29等差数列及其前n项和2.docx
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29等差数列及其前n项和2
课题:
等差数列及其前n项和
一、考点梳理:
1.等差数列的有关概念
(1)定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
(2)等差中项:
数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a,b的等差中项.
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式:
an=a1+(n-1)d.
(2)前n项和公式:
Sn=na1+d=.
3.等差数列的四种判断方法
(1)定义法:
an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列.
(2)等差中项法:
2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(3)通项公式:
an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.
(4)前n项和公式:
Sn=An2+Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列.
4.活用等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:
an=am+(n-m)d,(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
二、基础自测:
1.已知等差数列{an}的公差为3,a3=4,若an=25,则n=________.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=,S4=20,则S6等于________.
3.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为________.
4已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=15,S5=55,则数列{an}的公差是( )
A.B.4C.-4D.-3
三、考点突破:
考点一、等差数列的基本运算
【例1】1.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=( )
A.58 B.88C.143D.176
2设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( )
A.3 B.4C.5D.6
3已知{an}是等差数列,a1=1,公差d≠0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8=________.
考点二、等差数列的判断与证明
【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2SnSn-1(n≥2且n∈N*).
(1)求证:
数列是等差数列.
(2)求Sn和an.
【变式】已知Sn为等差数列{an}的前n项和,bn=(n∈N*).求证:
数列{bn}是等差数列.
考点三、等差数列的性质及最值
【例3】
(1)已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是( )
A.18B.19C.20D.21
(2)设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=________.
【变式】在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.
[规律总结]
1.等差数列的性质
(1)项的性质:
在等差数列{an}中,am-an=(m-n)d⇔=d(m≠n),其几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.
(2)和的性质:
在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列
2.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法:
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法:
①a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;
②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
四、当堂检测
1.等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为( )
A.14 B.18C.21D.27
2.设数列{an}是公差d<0的等差数列,Sn为其前n项和,若S6=5a1+10d,则Sn取最大值时,n=( )
A.5B.6C.5或6D.6或7
3.已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,a7-a5=4,a11=21,Sk=9,则k=________.
4.已知一等差数列的前四项和为124,后四项和为156,各项和为210,则此等差数列的项数是________.
5.各项均为正数的数列{an}满足a=4Sn-2an-1(n∈N*),其中Sn为{an}的前n项和.
(1)求a1,a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
五、课后巩固:
1在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=( )
A.5B.8C.10D.14
2.设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1=( )
A.18B.20C.22D.24
3.已知等差数列{an}满足a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn=100,则n的值为( )
A.8B.9C.10D.11
4.等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前n项和Sn的最大值为( )
A.S7B.S6C.S5D.S4
5.已知每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=2(n∈N*且n≥2),则a81=( )
A.638B.639C.640D.641
6.已知递增的等差数列{an}满足a1=1,a3=a-4,则an=________.
7.已知等差数列{an}中,an≠0,若n≥2且an-1+an+1-a=0,S2n-1=38,则n等于________.
8.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|=________.
9.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有=,则+的值为____.
10.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=a+n-4(n∈N*).
(1)求证:
数列{an}为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
11.设同时满足条件:
①≤bn+1(n∈N*);②bn≤M(n∈N*,M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列.
(1)若数列{an}为等差数列,Sn是其前n项和:
a3=4,S3=18,求Sn;
(2)判断
(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列,并说明理由.
课题:
等差数列及其前n项和
一、考点梳理:
1.等差数列的有关概念
(1)定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
(2)等差中项:
数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a,b的等差中项.
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式:
an=a1+(n-1)d.
(2)前n项和公式:
Sn=na1+d=.
3.等差数列的四种判断方法
(1)定义法:
an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列.
(2)等差中项法:
2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(3)通项公式:
an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.
(4)前n项和公式:
Sn=An2+Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列.
4.活用等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:
an=am+(n-m)d,(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
二、基础自测:
1.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=( )
A.58 B.88C.143D.176
解析:
选B ∵a4+a8=16,∴a6=8,∴S11=11a6=88.
2.(2018·重庆高考)已知{an}是等差数列,a1=1,公差d≠0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8=________.
