29等差数列及其前n项和2.docx
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29等差数列及其前n项和2
课题：
等差数列及其前n项和
一、考点梳理：
1．等差数列的有关概念
（1）定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d（n∈N*，d为常数）．
（2）等差中项：
数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
（1）通项公式：
an＝a1＋（n－1）d.
（2）前n项和公式：
Sn＝na1＋d＝.
3．等差数列的四种判断方法
（1）定义法：
an＋1－an＝d（d是常数）⇔{an}是等差数列．
（2）等差中项法：
2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）⇔{an}是等差数列．
（3）通项公式：
an＝pn＋q（p，q为常数）⇔{an}是等差数列．
（4）前n项和公式：
Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）⇔{an}是等差数列．
4．活用等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广：
an＝am＋（n－m）d，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an.
（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列．
（4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
二、基础自测：
1．已知等差数列{an}的公差为3，a3＝4，若an＝25，则n＝________．
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6等于________．
3．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为________．
4已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝15，S5＝55，则数列{an}的公差是（ ）
A.B．4C．－4D．－3
三、考点突破：
考点一、等差数列的基本运算
【例1】1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）
A．58 B．88C．143D．176
2设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝（ ）
A．3 B．4C．5D．6
3已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.
考点二、等差数列的判断与证明
【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2SnSn－1（n≥2且n∈N*）．
（1）求证：
数列是等差数列．
（2）求Sn和an.
【变式】已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bn＝（n∈N*）．求证：
数列{bn}是等差数列．
考点三、等差数列的性质及最值
【例3】
（1）已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是（ ）
A．18B．19C．20D．21
（2）设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
【变式】在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
[规律总结]
1．等差数列的性质
（1）项的性质：
在等差数列{an}中，am－an＝（m－n）d⇔＝d（m≠n），其几何意义是点（n，an），（m，am）所在直线的斜率等于等差数列的公差．
（2）和的性质：
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列
2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
（1）函数法：
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：
①a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
四、当堂检测
1．等差数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为（ ）
A．14 B．18C．21D．27
2．设数列{an}是公差d<0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝（ ）
A．5B．6C．5或6D．6或7
3．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________.
4．已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．
5．各项均为正数的数列{an}满足a＝4Sn－2an－1（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和．
（1）求a1，a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
五、课后巩固：
1在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝（ ）
A．5B．8C．10D．14
2．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝（ ）
A．18B．20C．22D．24
3．已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51（n>3），Sn＝100，则n的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
4．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为（ ）
A．S7B．S6C．S5D．S4
5．已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝2（n∈N*且n≥2），则a81＝（ ）
A．638B．639C．640D．641
6．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，则an＝________.
7．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，则n等于________．
8．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10（n∈N*），则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
9.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为____．
10．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4（n∈N*）．
（1）求证：
数列{an}为等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
11．设同时满足条件：
①≤bn＋1（n∈N*）；②bn≤M（n∈N*，M是与n无关的常数）的无穷数列{bn}叫“特界”数列．
（1）若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和：
a3＝4，S3＝18，求Sn；
（2）判断
（1）中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由．
课题：
等差数列及其前n项和
一、考点梳理：
1．等差数列的有关概念
（1）定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d（n∈N*，d为常数）．
（2）等差中项：
数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
（1）通项公式：
an＝a1＋（n－1）d.
（2）前n项和公式：
Sn＝na1＋d＝.
3．等差数列的四种判断方法
（1）定义法：
an＋1－an＝d（d是常数）⇔{an}是等差数列．
（2）等差中项法：
2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）⇔{an}是等差数列．
（3）通项公式：
an＝pn＋q（p，q为常数）⇔{an}是等差数列．
（4）前n项和公式：
Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）⇔{an}是等差数列．
4．活用等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广：
an＝am＋（n－m）d，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an.
（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列．
（4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
二、基础自测：
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）
A．58 B．88C．143D．176
解析：
选B ∵a4＋a8＝16，∴a6＝8，∴S11＝11a6＝88.
2．（2018·重庆高考）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.
