29等差数列及其前n项和2.docx

1、29等差数列及其前n项和2课题：等差数列及其前n项和一、考点梳理：1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d. (2)前n项和公式：Snna1d.3等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4

2、)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列4活用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列. 二、基础自测：1已知等差数列an的公差为3，a34，若an25，则n_2设等差数列an的前n项和为Sn，若a1，S420，则S6等于_3等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为_4已知等差数列an的前n项和为S

3、n，a415，S555，则数列an的公差是()A. B4 C4 D3三、考点突破：考点一、等差数列的基本运算【例1】1在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11()A58B88 C143 D1762设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4C5 D63已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8_.考点二、等差数列的判断与证明【例2】已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn1(n2且nN*)(1)求证：数列是等差数列 (2)求Sn和an.【变式】已知Sn为等差数列an的前n项

4、和，bn(nN*)求证：数列bn是等差数列考点三、等差数列的性质及最值【例3】(1)已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是()A18 B19 C20 D21(2)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.【变式】在等差数列an中，a17，公差为d，前 n项和为Sn ，当且仅当n8 时Sn 取得最大值，则d 的取值范围为_ 规律总结1等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质：

5、在等差数列an中，Sn为其前n项和，数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列2求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.四、当堂检测1等差数列an中，a23，a3a49，则a1a6的值为()A14B18 C21 D272设数列an是公差d3)，Sn100，则n的值为()A8 B9 C10 D114等差数列an中，已知a50，a4a70，则an的前n项和Sn的最大值为()

6、AS7 BS6 CS5 DS45已知每项均大于零的数列an中，首项a11且前n项和Sn满足SnSn12(nN*且n2)，则a81()A638 B639 C640 D6416已知递增的等差数列an满足a11，a3a4，则an_.7已知等差数列an中，an0，若n2且an1an1a0，S2n138，则n等于_8设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.9.等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_10已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Snan4(nN*)(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式1

7、1设同时满足条件：bn1(nN*)；bnM(nN*，M是与n无关的常数)的无穷数列bn叫“特界”数列(1)若数列an为等差数列，Sn是其前n项和：a34，S318，求Sn；(2)判断(1)中的数列Sn是否为“特界”数列，并说明理由课题：等差数列及其前n项和一、考点梳理：1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna

8、1d.3等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列4活用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列. 二、基础自测：1在等差数

9、列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11()A58B88 C143 D176解析：选Ba4a816，a68，S1111a688.2(2018重庆高考)已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8_.解析：因为an为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a14d)(a1d)2，解得d2a12，所以S864.答案：643(2018安徽高考)设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A6 B4 C2 D2解析：选A根据等差数列的定义和性质可得，S84(a3a6)，又S84a3，所以a60，又a72，所以a84

10、，a96.4已知等差数列an的前n项和为Sn，a415，S555，则数列an的公差是()A. B4 C4 D3解析：选Ban是等差数列，a415，S555，a1a522，2a322，a311，公差da4a34. 三、考点突破：考点一、等差数列的基本运算【例1】 1.(2018全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4C5 D6解析：选C根据已知条件，得到am和am1，再根据等差数列的定义得到公差d，最后建立关于a1和m的方程组求解由Sm12，Sm0，Sm13，得amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以等差数列的公差为dam1am321， 由得解得

11、2已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1，S2a3，则a2_；Sn_.解析：设等差数列的公差为d，则2a1da12d，把a1代入得d，所以a2a1d1，Snna1dn(n1)答案：13已知等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解：(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d，由于a11，a33，又a3a12d，所以d2，因此an32n.(2)由an32n，得Snn2nn2，所以Sk2kk235，即k22k350，解得k7或k5，又因为kN*，所以k7.考点二、等差数列的判断与证明【例2】已知数列an的前n项和为Sn，

12、且满足a1，an2SnSn1(n2且nN*)(1)求证：数列是等差数列 (2)求Sn和an.解(1)证明：当n2时，anSnSn12SnSn1， Sn(12Sn1)Sn1.由上式知若Sn10，则Sn0.S1a10，由递推关系知Sn0(nN*)，由式得2(n2)是等差数列，其中首项为2，公差为2.(2)2(n1)2(n1)，Sn. 当n2时，anSnSn1，当n1时，a1S1不适合上式，an若将条件改为“a12，Sn(n2)”，如何求解.解：(1)Sn，2.2.是以为首项，以2为公差的等差数列(2)由(1)知(n1)22n，即Sn. 当n2时，anSnSn1；当n1时，a12不适合an，故an【