解析:
因为{an}为等差数列,且a1,a2,a5成等比数列,所以a1(a1+4d)=(a1+d)2,解得d=2a1=2,所以S8=64.答案:
64
3.(2018·安徽高考)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=( )
A.-6 B.-4C.-2D.2
解析:
选A 根据等差数列的定义和性质可得,S8=4(a3+a6),又S8=4a3,所以a6=0,又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=15,S5=55,则数列{an}的公差是( )
A.B.4C.-4D.-3
解析:
选B ∵{an}是等差数列,a4=15,S5=55,∴a1+a5=22,∴2a3=22,a3=11,∴公差d=a4-a3=4.
三、考点突破:
考点一、等差数列的基本运算
【例1】1.(2018·全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( )
A.3 B.4C.5D.6
解析:
选C 根据已知条件,得到am和am+1,再根据等差数列的定义得到公差d,最后建立关于a1和m的方程组求解.由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以等差数列的公差为d=am+1-am=3-2=1,由得解得
2.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=,S2=a3,则a2=________;Sn=________.
解析:
设等差数列的公差为d,则2a1+d=a1+2d,把a1=代入得d=,所以a2=a1+d=1,
Sn=na1+d=n(n+1).答案:
1
3.已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
解:
(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,由于a1=1,a3=-3,又a3=a1+2d,所以d=-2,
因此an=3-2n.
(2)由an=3-2n,得Sn=n=2n-n2,所以Sk=2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5,
又因为k∈N*,所以k=7.
考点二、等差数列的判断与证明
【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2SnSn-1(n≥2且n∈N*).
(1)求证:
数列是等差数列.
(2)求Sn和an.
[解]
(1)证明:
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1,①∴Sn(1+2Sn-1)=Sn-1.由上式知若Sn-1≠0,则Sn≠0.∵S1=a1≠0,由递推关系知Sn≠0(n∈N*),
由①式得-=2(n≥2).∴是等差数列,其中首项为==2,公差为2.
(2)∵=+2(n-1)=+2(n-1),∴Sn=.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,
当n=1时,a1=S1=不适合上式,∴an=
若将条件改为“a1=2,Sn=(n≥2)”,如何求解.
解:
(1)∵Sn=,∴==+2.∴-=2.∴是以为首项,以2为公差的等差数列.
(2)由
(1)知=+(n-1)×2=2n-,即Sn=.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=;
当n=1时,a1=2不适合an,故an=
【变式】已知Sn为等差数列{an}的前n项和,bn=(n∈N*).求证:
数列{bn}是等差数列.
证明:
设等差数列{an}的公差为d,Sn=na1+n(n-1)d,∴bn==a1+(n-1)d,bn+1-bn=a1+nd-a1-(n-1)d=(常数),∴数列{bn}是等差数列.
考点三、等差数列的性质及最值
【例3】
(1)已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是( )
A.18B.19C.20D.21
(2)设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=________.
[解析]
(1)a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.
(2)设两等差数列组成的和数列为{cn},由题意知新数列仍为等差数列且c1=7,c3=21,则c5=2c3-c1=2×21-7=35.[答案]
(1)C
(2)35
【变式】1.设数列{an}是公差d<0的等差数列,Sn为其前n项和,若S6=5a1+10d,则Sn取最大值时,n=( )
A.5B.6C.5或6D.6或7
解析:
选C 由题意得S6=6a1+15d=5a1+10d,所以a6=0,故当n=5或6时,Sn最大,选C.
[规律总结]
1.等差数列的性质
(1)项的性质:
在等差数列{an}中,am-an=(m-n)d⇔=d(m≠n),其几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.
(2)和的性质:
在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);②S2n-1=(2n-1)an.
2.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法:
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法:
①a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;
②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
四、当堂检测
1.等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为( )
A.14 B.18C.21D.27
解析:
选A 依题意得由此解得d=1,a1=2,a6=a1+5d=7,a1a6=14.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a11-a8=3,S11-S8=3,则使an>0的最小正整数n的值是( )
A.8B.9C.10D.11
解析:
选C ∵a11-a8=3d=3,∴d=1,∵S11-S8=a11+a10+a9=3a1+27d=3,∴a1=-8,
∴an=-8+(n-1)>0,解得n>9,因此使an>0的最小正整数n的值是10.
3.已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,a7-a5=4,a11=21,Sk=9,则k=________.
解析:
a7-a5=2d=4,则d=2.a1=a11-10d=21-20=1,Sk=k+×2=k2=9.又k∈N*,故k=3.
4.已知一等差数列的前四项和为124,后四项和为156,各项和为210,则此等差数列的项数是________.