解析：
因为{an}为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1（a1＋4d）＝（a1＋d）2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64.答案：
64
3．（2018·安徽高考）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝（ ）
A．－6 B．－4C．－2D．2
解析：
选A 根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4（a3＋a6），又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝15，S5＝55，则数列{an}的公差是（ ）
A.B．4C．－4D．－3
解析：
选B ∵{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，a3＝11，∴公差d＝a4－a3＝4.
三、考点突破：
考点一、等差数列的基本运算
【例1】1.（2018·全国卷Ⅰ）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝（ ）
A．3 B．4C．5D．6
解析：
选C 根据已知条件，得到am和am＋1，再根据等差数列的定义得到公差d，最后建立关于a1和m的方程组求解．由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1，由得解得
2．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝，S2＝a3，则a2＝________；Sn＝________.
解析：
设等差数列的公差为d，则2a1＋d＝a1＋2d，把a1＝代入得d＝，所以a2＝a1＋d＝1，
Sn＝na1＋d＝n（n＋1）．答案：
1
3．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
解：
（1）设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d，由于a1＝1，a3＝－3，又a3＝a1＋2d，所以d＝－2，
因此an＝3－2n.
（2）由an＝3－2n，得Sn＝n＝2n－n2，所以Sk＝2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5，
又因为k∈N*，所以k＝7.
考点二、等差数列的判断与证明
【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2SnSn－1（n≥2且n∈N*）．
（1）求证：
数列是等差数列．
（2）求Sn和an.
[解]
（1）证明：
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，①∴Sn（1＋2Sn－1）＝Sn－1.由上式知若Sn－1≠0，则Sn≠0.∵S1＝a1≠0，由递推关系知Sn≠0（n∈N*），
由①式得－＝2（n≥2）．∴是等差数列，其中首项为＝＝2，公差为2.
（2）∵＝＋2（n－1）＝＋2（n－1），∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，
当n＝1时，a1＝S1＝不适合上式，∴an＝
若将条件改为“a1＝2，Sn＝（n≥2）”，如何求解.
解：
（1）∵Sn＝，∴＝＝＋2.∴－＝2.∴是以为首项，以2为公差的等差数列．
（2）由
（1）知＝＋（n－1）×2＝2n－，即Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝；
当n＝1时，a1＝2不适合an，故an＝
【变式】已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bn＝（n∈N*）．求证：
数列{bn}是等差数列．
证明：
设等差数列{an}的公差为d，Sn＝na1＋n（n－1）d，∴bn＝＝a1＋（n－1）d，bn＋1－bn＝a1＋nd－a1－（n－1）d＝（常数），∴数列{bn}是等差数列．
考点三、等差数列的性质及最值
【例3】
（1）已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是（ ）
A．18B．19C．20D．21
（2）设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
[解析]
（1）a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，则{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此当Sn取得最大值时，n＝20.
（2）设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.[答案]
（1）C
（2）35
【变式】1．设数列{an}是公差d<0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝（ ）
A．5B．6C．5或6D．6或7
解析：
选C 由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大，选C.
[规律总结]
1．等差数列的性质
（1）项的性质：
在等差数列{an}中，am－an＝（m－n）d⇔＝d（m≠n），其几何意义是点（n，an），（m，am）所在直线的斜率等于等差数列的公差．
（2）和的性质：
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；②S2n－1＝（2n－1）an.
2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
（1）函数法：
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：
①a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
四、当堂检测
1．等差数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为（ ）
A．14 B．18C．21D．27
解析：
选A 依题意得由此解得d＝1，a1＝2，a6＝a1＋5d＝7，a1a6＝14.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a11－a8＝3，S11－S8＝3，则使an>0的最小正整数n的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
解析：
选C ∵a11－a8＝3d＝3，∴d＝1，∵S11－S8＝a11＋a10＋a9＝3a1＋27d＝3，∴a1＝－8，
∴an＝－8＋（n－1）>0，解得n>9，因此使an>0的最小正整数n的值是10.
3．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________.
解析：
a7－a5＝2d＝4，则d＝2.a1＝a11－10d＝21－20＝1，Sk＝k＋×2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.
