完整版知识点127直接开平方法解答题.docx

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完整版知识点127直接开平方法解答题

1．（2010•三明）

（1）请从三个代数式4x2﹣y2，2xy+y2，4x2+4xy+y2中，任选两个构造一个分式，并化简该分式；

（2）解方程：

（x﹣1）2+2x﹣3=0．

考点：

解一元二次方程-直接开平方法；分式的混合运算；分式的化简求值。

分析：

（1）根据所给代数式的特点，三个代数式分解因式后都有公因式，因而可以任意进行组合．

（2）对方程进行变形后，再应用直接开平方法解答．

解答：

解：

（1）本题答案不唯一．

（2分）

=（6分）

=（8分）

②=；

③=；

④；

⑤；

⑥．

（2）x2﹣2x+1+2x﹣3=0（3分）

x2﹣2=0

x2=2（6分）

∴x1=，x2=﹣．（8分）

点评：

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：

x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：

要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

2．（2010•鞍山）解方程：

（1）（2x+3）2﹣25=0

（2）3x2﹣5x+5=7．

考点：

解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法。

分析：

（1）把常数项25移到方程的右边，运用直接开平方法解方程，注意把2x+3看作一个整体；

（2）可以运用因式分解法解方程．

解答：

解：

（1）（2x+3）2=25，

2x+3=±5，

2x=±5﹣3，

x1=1，x2=﹣4．

（2）3x2﹣5x﹣2=0

（x﹣2）（3x+1）=0，

x1=2，x2=﹣．

点评：

此题考查了运用直接开平方法解方程和运用因式分解法解方程的方法．

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：

x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．

法则：

要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

3．（2009•定西）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：

a⊕b=a2﹣b2，求方程（4⊕3）⊕x=24的解．

考点：

解一元二次方程-直接开平方法。

专题：

新定义。

分析：

此题是新定义题型，应该严格按照题中给出的计算法则进行运算，其中有小括号的要先算小括号．

解答：

解：

∵a⊕b=a2﹣b2，

∴（4⊕3）⊕x=（42﹣32）⊕x=7⊕x=72﹣x2

∴72﹣x2=24

∴x2=25．

∴x=±5．

点评：

考查了学生的数学应用能力和解题技能，这是典型的新定义题型，解这类题应该严格按照题中给出的计算法则进行运算．易错点是要把小括号里算出的代数式看做是整体代入下一步骤中计算．

4．（2008•长春）解方程：

x2﹣6x+9=（5﹣2x）2

考点：

解一元二次方程-直接开平方法。

专题：

计算题。

分析：

把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．

解答：

解：

∵（x﹣3）2=（5﹣2x）2，

∴x﹣3=5﹣2x或x﹣3=2x﹣5

解之得：

x1=2，x2=．

点评：

解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．

5．（2005•济南）解一元二次方程：

（x﹣1）2=4．

考点：

解一元二次方程-直接开平方法。

专题：

计算题。

分析：

方程左边为完全平方的形式，开方直接解答便可得出x﹣1的值，进而求x．

解答：

解：

（x﹣1）2=4，x﹣1=±2，x=3或x=﹣1．

点评：

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：

x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：

要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

6．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则是a※b=a2﹣b2，根据这个规则，求方程（x+2）※5=0的解．

考点：

解一元二次方程-直接开平方法。

专题：

新定义。

分析：

本题可根据所给的条件，将（x+2）※5=0变形，再对方程左边进行因式分解得到两个相乘的式子，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．

