/4-1/5。
所以可以引导学生作如下解答：
1/2+1/6+1/12+1/20
＝1－1/2＋1/2－1/3＋1/3－1/4＋1/4－1/5
＝1－1/5
＝4/5
出示例2
计算2/3×5＋2/5×7＋2/7×9＋2/9×11
常规分析：
异分母分数相加，先通分，再相加，比较麻烦。
创新点拨：
仔细观察不难发现，每个分数的分子都是2，而分母都是两个自然数的积，而分子恰好等于分母的两个自然数的差。
5－3＝2，7－5＝2，9－7＝2，11－9＝2，于是有解答：
2/3×5＋2/5×7＋2/7×9＋2/9×11
＝1/3－1/5＋1/5－1/7＋1/7－1/9＋1/9－1/11
＝1/3－1/11
＝8/33
小结：
在做分数加法运算时，将其中一些分数适当拆开后的一些分数可以相互抵消，以达到简化运算的目的。
自主检测：
1、求1/2＋1/6＋1/12＋1/30的值。
2、求1/6＋1/12＋1/20＋1/30＋1/42的值。
分数的拆分
（一）
教学目标：
学会分析数的特点和运算技巧、法则、定律以及性质来进行简便计算。
教学重难点：
能够灵活运用此方法进行这一类型的拆分计算。
教学方法：
讲授法、练习法
教学过程：
步骤
教学过程
个人加减
新授
出示例1
0.7777×0.7＋0.1111×2.1
常规分析：
我们可以按照顺序进行计算。
0.7777×0.7＋0.1111×2.1＝0.54439＋0.23331＝0.7777
创新点拨：
运算定律中除了加法的交换律、结合律以外，还有其他的交换律、结合律、分配律。
而运用乘法分配律时，必须有一个因数相同。
这一题直接看上去0.7777×0.7与0.7777×0.7没有相同的因数，但仔细观察，适当进行交换，就会发现其中可以变成一个因数相同。
0.7777×0.7＋0.1111×2.1
＝0.1111×7×0.7＋0.1111×2.1
＝0.1111×4.9＋0.1111×2.1
＝0.1111×（4.9＋2.1）
＝0.1111×7
＝0.7777
出示例2：
计算33/5×252/5＋37.9×62/5
常规分析：
按顺序去做。
创新点拨：
我们把注意点集中在33/5和62/5上，因为它们的和为10。
但是它们相乘的另一个因数相同时，我们才能运用乘法分配律简化运算。
因此我们不难想到把37.9分成25.4（即252/5）与12.5部分。
当出现12.5与6.4相乘时，我们又可以将6.4看成8×0.8，这样计算就简便多了。
解答：
33/5×252/5＋37.9×62/5
＝33/5×252/5＋（25.4＋12.5）×6.4
＝（3.6＋6.4）×25.4＋12.5×8×0.8
＝254＋80
＝334
总结
在这里，运用运算定律的关键是按照要求，结合对数的观察与思考，灵活对题中的数进行适当的处理变换，然后运用定律，使计算简便。
自主检测：
1、49/13＋31/9＋511/13＋26/13
2、139×137/138＋137×11/138
分数的拆分
（二）
教学目标：
学会分析算式的特点和使原式家（减）一个数的方法，使计算朝着预想的方面发展。
教学重难点：
能够灵活运用此方法进行这一类型的拆分计算。
教学方法：
讲授法、练习法
教学过程：
步骤
教学过程
个人加减
新授
出示例1
1－1/2－1/4－1/8－1/16－1/32
常规分析：
我们可以按照顺序进行计算。
1－1/2－1/4－1/8－1/16－1/32
＝1/2－1/4－1/8－1/16－1/32
＝1/4－1/8－1/16－1/32
＝……
＝1/32
创新点拨：
如果按照常规方法，先通分后再求差，计算起来很繁杂。
但是我们把这题再多加一个1/32，就会发现非常有趣。
1－1/2－1/4－1/8－1/16－1/32
＝1－（1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋1/32）＋1/32
＝1－（1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/16）＋1/32
＝1－（1/2＋1/4＋1/8＋1/8）＋1/32
＝1－（1/2＋1/4＋1/4）＋1/32
＝1－（1/2＋1/2）＋1/32
＝1－1＋1/32
＝1/32
出示例2：
计算（1＋1/2）（1＋1/4）（1＋1/6）…（1+1/10）（1－1/3）（1－1/5）…（1－1/9）
常规分析：
（1＋1/2）（1＋1/4）（1＋1/6）…（1+1/10）（1－1/3）（1－1/5）…（1－1/9）
＝3/2×5/4×7/6×…2/3×6/7×8/9
＝1.1
创新点拨：
看上去算式间没有丝毫的联系，因而即使想简便计算也无从下手，但仔细观察算式，我们还是能发现这九个算式是有联系的，只不过这些算式分的比较开，不能一下子想到，不信你看：
