1、08第八单整式乘除与因式分解第八章 整式乘除与因式分解本章知识结构图:基础知识归纳:同底数幂的乘法1、 同底数幂的乘法法则同底数幂相乘,底数不变,指数相加(指数都是正整数)。aman=am+n当三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质。注意:同底数幂相乘的运算实质上就是幂的乘法运算变为指数加法运算。2、在运用同底数幂的乘法时,容易与整式的加减法混淆。加法的运算是合并同类项,当字母和字母指数都相同时,合并其系数,字母和字母指数不变。不是同类项,不可合并。底数相同,指数不一定相同,相乘时,底数不变,指数相加。3、在运算中要分清底数、指数、幂的概念,幂的底数相同时,此运算法则才使用。若两式相乘,
2、要先决定符号才能相乘。4、公式还可以逆用,应特别引起注意。am+n=aman5、在同底数幂的乘法中常用的集中恒定变形。(a-b)=-(b-a)(a-b)2=(b-a)2(a-b)3=(b-a)3(a-b)2n-1=-(b-a)2n-1(n为正整数)(a-b)2n=(b-a)2n(n为正整数)注意:在恒等变形中,若是奇次幂,则底数互为相反数且两数符号相反。若是偶次幂,则底数互为相反数,两式符号相同。幂的乘方与积的乘方1、 幂的乘方(1) 幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。(am)n=amn(m、n都是正整数),它是以同底数幂的乘法法则为基础推导出的,但两者不能混淆。(2) 注意事项1
3、m、n都是正整数是表达式的一部分;2 积的乘方根据是乘方的意义和同底数幂相乘,它是把积中的每一个因式分别乘方,不能出现:(xy)2=xy2的错误。3 可推广为:(abc)n=anbncn4 应用积的乘方时,特别注意观察底数含有几个因式,每个因式都分别乘方,注意系数及系数的符号。对于系数是-1的不可忽略。同底数幂的除法1、同底数幂的除法。(1) 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减。aman=am-n(a0,m、n都是正整数,并且mn)注意:1 法则中括号里的条件是法则的一部分,其中a0是保证除法有意义。2 a表示单个数或其他的代数式,但他们都不为0.3 同底数幂相除,商的底数与
4、被除式或除式的底数相同,商的指数是被除式的指数与除式的指数的差。4 同底数幂的除法是同底数幂的乘法的逆运算。5 可推广:amanap=am-n-p(a0,m、n、p都是正整数,并且mn+p)运用法则的主要条件:底数相同,若底数不同先化成同底数再运用法则计算。整式的乘法1、单项式的乘法法则一般的,单项式相乘,把他们的系数、相同的字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。2、 单项式与多项式的乘法法则单项式与多项式相乘,就是根据分配律去乘多项式的每一项,再把它们所得的积相加。3、 多项式的乘法法则多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项
5、,再把它们所得的积相加。思维能力拓展4、 运用单项式的乘法法则时应注意的事项(1) 因为单项式是数字与字母的积,所以幂的运算性质、乘法交换律、结合律、在单项式乘法里完全适用。(2) 单项式的乘法法则分乘式里的系数,相同字母,不相同字母三部分。1 积的系数等于各因式系数的积,这是有理数的乘法,应先确定符号,再计算绝对值。2 相同字母相乘,是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加。3 只在一个单项式含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式,要注意不要把这个因式丢掉。4 单项式乘法法则对于三个以上的单项式同样适用。5 单项式乘单项式的结果仍是一个单项式。5、 运用单项式乘以多项式的乘法法则应注意的事项
6、(1) 运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号(2) 积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同,注意计算过程不要漏项(3) 在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项是要合并同类项,从而得到最简结果。6、 进行多项式乘法时应注意的事项(1) 运用多项式的乘法法则时,必须做到不重不漏,相乘时,要按一定的顺序进行,再未合并同类项之前,积的像数等于两个多项式的项数的积。(2) 多项式中每项都包括他前面的符号,同号得正,异号得负。(3) 运算结果中有同类项要合并同类项.整式的除法1、单项式与单项式相除单项式与单项式相除的法则:单项式与单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,
7、对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。注意:(1)两个单项式相除,只要将系数及同底数幂分别相除即可。 (2)只在被除式里含有的字母不要漏掉。2、多项式与单项式相除多项式与单项式相除的法则:一般地,多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。注意:这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式,反之,单项式除以多项式是不能这样计算的。平方差公式与完全平方公式1、平方差公式: (1)公式的结构特征:左边是两个二项式的乘积,即两数和与两数差的积,右边是两数的平方差。 (2)对于一般两个二项式的积,看准有无相等的“项”和符号相反的“项”仅当把两个二项式的积
8、变成公式标准形式后,才能使用平方差公式。 (3)在解题过程中要准确确定和、对照公式原形的两边,做到不弄错符号。2、完全平方公式:(完全平方和公式) (完全平方差公式)(1) 结构特征:左边是二项式(两数和差)的平方;右边是两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍。(2) 语言表述:两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍。(3) 口诀:首平方,尾平方,首尾二倍中间放。因式分解1、因式分解的定义把一个多项式化为几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。即多项式化为几个整式的积。注意:(1)结果一定是积的形式,分解的对象是多项式; (2