解答：

解：

∵a※b=a2﹣b2

∴（x+2）※5=（x+2）2﹣25，

原方程转化为（x+2）2﹣25=0，即（x+2）2=25

∴x+2=5或x+2=﹣5

x1=﹣7，x2=3

点评：

本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．

7．解方程：

64（1+x）2=100

考点：

解一元二次方程-直接开平方法。

分析：

先把方程系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．

解答：

解：

原式可化为（1+x）2=

解得：

x1=，x2=﹣．

点评：

解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：

x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：

要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

8．解方程：

（1）（x+1）2=9；

（2）2x2+5x﹣3=0．

考点：

解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法。

分析：

先观察再确定各方程的解法；

（1）用直接开平方法，

（2）用因式分解法解方程．

解答：

解：

（1）直接开平方，得：

x+1=±3，

解得：

x1=2，x2=﹣4；

（2）因式分解，得：

（x+3）（2x﹣1）=0，

x+3=0或2x﹣1=0，

解得：

x1=﹣3，x2=．

点评：

本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

9．已知方程x2+（m﹣1）x+m﹣10=0的一个根是3，求m的值及方程的另一个根．

考点：

解一元二次方程-直接开平方法；一元二次方程的解。

专题：

计算题。

分析：

一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=3代入原方程即可求得m及另一根的值．

解答：

解：

∵方程x2+（m﹣1）x+m﹣10=0的一个根是3，

∴方程9+3（m﹣1）+m﹣10=0，

即4m﹣4=0，

解得m=1；

有方程x2﹣9=0，

解得x=±3，

所以另一根为﹣3．

点评：

本题考查的是一元二次方程的根的定义．

10．解方程：

（3y﹣1）2=（y﹣3）2．

考点：

解一元二次方程-直接开平方法。

专题：

计算题。

分析：

由于方程两边都是完全平方式，这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程，即可求解．

解答：

解：

∵（3y﹣1）2=（y﹣3）2∴3y﹣1=±（y﹣3），

解得y1=1，y2=﹣1．

点评：

此题主要考查了直接开平方法，解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．

11．解方程16（x﹣2）2=64．

考点：

解一元二次方程-直接开平方法。

专题：

计算题。

分析：

将系数化为1后方程左边为完全平方式，然后利用数的开方来解答．

解答：

解：

∵（x﹣2）2=4，

∴x﹣2=2或﹣2，

∴x1=4，x2=0．

点评：

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：

x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：

要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

12．解方程：

（1）（x﹣1）2=4

（2）（x+2）（x﹣1）=0

（3）x2﹣2x﹣3=0

（4）x2+4x+2=0．

考点：

解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。

分析：

（1）运用直接开平方法解方程；

（2）（3）运用因式分解法解方程；

（4）运用公式法解方程．

解答：

解：

（1）开方得x﹣1=±2

即x﹣1=2或x﹣1=﹣2．

解得x1=3，x2=﹣1．

（2）∵（x+2）（x﹣1）=0

∴x+2=0或x﹣1=0

∴x1=﹣2，x2=1．

（3）∵x2﹣2x﹣3=0

∴（x+1）（x﹣3）=0，即x+1=0或x﹣3=0

解得x1=﹣1，x2=3．

（4）∵a=1，b=4，c=2

∴b2﹣4ac=16﹣8=8．

∴x=

即x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．

点评：

针对不同的方程的特点，选择合适的解方程的方法，可以简化计算．

13．用适当的方法解方程：

（1）（3x﹣1）2=49；

（2）．

考点：

解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法。

专题：

计算题。

分析：

（1）把3x﹣1看作整体直接开方即可求解．

（2）移项以后，提公因式2x﹣3，利用提公因式法可以把等号左边的式子分解，即可利用因式分解法解方程．

解答：

解：

（1）3x﹣1=±7

3x﹣1=7或3x﹣1=﹣7

∴x1=，x2=﹣2；

（2）（2x﹣3）2﹣（2x﹣3）=0

（2x﹣3）（2x﹣3﹣）=0

2x﹣3=0或2x﹣3﹣=0

∴x1=，x2=．

点评：

主要考查直接开平方法和因式分解法解方程．

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：

x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．

法则：

要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

14．请从以下一元二次方程中任选3个，并用适当的方法解这3个方程，

（1）x2﹣3x﹣3=0；

（2）（y+2）2=5；

（3）4（x+1）2=x+1；

（4）y（y﹣2）=2．

你选择的是第　

（1）

（2）（3）　小题．

考点：

解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。

分析：

（1）是一元二次方程的一般形式，可用公式法求解；

（2）方程左边为完全平方式，右边为非负数，可用直接开平方法求解；

（3）方程两边都含有公因式（x+1），先移项，再用提取公因式法求解．

解答：

解：

（1）用公式法：

a=1，b=﹣3，c=﹣3，

∵△=b2﹣4ac=21

∴x=，

即，；

（2）用直接开平方法，

由（y+2）2=5开平方，得

y+2=±

解得：

y1=﹣2+，y2=﹣2﹣；

（3）用因式分解法，

原方程移项，得4（x+1）2﹣（x+1）=0

提公因式，得（x+1）[4（x+1）﹣1]=0

解得x1=﹣1，x2=．

点评：

本题考查了解一元二次方程常用的几种方法，需要根据方程的特点，选择合理的方法；熟练掌握各种解题方法的步骤．

15．①计算

②