（1＋1/2）（1－1/3）＝1，（1＋1/4）（1－1/5）＝1，…（1＋1/8）（1－1/9）＝1，所以（1＋1/2）（1＋1/4）（1＋1/6）…（1+1/10）（1－1/3）（1－1/5）…（1－1/9）＝1.1
总结
在这一讲里，我们讲的简便运算其实都跟仔细观察计算有关，经过适当的变换，也能运用运算定律或性质而使计算简便。
自主检测：
1、计算90＋91/2＋11/4＋9001/8＋90001/16
2、计算（1＋1/2）×（1－1/2）×（1＋1/3）×（1－1/3）×…×（1＋1/99）×（1－1/99）。
包含与排除
教学目标：
能够运用包含排除原理或容斥原理解决抽象的数学原理。
教学内容：
教科书第29页例1、例2和自主检测。
教学重难点：
能够灵活运用此方法进行这一类问题的解答。
教学方法：
讲授法、练习法
教学过程：
步骤
教学过程
个人加减
新授
出示例1：
求50以内的5的倍数和7的倍数的数的个数。
常规分析：
我们把50以内的5的倍数找出来，再把7的倍数找出来，然后再数出它们的个数。
解答：
50以内5的倍数有：
5，10，15，20，25，30，35，40，45，50。
50以内7的倍数有：
7，14，21，28，35，42，49。
50以内5和7的倍数有16个。
创新点拨：
50以内是5的倍数和7的倍数的个数，既包括5的倍数又包括7的倍数，但如果一个数既是5的倍数、在5的倍数里算了，又在7的倍数也算了，这样实际就重复算了一次，应把重复的那次减掉。
解答：
50÷5＝10，50÷7＝7…1，10+7-1＝16
出示例2：
在从1代2004的自然数中，不能被2整除，也不能被3整除的数的个数等于（）。
常规分析：
在1……2004的自然数中，能被2整除的有2004÷2＝1002，2004÷3＝668，能同时被2、3整除的有2004÷6＝334。
当我们从2004里减去1002，再减去668时，实际把334个同时被2、3整除的数重复多减了一次，所以应该补上。
创新点拨：
先求出被2整除，也能被3整除的数的个数，剩下的就是不能被2整除，也不能被3整除的数的个数。
解答：
2004－（1002＋668－334）=2004－1336=668（个）其中（1002＋668－334）是指能被2整除和能被3整除的数的个数。
总结
在解决这类问题时要注意重复计算的部分。
自主检测：
教材第30页的两题。
包含与排除
（二）
教学目标：
能够运用包含排除原理或容斥原理把问题转化成相应的数学模型。
教学重难点：
能够灵活运用此方法进行这一类问题的解答。
教学方法：
讲授法、练习法
教学过程：
步骤
教学过程
个人加减
新授
出示例1：
某班50个学生，每人至少参加一个兴趣小组，其中37人参加科技组，25人参加作文组，求同时参加两个兴趣小组的人数相当于全班人数的百分之几？
常规分析：
全班至少参加一个兴趣小组，37人参加科技组，25人参加作文组，37＋25＝62。
62>50，为什么会62>50？
因为我们把同时参加两个兴趣小组的人数重复计算了一下，所以我们可以我们可以把这类问题还原成容斥原理这样一个数学模型。
将作文组的人数加上科技组的人数，再减去全班的总人数，可以得到两个兴趣小组都参加的人数。
解答：
37＋25－50＝12（人）
12÷50＝24％
创新点拨：
37÷50＋25÷50－1＝74％＋50％－1＝24％。
出示例2：
常规分析：
10人中，80％的人精通彩电修理业务，70％的人精通冰箱修理业务，但还有10％的人两项业务都不熟悉，也就是说，至少精通一门业务的人只有10人中的90％，然后再运用容斥原理。
解答：
10×80％＝8，10×70％＝7，10×10％＝1，〔8＋7－（10－1）〕÷10＝6÷10＝60％。
创新点拨：
1－10％＝90％，80％＋70％－90％＝60％
总结
灵活运用题中的条件还原各类数学问题。
自主检测：
第32页1、2两题。
平面图形
（一）
教学目标：
熟练的运用周长与面积的计算
教学重难点：
能够灵活运用此方法进行这一类问题的解答。
教学方法：
讲授法、练习法
教学过程：
步骤
教学过程
个人加减
新授
出示例1：
四个长方形和一个正方形拼成了一个大正方形，大正方形的面积是49平方厘米，小正方形的面积是9平方厘米。
问长方形的短边长度是几厘米？
常规分析：
从图中，我们很容易发现长方形的面积，如果我们再能知道长方形长边与短边的关系，那就能求出长方形的短边的长度。
仔细观察，我们发现长方形长边是短边与小正方形边长的和。
解：
因为7×7＝49，大正方形的边长是7厘米，同样，3×3＝9，小正方形的边长是3厘米。
（7－3）÷2＝2（厘米）
设长方形的短边是X厘米，长边就是（X＋3）厘米。
X（X＋3）＝10，虽然我们不能按照规定格式解这个方程，但我们用尝试法，很容易得出X=2.