9、)每个因式必须是整式 (3)各因式要分解到不能分解为止; (4)因式分解与乘法的关系:是两种不同的变形过程,即互逆关系。2、因式分解的方法(1)提公因式法:各项都含有的因式叫做公因式,提出公因式的方法叫做提公因式法(2)公式法:利用公式分解因式。 主要公式有:平方差公式 完全平方和公式 完全平方差公式 立方和公式 立方差公式(3)分组分解法:把几个项分在一起,进行局部变形,在进行整体变形的方法叫分组分解法。 分组分解法一般应用于四项或四项以上的式子。可以按相同字母分为一组,或按次数分为一组。 (4)十字交叉法:分解的对象为形如的二次三项式。第八章 整式的乘除与因式分解同步练习一、选择(每小题3
10、分,共30分)1.下列关系式中,正确的是( )A.(a-b)2=a2-b2 B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.(a+b)2=a2+b2 D.(a+b)2=a2-2ab+b22.x5m+3n+1(xn)2(-xm)2等于( )A.-x7m+n+1 B.x7m+n+1 C.x7m-n+1 D.x3m+n+13.若36x2-mxy+49y2是完全平方式,则m的值是( )A.1764 B.42 C.84 D.844.在“2008北京奥运会”国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中,首次用了我国科研人员自主研制的强度为4.6108帕的钢材,那么4.6108的原数是( )A.4600000 B.4
11、6000000 C.460000000 D.46000000005.代数式ax2-4ax+4a分解因式,结果正确的是( )A.a(x-2)2 B.a(x+2)2 C.a(x-4)2 D.a(x+2)(x-2)6.已知,则的值是( )A.9 B.7 C.11 D.不能确定7.下列多项式中,不能用公式法因式分解的是( )A. B. C. D. 8.下列计算正确的是( )A.(ab2)3=ab6 B.(3xy)3=9x3y3 C.(-2a2)2=-4a4 D.(x2y3)2=x4y69.若x+y=2,xy=-2 ,则(1-x)(1-y)的值是( )A.-1 B.1 C.5 D.-310.(x2+px
12、+q)(x2-5x+7)的展开式中,不含x3和x2项,则p+q的值是( )A.-23 B.23 C.15 D.-15二、填空(每小题3分,共30分)11.计算:(-2mn2)3= ,若5x=3,5y=2,则5x-2y= .12.分解因式:x3-25x= . a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)= .13.(8x5y2-4x2y5)(-2x2y)= .14.分解因式x2+ax+b时,甲看错了a的值,分解的结果是(x+6)(x-1),乙看错了b,分解的结果是(x-2)(x+1),那么x2+ax+b分解因式正确的结果是 .15.若(x2+y2)(x2+y2-1)-12=0,那么x2+y2= .1
13、6.一个长方形的长增加了4,宽减少了1,面积保持不变,长减少2,宽增加1,面积仍保持不变,则这个长方形的面积是 .17.(-3a2-4)2= ,(xn-1)2(x2)n= 18.若m2+n2=5,m+n=3,则mn的值是 .19.已知x2+4x-1=0,那么2x4+8x3-4x2-8x+1的值是 .20.若2x=8y+1,81y=9x-5,则xy= .三、解答题(60分)21.计算(8分)(-2y3)2+(-4y2)3-(-2y)2(-3y2)2 (3x-2y)2-(3x+2y)2+3x2y22xy22.因式分解(12分)8a-4a2-4 (x2-5)2+8(5-x)2+1623.化简求值(8
14、分)(x2+3x)(x-3)-x(x-2)2+(-x-y)(y-x)其中x=3 y=-2.已知,求代数式的值.24.已知(x+y)2=4,(x-y)2=3,试求:x2+y2的值. xy的值.25.用m2-m+1去除某一整式,得商式m2+m+1,余式m+2,求这个整式.26.将一条20m长的镀金彩边剪成两段,恰可以用来镶两张不同的正方形壁画的边(不计接头处),已知两张壁画面积相差10,问这条彩边应剪成多长的两段?27.根据图8-C-1示,回答下列问题大正方形的面积S是多少?梯形,的面积S,S,分别是多少?试求S+S与S-S的值.由你发现了什么?请用含a,b的式子表示你的结论.第八章 整式的乘除与
15、因式分解同步练习参考答案一、选择1B 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.D 8.D 9.D 10.B 二、填空11.-8m3n6, 12.x(x-5)(x+5),(x-y)(a+b+c)13.-4x3y+2y4 14.(x+2)(x-3) 15.4 16.242 17.9a4+24a2+16,x4n-2x3n+x2n 18.2 19.-1 20.81 解答题 21.解:原式=4y6-64y6-(4y29y4)=4y6-64y6-36y6=-96y6. 解:原式=(3x-2y+3x+2y)(3x-2y-3x-2y)+3x2y22xy=6x(-4y)+3x2y22xy=(-24xy+3x
16、2y2)2xy=22.解:原式=-4(a2-2a+1)=-4(a-1)2(2)原式=(y2-2y+1)= (y-1)2 (3) 原式=(x2-5+1)2=(x2-1)2=(x+1)2(x-1)223. 解:原式=x3-3x2+3x2-9x-x(x2-4x+4)+(x2-y2)=x3-9x-x3+4x2+x2-y2=5x2-13x-y2,当x=3,y=-2时,原式=2. 解:原式=(2x+3y-2x+3y)(2x+3y+2x-3y) =6y4x=24xy所以当,原式=24. 解:由已知得x2+y2+2xy=4:x2+y2-2xy=3+得2x2+2y2=7,故x2+y2=3.5得,4xy=1,xy=0.2525. m4+m2+m+3 解析:由题意得(m2+m+1)(m2-m+1)+m+2=m4-m3+m2+m3-m2+m+m2-m+1+m+2=m4+m2+m+326.解:设应剪成两端的长为xm,ym(xy)可列方程组为,解之得,故应剪成14m和6m的两段.27. S=a2S=S=SS=2=(a+b)(a-b)S-S=a2-b2SS= S-S, (a+b)(a-b)= a2-b2
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