13、变式】已知Sn为等差数列an的前n项和，bn(nN*)求证：数列bn是等差数列证明：设等差数列an的公差为d，Snna1n(n1)d，bna1(n1)d，bn1bna1nda1(n1)d(常数)，数列bn是等差数列考点三、等差数列的性质及最值【例3】(1)已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是()A18 B19 C20 D21(2)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.解析(1)a1a3a5105a335，a2a4a699a433，则an的公差d33352，a1a32d39，Snn240n，

14、因此当Sn取得最大值时，n20.(2)设两等差数列组成的和数列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且c17，c321，则c52c3c1221735. 答案(1)C(2)35【变式】1设数列an是公差d0，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.四、当堂检测1等差数列an中，a23，a3a49，则a1a6的值为()A14B18 C21 D27解析：选A依题意得由此解得d1，a12，a6a15d7，a1a614.2设等差数列an的前n项和为Sn，若a11a83，S11S83，则使an0的最小正整数n的值是()A8 B9 C10 D11解析：选C

15、a11a83d3，d1，S11S8a11a10a93a127d3，a18，an8(n1)0，解得n9，因此使an0的最小正整数n的值是10.3已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，a7a54，a1121，Sk9，则k_.解析：a7a52d4，则d2.a1a1110d21201，Skk2k29.又kN*，故k3.4已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是_解析：设数列an为该等差数列，依题意得a1an70.Sn210，Sn，210，n6.答案：65各项均为正数的数列an满足a4Sn2an1(nN*)，其中Sn为an的前n项和(1)求a1，a2的

16、值；(2)求数列an的通项公式解：(1)当n1时，a4S12a11，即(a11)20，解得a11.当n2时，a4S22a214a12a2132a2，解得a23或a21(舍去)(2)a4Sn2an1， a4Sn12an11. 得：aa4an12an12an2(an1an)，即(an1an)(an1an)2(an1an)数列an各项均为正数，an1an0，an1an2，数列an是首项为1，公差为2的等差数列an2n1.五、课后巩固：1设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1()A18 B20 C22 D24解：B由S10S11，得a1a2a10a1a2a10a11，即a

17、110，所以a12(111)0，解得a120.2已知等差数列an满足a23，SnSn351(n3)，Sn100，则n的值为()A8 B9 C10 D11解：选C由SnSn351得，an2an1an51，所以an117，又a23，Sn100，解得n10.3等差数列an中，已知a50，a4a70并且S110，若SnSk对nN*恒成立，则正整数k构成的集合为( )A5 B6 C5,6 D7解析：选C在等差数列an中，由S100，S110得，S100a1a100a5a60，S110a1a112a60，故可知等差数列an是递减数列且a60，所以S5S6Sn，其中nN*，所以k5或6.5已知每项均大于零的

18、数列an中，首项a11且前n项和Sn满足SnSn12(nN*且n2)，则a81()A638 B639 C640 D641解析：选C由已知SnSn12可得，2，是以1为首项，2为公差的等差数列，故2n1，Sn(2n1)2，a81S81S8016121592640.6已知递增的等差数列an满足a11，a3a4，则an_.解析：设等差数列的公差为d，a3a4，12d(1d)24，解得d24，即d2.由于该数列为递增数列，故d2.an1(n1)22n1. 答案：2n17已知等差数列an中，an0，若n2且an1an1a0，S2n138，则n等于_解析：2anan1an1，又an1an1a0，2ana0

19、，即an(2an)0.an0，an2.S2n12(2n1)38，解得n10.答案：108设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.解析：由an2n10(nN*)知an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n100得n5，当n5时，an0， 当n5时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.答案：1309.设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_解析：an，bn为等差数列，.，.答案：10已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Snan4(nN*)(1)求证：数

20、列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：当n1时，有2a1a14，即a2a130，解得a13(a11舍去)当n2时，有2Sn1an5，又2Snan4，两式相减得2anaa1，即a2an1a，也即(an1)2a，因此an1an1或an1an1. 若an1an1，则anan11.而a13，所以a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾，所以an1an1，即anan11，因此数列an为首项为3，公差为1的等差数列(2)由(1)知a13，d1，所以数列an的通项公式an3(n1)1n2，即ann2.11设同时满足条件：bn1(nN*)；bnM(nN*，M是与n无关的常数)的无穷数列bn叫“特界”数列(1)若数列an为等差数列，Sn是其前n项和：a34，S318，求Sn；(2)判断(1)中的数列Sn是否为“特界”数列，并说明理由解：(1)设等差数列an的公差为d，则a12d4，S3a1a2a33a13d18，解得a18，d2，Snna1dn29n.(2)Sn是“特界”数列，理由如下：由Sn110，得Sn1，故数列Sn适合条件.而Snn29n2(nN*)，则当n4或5时，Sn有最大值20，即Sn20，故数列Sn适合条件.综上，数列Sn是“特界”数列