08第八单整式乘除与因式分解.docx

1、08第八单整式乘除与因式分解第八章 整式乘除与因式分解本章知识结构图：基础知识归纳：同底数幂的乘法1、 同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加（指数都是正整数）。aman=am+n当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质。注意：同底数幂相乘的运算实质上就是幂的乘法运算变为指数加法运算。2、在运用同底数幂的乘法时，容易与整式的加减法混淆。加法的运算是合并同类项，当字母和字母指数都相同时，合并其系数，字母和字母指数不变。不是同类项，不可合并。底数相同，指数不一定相同，相乘时，底数不变，指数相加。3、在运算中要分清底数、指数、幂的概念，幂的底数相同时，此运算法则才使用。若两式相乘，

2、要先决定符号才能相乘。4、公式还可以逆用，应特别引起注意。am+n=aman5、在同底数幂的乘法中常用的集中恒定变形。（a-b）=-（b-a）（a-b）2=（b-a）2（a-b）3=（b-a）3（a-b）2n-1=-（b-a）2n-1（n为正整数）（a-b）2n=（b-a）2n（n为正整数）注意：在恒等变形中，若是奇次幂，则底数互为相反数且两数符号相反。若是偶次幂，则底数互为相反数，两式符号相同。幂的乘方与积的乘方1、 幂的乘方（1） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（am）n=amn（m、n都是正整数），它是以同底数幂的乘法法则为基础推导出的，但两者不能混淆。（2） 注意事项1

3、m、n都是正整数是表达式的一部分；2 积的乘方根据是乘方的意义和同底数幂相乘，它是把积中的每一个因式分别乘方，不能出现：（xy）2=xy2的错误。3 可推广为：（abc）n=anbncn4 应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方，注意系数及系数的符号。对于系数是-1的不可忽略。同底数幂的除法1、同底数幂的除法。（1） 同底数幂的除法法则:同底数幂相除，底数不变，指数相减。aman=am-n（a0，m、n都是正整数，并且mn）注意:1 法则中括号里的条件是法则的一部分，其中a0是保证除法有意义。2 a表示单个数或其他的代数式，但他们都不为0.3 同底数幂相除，商的底数与

4、被除式或除式的底数相同，商的指数是被除式的指数与除式的指数的差。4 同底数幂的除法是同底数幂的乘法的逆运算。5 可推广：amanap=am-n-p（a0，m、n、p都是正整数，并且mn+p）运用法则的主要条件：底数相同，若底数不同先化成同底数再运用法则计算。整式的乘法1、单项式的乘法法则一般的，单项式相乘，把他们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2、 单项式与多项式的乘法法则单项式与多项式相乘，就是根据分配律去乘多项式的每一项，再把它们所得的积相加。3、 多项式的乘法法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项

5、，再把它们所得的积相加。思维能力拓展4、 运用单项式的乘法法则时应注意的事项（1） 因为单项式是数字与字母的积，所以幂的运算性质、乘法交换律、结合律、在单项式乘法里完全适用。（2） 单项式的乘法法则分乘式里的系数，相同字母，不相同字母三部分。1 积的系数等于各因式系数的积，这是有理数的乘法，应先确定符号，再计算绝对值。2 相同字母相乘，是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。3 只在一个单项式含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式，要注意不要把这个因式丢掉。4 单项式乘法法则对于三个以上的单项式同样适用。5 单项式乘单项式的结果仍是一个单项式。5、 运用单项式乘以多项式的乘法法则应注意的事项

6、（1） 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号（2） 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同，注意计算过程不要漏项（3） 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项是要合并同类项，从而得到最简结果。6、 进行多项式乘法时应注意的事项（1） 运用多项式的乘法法则时，必须做到不重不漏，相乘时，要按一定的顺序进行，再未合并同类项之前，积的像数等于两个多项式的项数的积。（2） 多项式中每项都包括他前面的符号，同号得正，异号得负。（3） 运算结果中有同类项要合并同类项.整式的除法1、单项式与单项式相除单项式与单项式相除的法则：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，

7、对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：（1）两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可。 （2）只在被除式里含有的字母不要漏掉。2、多项式与单项式相除多项式与单项式相除的法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这样计算的。平方差公式与完全平方公式1、平方差公式： （1）公式的结构特征：左边是两个二项式的乘积，即两数和与两数差的积，右边是两数的平方差。 （2）对于一般两个二项式的积，看准有无相等的“项”和符号相反的“项”仅当把两个二项式的积

8、变成公式标准形式后，才能使用平方差公式。 （3）在解题过程中要准确确定和、对照公式原形的两边，做到不弄错符号。2、完全平方公式：（完全平方和公式） （完全平方差公式）（1） 结构特征：左边是二项式（两数和差）的平方；右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。（2） 语言表述：两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。（3） 口诀：首平方，尾平方，首尾二倍中间放。因式分解1、因式分解的定义把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。即多项式化为几个整式的积。注意：（1）结果一定是积的形式，分解的对象是多项式； （2

9、）每个因式必须是整式 （3）各因式要分解到不能分解为止； （4）因式分解与乘法的关系：是两种不同的变形过程，即互逆关系。2、因式分解的方法（1）提公因式法：各项都含有的因式叫做公因式，提出公因式的方法叫做提公因式法（2）公式法：利用公式分解因式。 主要公式有：平方差公式 完全平方和公式 完全平方差公式 立方和公式 立方差公式（3）分组分解法：把几个项分在一起，进行局部变形，在进行整体变形的方法叫分组分解法。 分组分解法一般应用于四项或四项以上的式子。可以按相同字母分为一组，或按次数分为一组。 （4）十字交叉法：分解的对象为形如的二次三项式。第八章 整式的乘除与因式分解同步练习一、选择（每小题3

