最新数学七年级下册第7章第2节《平面直角坐标系》省优质课一等奖教案.docx

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最新数学七年级下册第7章第2节《平面直角坐标系》省优质课一等奖教案

《平面直角坐标系》教学设计

1.了解有序实数对的含义及其在确定点的位置中的作用.

2.了解平面直角坐标系,感受点和坐标一一对应的关系.

通过生活实例领会有序实数在生活中的作用.

认识数学与生活的密切联系,培养学生用数学知识解决生活问题的意识.

【重点】

1.有序实数对对确定点的位置的作用.

2.借助于直角坐标系描述点的位置.

3.根据位置关系建立适当的直角坐标系描述事物位置.

【难点】

1.理解有序实数对和点的一一对应.

2.根据事物的位置建立直角坐标系.

7.1.1　有序数对

了解有序数对,感受它在确定点的位置中的作用.

通过对实际问题的分析,经历建立数学模型解决实际问题的过程.

体验有序数对在现实生活中应用的广泛性.逐步建立数学的应用意识.

【重点】　理解有序数对的意义和作用.

【难点】　有序数对表示点的位置的唯一性.

【教师准备】　课堂教学所用的教学图片.

【学生准备】　复习小学数学学过的有关数对的知识.

导入一:

出示围棋棋盘图片,提出问题:

怎么说明各个棋子的位置呢?

[设计意图]　帮助学生领会引入“有序数对”的必要,初步领会怎样用实数去描述事物的位置.

导入二:

出示飞行员方队图片,提出问题:

方队内的每位队员,怎样准确找到自己的位置呢?

[设计意图]　学生在想各种办法的时候,会联想到小学学过的“数对”,再次感受“数对”对于说明位置的准确性.

　　[过渡语]　刚才我们体验了怎样明确确定事物的位置,接下来我们就研究一下具体的办法吧!

1.有序数对.

生活体验

问题1:

如果你持有这张电影票,怎样找到自己的位置呢?

处理方式:

学生观察后可以随意说出,肯定学生根据座位号找到位置的回答.

问题2:

出示教材图7.1-1,根据要求做活动.

活动一　假如这是班级的座位图,请你任意选择一个位置当做自己的座位,怎样向同学说明你的位置?

处理方式:

学生在“选定”自己的位置后,根据学习经验会用“横排”“竖排”的概念描述自己的位置,可是这种描述还是文字性的,不是用数字的抽象描述,需要提示学生用“数字”的方式描述自己的位置.

活动二　教材第65页思考中的问题

提示:

可以利用排、列的方式确定教室里座位的位置;排数和列数的先后顺序对位置是有影响的;图略.（1,5）表示的位置是第1列第5排,（2,4）表示的位置是第2列第4排,（4,2）表示的位置是第4列第2排,（3,3）表示的位置是第3列第3排,（5,6）表示的位置是第5列第6排.

总结:

上面的问题都是通过像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置,其中两个数各自表示不同的含义,例如前边的表示“排数”,后边的表示“号数”.我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对,记作（a,b）.

2.例题讲解.

　（补充）如图所示,在A处观察B物体,横着相距3格,竖着相距2格,B点表示为（4,3）,在A处观察C物体,横着相距　　　　格,竖着相距　　　　格,C点表示为　　　　. 

〔解析〕　从A点看C点,横着相距6格,竖着相距1格,要确定C点的表示方法,应以B为标准,从B点数,向右数3个格,向下数1个格,故C点可表示为（7,2）.

〔答案〕　6　1　（7,2）

[知识拓展]　对“有序”要准确理解,即两个数的位置不能随意交换,（a,b）与（b,a）顺序不同,含义就不同.当a=b时,它们表示同一有序数对,当a≠b时,它们表示不同的有序数对.

有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对,记作（a,b）.

1.如图所示,已知某城市A在地图上的位置如图所示,则城市A的位置在（　　）

A.东经120°,北纬30°

B.东经30°,北纬120°

C.东经110°,北纬30°

D.东经20°,北纬120°

解析:

地图上是通过用经度和纬度来表示城市的位置的,由图可知城市A所在的位置是东经120°,北纬30°.故选A.

2.如图所示,观察小岛A相对于灯塔O的位置,描述准确的是（　　）

A.北偏东60°

B.距灯塔20km处

C.北偏东30°且距灯塔20km处

D.北偏东60°且距灯塔20km处

解析:

由题意可知,观察小岛A相对于灯塔O的位置,需要方位角大小和小岛与O点的距离两个量.所以小岛A可以表示为北偏东60°且距灯塔20km处.故选D.

3.如图所示,进行“找宝”游戏,如果宝藏藏在（3,2）字母牌的下面,那么应该在字母L的下面寻找,如果宝藏藏在（4,5）字母牌的下面,那么应该在字母　　　　的下面寻找. 

解析:

先理解（4,5）表示4排5列,然后在图中找出对应的字母即可.因为（4,5）表示4排5列,而图中4排5列的字母为J,所以宝藏藏在J字母牌的下面.故填J.

4.在电影票上,将“7排6号”简记作（7,6）.

