08第八单整式乘除与因式分解.docx

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08第八单整式乘除与因式分解

第八章整式乘除与因式分解

本章知识结构图：

基础知识归纳：

同底数幂的乘法

1、同底数幂的乘法法则

同底数幂相乘，底数不变，指数相加（指数都是正整数）。

am·an=am+n当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质。

注意：

同底数幂相乘的运算实质上就是幂的乘法运算变为指数加法运算。

2、在运用同底数幂的乘法时，容易与整式的加减法混淆。

加法的运算是合并同类项，当字母和字母指数都相同时，合并其系数，字母和字母指数不变。

不是同类项，不可合并。

底数相同，指数不一定相同，相乘时，底数不变，指数相加。

3、在运算中要分清底数、指数、幂的概念，幂的底数相同时，此运算法则才使用。

若两式相乘，要先决定符号才能相乘。

4、公式还可以逆用，应特别引起注意。

am+n=am·an

5、在同底数幂的乘法中常用的集中恒定变形。

（a-b）=-（b-a）

（a-b）2=（b-a）2

（a-b）3=（b-a）3

（a-b）2n-1=-（b-a）2n-1（n为正整数）

（a-b）2n=（b-a）2n（n为正整数）

注意：

在恒等变形中，若是奇次幂，则底数互为相反数且两数符号相反。

若是偶次幂，则底数互为相反数，两式符号相同。

幂的乘方与积的乘方

1、幂的乘方

（1）幂的乘方法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（am）n=amn（m、n都是正整数），，它是以同底数幂的乘法法则为基础推导出的，但两者不能混淆。

（2）注意事项

1m、n都是正整数是表达式的一部分；

2积的乘方根据是乘方的意义和同底数幂相乘，它是把积中的每一个因式分别乘方，不能出现：

（xy）2=xy2的错误。

3可推广为：

（abc）n=anbncn

4应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方，注意系数及系数的符号。

对于系数是-1的不可忽略。

同底数幂的除法

1、同底数幂的除法。

（1）同底数幂的除法法则:

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n）

注意:

1法则中括号里的条件是法则的一部分，其中a≠0是保证除法有意义。

2a表示单个数或其他的代数式，但他们都不为0.

3同底数幂相除，商的底数与被除式或除式的底数相同，商的指数是被除式的指数与除式的指数的差。

4同底数幂的除法是同底数幂的乘法的逆运算。

5可推广：

am÷an÷ap=am-n-p（a≠0，m、n、p都是正整数，并且m＞n+p）

运用法则的主要条件：

底数相同，若底数不同先化成同底数再运用法则计算。

整式的乘法

1、单项式的乘法法则

一般的，单项式相乘，把他们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、单项式与多项式的乘法法则

单项式与多项式相乘，就是根据分配律去乘多项式的每一项，再把它们所得的积相加。

3、多项式的乘法法则

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把它们所得的积相加。

思维能力拓展

4、运用单项式的乘法法则时应注意的事项

（1）因为单项式是数字与字母的积，所以幂的运算性质、乘法交换律、结合律、在单项式乘法里完全适用。

（2）单项式的乘法法则分乘式里的系数，相同字母，不相同字母三部分。

1积的系数等于各因式系数的积，这是有理数的乘法，应先确定符号，再计算绝对值。

2相同字母相乘，是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。

3只在一个单项式含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式，要注意不要把这个因式丢掉。

4单项式乘法法则对于三个以上的单项式同样适用。

5单项式乘单项式的结果仍是一个单项式。

5、运用单项式乘以多项式的乘法法则应注意的事项

（1）运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号

（2）积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同，注意计算过程不要漏项

（3）在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项是要合并同类项，从而得到最简结果。

6、进行多项式乘法时应注意的事项

（1）运用多项式的乘法法则时，必须做到不重不漏，相乘时，要按一定的顺序进行，再未合并同类项之前，积的像数等于两个多项式的项数的积。

（2）多项式中每项都包括他前面的符号，同号得正，异号得负。

（3）运算结果中有同类项要合并同类项.