10、分，共30分）1.下列关系式中，正确的是（ ）A.(a-b)2=a2-b2 B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.(a+b)2=a2+b2 D.(a+b)2=a2-2ab+b22.x5m+3n+1(xn)2(-xm)2等于（ ）A.-x7m+n+1 B.x7m+n+1 C.x7m-n+1 D.x3m+n+13.若36x2-mxy+49y2是完全平方式，则m的值是（ ）A.1764 B.42 C.84 D.844.在“2008北京奥运会”国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次用了我国科研人员自主研制的强度为4.6108帕的钢材，那么4.6108的原数是( )A.4600000 B.4

11、6000000 C.460000000 D.46000000005.代数式ax2-4ax+4a分解因式，结果正确的是（ ）A.a(x-2)2 B.a(x+2)2 C.a(x-4)2 D.a(x+2)(x-2)6.已知，则的值是（ ）A.9 B.7 C.11 D.不能确定7.下列多项式中，不能用公式法因式分解的是( )A. B. C. D. 8.下列计算正确的是（ ）A.(ab2)3=ab6 B.(3xy)3=9x3y3 C.(-2a2)2=-4a4 D.(x2y3)2=x4y69.若x+y=2,xy=-2 ,则(1-x)(1-y)的值是（ ）A.-1 B.1 C.5 D.-310.(x2+px

12、+q)(x2-5x+7)的展开式中，不含x3和x2项，则p+q的值是（ ）A.-23 B.23 C.15 D.-15二、填空（每小题3分，共30分）11.计算：（-2mn2）3= ,若5x=3,5y=2,则5x-2y= .12.分解因式：x3-25x= . a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)= .13.(8x5y2-4x2y5)(-2x2y)= .14.分解因式x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x+6)(x-1),乙看错了b,分解的结果是(x-2)(x+1),那么x2+ax+b分解因式正确的结果是 .15.若（x2+y2）(x2+y2-1)-12=0,那么x2+y2= .1

13、6.一个长方形的长增加了4，宽减少了1，面积保持不变，长减少2，宽增加1，面积仍保持不变，则这个长方形的面积是 .17.(-3a2-4)2= ,(xn-1)2(x2)n= 18.若m2+n2=5,m+n=3,则mn的值是 .19.已知x2+4x-1=0,那么2x4+8x3-4x2-8x+1的值是 .20.若2x=8y+1,81y=9x-5,则xy= .三、解答题（60分）21.计算（8分）(-2y3)2+(-4y2)3-(-2y)2(-3y2)2 (3x-2y)2-(3x+2y)2+3x2y22xy22.因式分解（12分）8a-4a2-4 (x2-5)2+8(5-x)2+1623.化简求值（8

14、分）(x2+3x)(x-3)-x(x-2)2+(-x-y)(y-x)其中x=3 y=-2.已知，求代数式的值.24.已知(x+y)2=4,(x-y)2=3,试求：x2+y2的值. xy的值.25.用m2-m+1去除某一整式，得商式m2+m+1,余式m+2,求这个整式.26.将一条20m长的镀金彩边剪成两段，恰可以用来镶两张不同的正方形壁画的边（不计接头处），已知两张壁画面积相差10，问这条彩边应剪成多长的两段？27.根据图8-C-1示，回答下列问题大正方形的面积S是多少？梯形，的面积S,S,分别是多少？试求S+S与S-S的值.由你发现了什么？请用含a,b的式子表示你的结论.第八章 整式的乘除与

15、因式分解同步练习参考答案一、选择1B 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.D 8.D 9.D 10.B 二、填空11.-8m3n6, 12.x(x-5)(x+5),(x-y)(a+b+c)13.-4x3y+2y4 14.(x+2)(x-3) 15.4 16.242 17.9a4+24a2+16,x4n-2x3n+x2n 18.2 19.-1 20.81 解答题 21.解：原式=4y6-64y6-(4y29y4)=4y6-64y6-36y6=-96y6. 解：原式=(3x-2y+3x+2y)（3x-2y-3x-2y）+3x2y22xy=6x(-4y)+3x2y22xy=(-24xy+3x

16、2y2)2xy=22.解：原式=-4(a2-2a+1)=-4(a-1)2（2）原式=（y2-2y+1）= (y-1)2 (3) 原式=(x2-5+1)2=(x2-1)2=(x+1)2(x-1)223. 解:原式=x3-3x2+3x2-9x-x(x2-4x+4)+(x2-y2)=x3-9x-x3+4x2+x2-y2=5x2-13x-y2,当x=3,y=-2时，原式=2. 解：原式=(2x+3y-2x+3y)(2x+3y+2x-3y) =6y4x=24xy所以当，原式=24. 解：由已知得x2+y2+2xy=4:x2+y2-2xy=3+得2x2+2y2=7,故x2+y2=3.5得，4xy=1,xy=0.2525. m4+m2+m+3 解析：由题意得(m2+m+1)(m2-m+1)+m+2=m4-m3+m2+m3-m2+m+m2-m+1+m+2=m4+m2+m+326.解:设应剪成两端的长为xm，ym（xy）可列方程组为，解之得，故应剪成14m和6m的两段.27. S=a2S=S=SS=2=(a+b)(a-b)S-S=a2-b2SS= S-S, (a+b)(a-b)= a2-b2