4．已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．
解析：
设数列{an}为该等差数列，依题意得a1＋an＝＝70.∵Sn＝210，Sn＝，∴210＝，∴n＝6.答案：
6
5．各项均为正数的数列{an}满足a＝4Sn－2an－1（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和．
（1）求a1，a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
解：
（1）当n＝1时，a＝4S1－2a1－1，即（a1－1）2＝0，解得a1＝1.
当n＝2时，a＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1（舍去）．
（2）a＝4Sn－2an－1，①a＝4Sn＋1－2an＋1－1.②②－①得：
a－a＝4an＋1－2an＋1＋2an＝2（an＋1＋an），即（an＋1－an）（an＋1＋an）＝2（an＋1＋an）．∵数列{an}各项均为正数，∴an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．∴an＝2n－1.
五、课后巩固：
1．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝（ ）
A．18B．20C．22D．24
解：
B 由S10＝S11，得a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＋a11，即a11＝0，所以a1－2（11－1）＝0，解得a1＝20.
2．已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51（n>3），Sn＝100，则n的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
解：
选C 由Sn－Sn－3＝51得，an－2＋an－1＋an＝51，所以an－1＝17，又a2＝3，Sn＝＝100，
解得n＝10.
3．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为（ ）
A．S7B．S6C．S5D．S4
解析：
选C ∵∴∴Sn的最大值为S5.
4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S10>0并且S11＝0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k构成的集合为（ ）
A．{5}B．{6}C．{5,6}D．{7}
解析：
选C 在等差数列{an}中，由S10>0，S11＝0得，S10＝>0⇒a1＋a10>0⇒a5＋a6>0，
S11＝＝0⇒a1＋a11＝2a6＝0，故可知等差数列{an}是递减数列且a6＝0，所以S5＝S6≥Sn，其中n∈N*，
所以k＝5或6.
5．已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝2（n∈N*且n≥2），则a81＝（ ）
A．638B．639C．640D．641
解析：
选C 由已知Sn－Sn－1＝2可得，－＝2，∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1，Sn＝（2n－1）2，∴a81＝S81－S80＝1612－1592＝640.
6．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，则an＝________.
解析：
设等差数列的公差为d，∵a3＝a－4，∴1＋2d＝（1＋d）2－4，解得d2＝4，即d＝±2.由于该数列为递增数列，故d＝2.∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1.答案：
2n－1
7．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，则n等于________．
解析：
∵2an＝an－1＋an＋1，又an－1＋an＋1－a＝0，∴2an－a＝0，即an（2－an）＝0.∵an≠0，∴an＝2.∴S2n－1＝2（2n－1）＝38，解得n＝10.答案：
10
8．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10（n∈N*），则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
解析：
由an＝2n－10（n∈N*）知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，
∴当n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－（a1＋a2＋a3＋a4）＋（a5＋a6＋…＋a15）
＝20＋110＝130.答案：
130
9.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为____．
解析：
∵{an}，{bn}为等差数列，∴＋＝＋＝＝.∵＝＝＝＝，∴＝.答案：
10．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4（n∈N*）．
（1）求证：
数列{an}为等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
解：
（1）证明：
当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0，解得a1＝3（a1＝－1舍去）．
当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，又2Sn＝a＋n－4，两式相减得2an＝a－a＋1，即a－2an＋1＝a，
也即（an－1）2＝a，因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.而a1＝3，
所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，
因此数列{an}为首项为3，公差为1的等差数列．
（2）由
（1）知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式an＝3＋（n－1）×1＝n＋2，即an＝n＋2.
11．设同时满足条件：
①≤bn＋1（n∈N*）；②bn≤M（n∈N*，M是与n无关的常数）的无穷数列{bn}叫“特界”数列．
（1）若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和：
a3＝4，S3＝18，求Sn；
（2）判断
（1）中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由．
解：
（1）设等差数列{an}的公差为d，则a1＋2d＝4，S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝18，解得a1＝8，d＝－2，
∴Sn＝na1＋d＝－n2＋9n.
（2）{Sn}是“特界”数列，理由如下：
由－Sn＋1＝＝＝＝－1<0，
得则当n＝4或5时，Sn有最大值20，即Sn≤20，故数列{Sn}适合条件②.综上，数列{Sn}是“特界”数列．
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