整式的除法

1、单项式与单项式相除

单项式与单项式相除的法则：

单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：

（1）两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可。

（2）只在被除式里含有的字母不要漏掉。

2、多项式与单项式相除

多项式与单项式相除的法则：

一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

注意：

这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这样计算的。

平方差公式与完全平方公式

1、平方差公式：

（1）公式的结构特征：

左边是两个二项式的乘积，即两数和与两数差的积，右边是两数的平方差。

（2）对于一般两个二项式的积，看准有无相等的“项”和符号相反的“项”仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式。

（3）在解题过程中要准确确定

和

、对照公式原形的两边，做到不弄错符号。

2、完全平方公式：

（完全平方和公式）

（完全平方差公式）

（1）结构特征：

左边是二项式（两数和差）的平方；右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。

（2）语言表述：

两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。

（3）

口诀：

首平方，尾平方，首尾二倍中间放。

因式分解

1、因式分解的定义

把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

即多项式化为几个整式的积。

注意：

（1）结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；

（2）每个因式必须是整式

（3）各因式要分解到不能分解为止；

（4）因式分解与乘法的关系：

是两种不同的变形过程，即互逆关系。

2、因式分解的方法

（1）提公因式法：

各项都含有的因式叫做公因式，提出公因式的方法叫做提公因式法

（2）公式法：

利用公式分解因式。

主要公式有：

――――――平方差公式

――――――完全平方和公式

――――――完全平方差公式

―――立方和公式

―――立方差公式

（3）分组分解法：

把几个项分在一起，进行局部变形，在进行整体变形的方法叫分组分解法。

分组分解法一般应用于四项或四项以上的式子。

可以按相同字母分为一组，或按次数分为一组。

（4）十字交叉法：

分解的对象为形如

的二次三项式。

第八章整式的乘除与因式分解同步练习

一、选择（每小题3分，共30分）

1.下列关系式中，正确的是（）

A.（a-b）2=a2-b2B.（a+b）（a-b）=a2-b2

C.（a+b）2=a2+b2D.（a+b）2=a2-2ab+b2

2.x5m+3n+1÷（xn）2·（-xm）2等于（）

A.-x7m+n+1B.x7m+n+1C.x7m-n+1D.x3m+n+1

3.若36x2-mxy+49y2是完全平方式，则m的值是（）

A.1764B.42C.84D.±84

4.在“2008北京奥运会”国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次用了我国科研人员自主研制的强度为4.6×108帕的钢材，那么4.6×108的原数是（）

A.4600000B.46000000C.460000000D.4600000000

5.代数式ax2-4ax+4a分解因式，结果正确的是（）

A.a（x-2）2B.a（x+2）2C.a（x-4）2D.a（x+2）（x-2）

6.已知

，则

的值是（）

A.9B.7C.11D.不能确定

7.下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（）

A.

B.

C.

D.

8.下列计算正确的是（）

A.（ab2）3=ab6B.（3xy）3=9x3y3C.（-2a2）2=-4a4D.（x2y3）2=x4y6

9.若x+y=2,xy=-2,则（1-x）（1-y）的值是（）

A.-1B.1C.5D.-3

10.（x2+px+q）（x2-5x+7）的展开式中，不含x3和x2项，则p+q的值是（）

A.-23B.23C.15D.-15

二、填空（每小题3分，共30分）

11.计算：

（-2mn2）3=,若5x=3,5y=2,则5x-2y=.

12.分解因式：

x3-25x=.a（x-y）-b（y-x）+c（x-y）=.

13.（8x5y2-4x2y5）÷（-2x2y）=.

14.分解因式x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x-1）,乙看错了b,分解的结果是（x-2）（x+1）,那么x2+ax+b分解因式正确的结果是.