解析:
设数列{an}为该等差数列,依题意得a1+an==70.∵Sn=210,Sn=,∴210=,∴n=6.答案:
6
5.各项均为正数的数列{an}满足a=4Sn-2an-1(n∈N*),其中Sn为{an}的前n项和.
(1)求a1,a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
解:
(1)当n=1时,a=4S1-2a1-1,即(a1-1)2=0,解得a1=1.
当n=2时,a=4S2-2a2-1=4a1+2a2-1=3+2a2,解得a2=3或a2=-1(舍去).
(2)a=4Sn-2an-1,①a=4Sn+1-2an+1-1.②②-①得:
a-a=4an+1-2an+1+2an=2(an+1+an),即(an+1-an)(an+1+an)=2(an+1+an).∵数列{an}各项均为正数,∴an+1+an>0,an+1-an=2,∴数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.∴an=2n-1.
五、课后巩固:
1.设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1=( )
A.18B.20C.22D.24
解:
B 由S10=S11,得a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11,即a11=0,所以a1-2(11-1)=0,解得a1=20.
2.已知等差数列{an}满足a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn=100,则n的值为( )
A.8B.9C.10D.11
解:
选C 由Sn-Sn-3=51得,an-2+an-1+an=51,所以an-1=17,又a2=3,Sn==100,
解得n=10.
3.等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前n项和Sn的最大值为( )
A.S7B.S6C.S5D.S4
解析:
选C ∵∴∴Sn的最大值为S5.
4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,S10>0并且S11=0,若Sn≤Sk对n∈N*恒成立,则正整数k构成的集合为( )
A.{5}B.{6}C.{5,6}D.{7}
解析:
选C 在等差数列{an}中,由S10>0,S11=0得,S10=>0⇒a1+a10>0⇒a5+a6>0,
S11==0⇒a1+a11=2a6=0,故可知等差数列{an}是递减数列且a6=0,所以S5=S6≥Sn,其中n∈N*,
所以k=5或6.
5.已知每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=2(n∈N*且n≥2),则a81=( )
A.638B.639C.640D.641
解析:
选C 由已知Sn-Sn-1=2可得,-=2,∴{}是以1为首项,2为公差的等差数列,故=2n-1,Sn=(2n-1)2,∴a81=S81-S80=1612-1592=640.
6.已知递增的等差数列{an}满足a1=1,a3=a-4,则an=________.
解析:
设等差数列的公差为d,∵a3=a-4,∴1+2d=(1+d)2-4,解得d2=4,即d=±2.由于该数列为递增数列,故d=2.∴an=1+(n-1)×2=2n-1.答案:
2n-1
7.已知等差数列{an}中,an≠0,若n≥2且an-1+an+1-a=0,S2n-1=38,则n等于________.
解析:
∵2an=an-1+an+1,又an-1+an+1-a=0,∴2an-a=0,即an(2-an)=0.∵an≠0,∴an=2.∴S2n-1=2(2n-1)=38,解得n=10.答案:
10
8.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|=________.
解析:
由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0得n≥5,
∴当n≤5时,an≤0,当n>5时,an>0,∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)
=20+110=130.答案:
130
9.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有=,则+的值为____.
解析:
∵{an},{bn}为等差数列,∴+=+==.∵====,∴=.答案:
10.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=a+n-4(n∈N*).
(1)求证:
数列{an}为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
解:
(1)证明:
当n=1时,有2a1=a+1-4,即a-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去).
当n≥2时,有2Sn-1=a+n-5,又2Sn=a+n-4,两式相减得2an=a-a+1,即a-2an+1=a,
也即(an-1)2=a,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.若an-1=-an-1,则an+an-1=1.而a1=3,
所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,
因此数列{an}为首项为3,公差为1的等差数列.
(2)由
(1)知a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)×1=n+2,即an=n+2.
11.设同时满足条件:
①≤bn+1(n∈N*);②bn≤M(n∈N*,M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列.
(1)若数列{an}为等差数列,Sn是其前n项和:
a3=4,S3=18,求Sn;
(2)判断
(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列,并说明理由.
解:
(1)设等差数列{an}的公差为d,则a1+2d=4,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,
∴Sn=na1+d=-n2+9n.
(2){Sn}是“特界”数列,理由如下:
由-Sn+1====-1<0,
得则当n=4或5时,Sn有最大值20,即Sn≤20,故数列{Sn}适合条件②.综上,数列{Sn}是“特界”数列.