创新点拨：
找出短边与长边的关系，可能更利于问题的解决。
解答：
因为7×7＝49，大正方形的边长就是好7厘米。
同样，3×3＝9，小正方形的边长是3厘米。
根据（7－3）÷2＝2厘米。
出示例2：
右图中圆的周长是何24厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等。
图中阴影部分的周长是多少厘米？
常规分析：
要求阴影部分的周长是多少？
我们可用长方形的周长减去两个宽
（12＋4）×2－4×2＋24×1/4＝30厘米
创新点拨：
24×5/4＝30厘米
总结
从不同的角度去思考，主要抓住图形是怎样变化的，变化的过程中哪些变了，哪些没有变，找到解题的突破口。
自主检测：
第37页第一题和第二题。
平面图形
（二）
教学目标：
熟练的运用周长与面积的计算
教学重难点：
能够灵活运用此方法进行这一类问题的解答。
教学方法：
讲授法、练习法
教学过程：
步骤
教学过程
个人加减
新授
出示例1：
四个同样的长方形拼成如下的图形。
长方形的长是8厘米，宽是2厘米，求阴影部分的面积。
常规分析：
（2＋8）×（2＋8）－2×8×4＝10×10－64＝36平方厘米
创新点拨：
（8－2）×（8－2）＝6×6＝36平方厘米
出示例2：
一个长方形，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积分别是20平方米、25平方米和30平方米。
问另一个长方形是多少平方米？
A25B20
D？
C30
常规分析：
可以用假设法去做，思考的步骤比较复杂。
创新分析：
用比的方法，长方形B与C的面积比是2：
3，那么长方形A与D的面积比也是2：
3，已知A的面积是25平方米，那么D的面积就是25÷2×3＝37.5平方米。
总结
求一个规则图形的面积。
我们可以通过它与其他图形的关系去求，也可以直接根据该图形的面积公式去求。
自主检测：
第39页第一题和第二题。
工程问题
（一）
教学目标：
充分的了解工作总量既可以用一个具体的量来表示，也可以看做单位“1”，相对应的工作效率用一个具体的数量或用单位时间完成工作总量的几分之几来表示。
教学重难点：
能够灵活运用此方法进行这一类问题的解答。
教学方法：
讲授法、练习法
教学过程：
步骤
教学过程
个人加减
新授
出示例1：
某工厂原计划10小时完成8000个零件，实际8小时就完成了任务。
实际的工作效率比原计划提高了百分之几？
常规分析：
8000÷10＝800个，8000÷8＝1000个，（1000－800）÷800＝25％。
创新点拨：
如果我们把零件总个数看做单位“1”，那么原计划10小时完成，每小时就完成总任务的1/10，实际8小时完成，每小时就完成总任务的1/8。
（1/8－1/10）÷1/10＝1/40÷1/10＝25％。
出示例2：
在为希望工程捐款活动中，市实验小学共筹集捐款1800元。
校长测算后对某班同学说：
这些捐款如果用来买课桌，可买30张课桌；如果用来买椅子，可买60把椅子。
现在该校准备买成套的桌椅送给希望工程，问可以买得起多少套课桌椅？
常规分析：
1800÷（1800÷30＋1800÷60）＝1800÷90＝20套
创新点拨：
如果我们把捐的总钱数看作单位1，就可以看做每张桌子是总钱的1/30，每把椅子是总钱的1/60
解答：
1÷（1/30＋1/60）＝1÷1/20＝20套。
总结
在这样的题型中，用一个具体的量来解决，似乎步骤复杂，而运用单位1来解决就好多了。
自主检测：
44页第1、2题。
工程问题
（二）
教学目标：
充分的了解工作总量既可以用一个具体的量来表示，也可以看做单位“1”，相对应的工作效率用一个具体的数量或用单位时间完成工作总量的几分之几来表示。
教学重难点：
能够灵活运用此方法进行这一类问题的解答。
教学方法：
讲授法、练习法
教学过程：
步骤
教学过程
个人加减
新授
出示例1：
修一条公路，甲队单独修15天完工，乙队单独修12天完工。
两队合修4天后，乙队调走，剩下的由甲队继续修完。
甲队一共用了多社天？
常规分析：
可以用假设法设甲队一共用了X天