15.若（x2+y2）（x2+y2-1）-12=0,那么x2+y2=.

16.一个长方形的长增加了4㎝，宽减少了1㎝，面积保持不变，长减少2㎝，宽增加1㎝，面积仍保持不变，则这个长方形的面积是.

17.（-3a2-4）2=,（xn-1）2（x2）n=

18.若m2+n2=5,m+n=3,则mn的值是.

19.已知x2+4x-1=0,那么2x4+8x3-4x2-8x+1的值是.

20.若2x=8y+1,81y=9x-5,则xy=.

三、解答题（60分）

21.计算（8分）

（-2y3）2+（-4y2）3-（-2y）2·（-3y2）2

［（3x-2y）2-（3x+2y）2+3x2y2］÷2xy

22.因式分解（12分）

8a-4a2-4

（x2-5）2+8（5-x）2+16

23.化简求值（8分）

（x2+3x）（x-3）-x（x-2）2+（-x-y）（y-x）其中x=3y=-2.

已知

，求代数式

的值.

24.已知（x+y）2=4,（x-y）2=3,试求：

x2+y2的值.

xy的值.

25.用m2-m+1去除某一整式，得商式m2+m+1,余式m+2,求这个整式.

26.将一条20m长的镀金彩边剪成两段，恰可以用来镶两张不同的正方形壁画的边（不计接头处），已知两张壁画面积相差10㎡，问这条彩边应剪成多长的两段？

27.根据图8-C-1示，回答下列问题

大正方形的面积S是多少？

梯形Ⅱ，Ⅲ的面积SⅡ,SⅢ,分别是多少？

试求SⅡ+SⅢ与S-SⅠ的值.

由

你发现了什么？

请用含a,b的式子表示你的结论.

第八章整式的乘除与因式分解同步练习参考答案

一、选择

1．B2.B3.D4.C5.A6.B7.D8.D9.D10.B

二、填空

11.-8m3n6,

12.x（x-5）（x+5）,（x-y）（a+b+c）13.-4x3y+2y414.（x+2）（x-3）15.416.24㎝2

17.9a4+24a2+16,x4n-2x3n+x2n18.219.-120.81

解答题

21.

解：

原式=4y6-64y6-（4y2·9y4）

=4y6-64y6-36y6=-96y6.

解：

原式=［（3x-2y+3x+2y）（3x-2y-3x-2y）+3x2y2］÷2xy

=［6x·（-4y）+3x2y2］÷2xy=（-24xy+3x2y2）÷2xy=

22.解：

原式=-4（a2-2a+1）=-4（a-1）2

（2）原式=

（y2-2y+1）=

（y-1）2

（3）原式=（x2-5+1）2=（x2-1）2=（x+1）2（x-1）2

23.

解:

原式=x3-3x2+3x2-9x-x（x2-4x+4）+（x2-y2）

=x3-9x-x3+4x2+x2-y2=5x2-13x-y2,当x=3,y=-2时，原式=2.

解：

原式=（2x+3y-2x+3y）（2x+3y+2x-3y）

=6y·4x=24xy

所以当

，原式=

=

24.解：

由已知得x2+y2+2xy=4①:

x2+y2-2xy=3②

①+②得2x2+2y2=7,故x2+y2=3.5

①―②得，4xy=1,xy=0.25

25.m4+m2+m+3

解析：

由题意得（m2+m+1）（m2-m+1）+m+2

=m4-m3+m2+m3-m2+m+m2-m+1+m+2

=m4+m2+m+3

26.解:

设应剪成两端的长为xm，ym（x>y）可列方程组为

，解之得

，故应剪成14m和6m的两段.

27.

S=a2

SⅡ=SⅢ=

SⅡ＋SⅢ=2×

=（a+b）（a-b）

S-SⅠ=a2-b2

SⅡ＋SⅢ=S-SⅠ,（a+b）（a-b）=a2-b2