1/15×X＋1/12×4＝1，1/15×X＝2/3，X＝10
创新点拨：
如果我们把总任务看做单位“1”，那么甲队的工作效率就是1/15，但甲队的工作总量没有直接告诉我们，所以要先求甲队的工作总量。
由于整个一条公路是甲乙合修的，因此除了甲修的就是乙修的。
（1－1/12×4）÷1/15＝2/3÷1/15＝10天
出示例2：
甲乙两队开挖一条水渠。
甲队单独挖需要8天完成，乙队单独开挖需要12天完成。
现在两队同时开挖了几天后，乙队调走，余下的由甲队3天内完成，乙队挖了多少天？
常规分析：
用假设法，设两队合挖了X天，列方程为：
（1/8＋1/12）×X＋1/8×3＝1
X＝3
创新点拨：
把水渠的全长看做单位1，从单位1中减去甲队3天挖的，剩下的就是甲乙两队共同挖的。
列式：
（1－1/8×3）÷（1/8＋1/12）＝（1－3/8）÷5/24＝5/8÷5/24＝3天
总结
在这样的题型中，通常分为两部分。
我们用单位1减去其中的一部分工作总量求出另一部分工作总量。
再用工作总量除以工作效率得到工作时间。
自主检测：
46页第1、2题。
工程问题（三）
教学目标：
充分的了解工作总量既可以用一个具体的量来表示，也可以看做单位“1”，相对应的工作效率用一个具体的数量或用单位时间完成工作总量的几分之几来表示。
教学重难点：
能够灵活运用此方法进行这一类问题的解答。
教学方法：
讲授法、练习法
教学过程：
步骤
教学过程
个人加减
新授
出示例1：
某工程，甲乙合作1天可以完成全工程的5/24，如果这项工程由甲队单独做2天，再由乙队单独做3天，能完成全工程的13/24。
两队单独完成这项工程需要多少天？
常规分析：
可以用假设法设甲队单独完成后这项工程要X天，那么乙队每天完成全工程的（5/24－1/X）.根据这项工程由甲队单独作2天，再由乙队单独做3天，能完成全工程的13/24，可列出方程：
1/X×2＋（5/24－1/X）×3=13/24,X＝12。
创新点拨：
这项工程由甲队单独做2天，再由乙队单独做3天，也可以由甲乙两队合作两天，再加上乙队单独做1天。
现在甲乙合作1天可以完成全工程升温5/24，那么2天可以完成全工程的10/24，乙队单独做1天，能完成全工程的3/24。
1÷（13/24－5/24×2）＝1÷（13/24－10/24）＝8天，1÷（5/24－1/8）＝1÷1/12＝12天
出示例2：
某工程由甲队单独做63天，再由乙单独接着做28天可以完成，如果甲乙两队合作需48天完成，现在甲先单独做42天，然后再由乙单独接着做，还需要多少天完成？
常规分析：
如果甲队单独完成这项工程需要X天，那么乙队每天完成全工程的（1/48－1/X），根据甲队独做63天，再由乙队独做28天，列出方程
1/X×63＋（1/48－1/X）×28＝1，
X＝84
创新点拨：
由甲队单独做63天，再由乙单独接着做28天可以完成，也可以看做由甲乙两队合作28天，再加上甲队单独做了35天完成。
甲乙两队合作需48天完成，合作28天完成总任务的28/48，剩下总任务的（1－28/48）甲队单独做了35天。
（63－28）÷（1－28/48）＝35÷5/12＝84天，
1÷（1/48-1/84）＝1÷1/112＝112天，
（1－1/84×42）÷1/112＝1/2÷1/112＝56天
总结
其实甲乙合作3天，与甲单独做了3天，乙单独做了3天的意思是一样的。
要根据题目的要求合理的进行相应的转化。
自主检测：
48页的第1、2题。
分数百分数应用题
（一）
教学目标：
充分的了解每一个分数百分数是把什么看做单位“1”，把握弄清每一个分数的意义。
教学重难点：
能够灵活运用此方法进行这一类问题的解答。
教学方法：
讲授法、练习法
教学过程：
步骤
教学过程
个人加减
新授
出示例1：
在某电视塔的亮化工程中，每天共用电160千瓦时，比采用节能灯前每天节约240千瓦时。
节约百分之几？
常规分析：
分析时有些同学容易把这样的问题看做是一个数比量一个数多多少与另一个数比这个数少多少是一样的。
误认为现在比原来节约了几分之几就是原来比现在多几分之几，从本质上没有分清谁是单位1。
从而得出解答：
240÷160＝150％
创新点拨：
求节约几分之几。
首先要明确这个百分数的意义，即表示的是什么数占什么数的百分之几？
从题意中。
我们知道节约百分之几，表示现在比原来节约是原来的几分之几。
因此有必要先求出原来的每天的用电量。
解答：
240÷（160＋240）＝60％
出示例2：
一件产品，现在每件的售价是1496元，比原来降价15%.这种产品每件降价多少元？
常规分析：
比原来降价多少元，误认为比1496元降价多少元，把15％的单位1理解为1496元。
1496×15％＝124.4（元）
创新点拨：
比原来降价15%,这里的单位1是原价，不是现价1496元。
现价的对应分数是（1－15％）＝85％，也就是1496元相当于原价的85％，而我们要求的是原价的15％。
1496÷（1－15％）×15％＝264元
总结
在这样的题型中，找准单位1非常重要，正确的理解题意，我们可以从有分率的语句去找。
自主检测：
51页第1、2题。
分数百分数应用题
（二）
教学目标：
充分的了解每一个分数百分数是把什么看做单位“1”，判断要看清楚哪些发生了变化。
教学重难点：
能够灵活运用此方法进行这一类问题的解答。
教学方法：
讲授法、练习法
教学过程：
步骤
教学过程
个人加减
新授
出示例1：
某乡要修建一条长5000米的环山水渠，第一期工程修了全长的20％，第二期修了第一期的70％。
两期工程一共修了多少米？
常规分析：
第一期工程修了全长的20％，第二期修了第一期的70％。
误认为两期一共修了全长的（20％＋70％）
5000×（20％＋70％）＝4500米
创新点拨：
第一期修了20％，20％的单位1是全长，而第二期的70％的单位1是第一期，所以这两个单位1是不同的，单位1不同，我们不能把这两个百分数直接相加。
解答：
5000×20％＋5000×20％×70％＝1700米
出示例2：
玩具店透过那时出售两件玩具，各为12元，一件可以赚25％，另一件赔25％，那么同时出售这两件玩具，是赚还是赔？
常规分析：
误解一件可以赚25％，另一件赔25％，就是不赔不赚。
创新点拨：
一件可以赚25％，另一件赔25％，这两件都是以原价为单位1，所以必须要求出原价才能判断赔赚。
120÷（1＋25％）＋120÷（1－25％）＝256元
因为256元大于240元，所以出售这两件玩具是赔了。
总结
判断单位1是否发生变化非常重要，一定要仔细的观察有没有细微的变化，不能被表面的现象所迷惑。
自主检测：
53页第1、2题。
立体图形
（一）
教学目标：
通过丰富的想象能力和看图能力来求组合立体图形的表面积和体积、立方体的堆码问题、几何体的凿眼打洞问题以及表面积的最大、最小问题。
教学重难点：
能够灵活运用此方法进行这一类问题的解答。
教学方法：
讲授法、练习法
教学过程：
步骤
教学过程
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新授
出示例1：
把底面积是9平方厘米的两个小正方体拼成一个好大长方体（如图），长方体的表面积是多少平方厘米？
常规分析：
9×6×2－9×2＝90平方厘米
创新点拨：
按照上面的分析，要求拼合后的立体图形的表面积，应该考虑拼合后的少了几个面。
那么如果是3个正方体、4个正方体……拼合在一起，会少几个面？
它们的表面积又该如何解决？
正方体的个数
拼合的个数
减少的面的个数
2
1
2＝2×1
3
2
4＝2×2
4
3
6＝2×3
出示例2：
将高是1米，底面半径分别是0.5米、1米、1.5米的三个圆柱体。
组成一个立体图形。
求这个立体图形的表面积。
常规分析：
先求每个圆柱体的表面积，再减去拼接处的少掉的底面积，但这样做，既麻烦又费时。
创新点拨：
仔细观察，我们可以发现向上部分的表面积之和恰好是大圆柱的底面面积，实际这个立体图形的表面积就是求一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
3.14×1.52×2＋3.14×1.5×2＋3.14×0.5×2×1＋3.14×
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