（1）6排7号可表示为　　　　. 

（2）（8,6）表示的意义是　. 

解析:

本题考查如何用有序数对表示位置.将“7排6号”表示为（7,6）,对比看出前数表示排号,后数表示位号,用小括号括起来,中间用“,”隔开.所以6排7号可表示为（6,7）.（8,6）表示的意义是8排6号.

答案:

（6,7）　8排6号

7.1.1　有序数对

1.有序数对

2.例题讲解

例题

一、教材作业

【选做题】

教材第65页练习.

【选做题】

教材68页习题7.1第1题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.在平面内,下列数据不能确定物体位置的是（　　）

A.3楼5号

B.北偏西40°

C.解放路30号

D.东经120°,北纬30°

2.如图所示的为一方队的示意图,A的位置为三列四行,表示为（3,4）,那么B的位置是（　　）

A.（4,5）B.（5,4）C.（4,2）D.（4,3）

3.如果电影票上的“3排4号”记作（3,4）,那么（4,3）表示　　　　排　　　　号. 

4.用有序数对（2,9）表示某住户住2单元9号房,那么（3,11）表示住户住几单元几号房?

5.如图所示,小海龟位于图中点A（2,1）处,按下述路线移动:

（2,1）→（2,4）→（7,4）→（7,7）→（1,7）→（1,1）→（2,1）.用粗线将小海龟经过的路线描出来,看一看像什么图形.

【能力提升】

6.下列关于有序数对的说法正确的是（　　）

A.（3,2）与（2,3）表示的位置相同

B.（a,b）与（b,a）表示的位置不同

C.（3,2）与（2,3）是表示不同位置的两个有序数对

D.（4,4）与（4,4）表示两个不同的位置

7.如图所示,将正整数按下图所示的规律排列下去,若用有序数对（n,m）表示n排从左到右第m个数.如（4,3）表示9,则（10,3）表示（　　）

A.46B.47

C.48D.49

8.如图所示,A表示三经路与一纬路的十字路口,B表示一经路与三纬路的十字路口,如果用（3,1）⇒（3,2）⇒（3,3）⇒（2,3）⇒（1,3）表示由A到B的一条路径,用同样的方式写出一条由A到B的路径:

（3,1）⇒（　　）⇒（　　）⇒（　　）⇒（1,3）. 

9.小明和小亮同去市科技馆参加科技报告会,小明的入场券写着5排6号,而小亮的入场券写着6排5号,若小明的座位记作（5,6）,那么小亮的座位记作　　　　. 

10.如图所示,点M表示王昊的座位,点N表示李乐的座位,点F表示赵明的座位.

（1）王昊的座位是第5组第3个,表示为M（5,3）;

（2）点C表示班上年龄最小的同学的座位,表示为C（　　,　　）; 

（3）把李乐的座位向左平移3个座位后,表示为（　　,　　）; 

（4）赵明西面相邻同学的座位表示为（　　,　　）;赵明南面相邻同学的座位表示为（　　,　　）. 

【拓展探究】

11.如图所示,从2街4巷到4街2巷,走最短的路线的走法共有多少种?

请写出来.

利用方格图和有序实数对表示出所有最短的路线的走法.

12.如图所示的为某城市的街道平面图,图中的线段表示道路.

（1）若A点所在的2街5大道的十字路口的位置可用（2,5）表示,那么B点可用什么方式表示?

（2）找出从A点到B点的一条最短线路,并用适当的方式表示这条最短线路.

（3）想一想,从A到B的最短线路共有多少条?

答案与解析

1.B（解析:

A.3楼5号,物体的位置明确,故本选项错误;B.北偏西40°,无法确定物体的具体位置,故本选项正确;C.解放路30号,物体的位置明确,故本选项错误;D.东经120°,北纬30°,物体的位置明确,故本选项错误.故选B.）

2.A（解析:

根据A的位置为三列四行,表示为（3,4）可知列写在前面,行写在后面,据此可以得到B的位置.由图形可以看出:

B点的位置为四列五行,故知B点可以表示为（4,5）.故选A.）

3.4　3（解析:

根据题意知前一个数表示排数,后一个数表示号数,所以（4,3）表示的座位是4排3号.）

4.解:

（3,11）表示住户住3单元11号房.

5.解:

如图所示,小海龟经过的路线图形像一面小旗.

6.C（解析:

本题考查了有序数对.由有序数对的定义知:

A.（3,2）与（2,3）是表示不同位置的两个有序数对,故此项错误;B.（a,b）与（b,a）当a≠b时是表示不同位置的两个有序数对,故此项错误;C.（3,2）与（2,3）是表示不同位置的两个有序数对,故此项正确;D.（4,4）与（4,4）是表示相同位置的两个有序数对,故此项错误.故选C.）

7.C（解析:

从图中可以发现,第n排的最后的数为

n（n+1）,所以第9排最后的数为

×9×（9+1）=45,（10,3）表示第10排第3个数,则第10排第3个数为45+3=48.故选C.）

8.（2,1）　（2,2）　（2,3）（解析:

此题首先根据题意明确横坐标表示经路,纵坐标表示纬路.然后结合图形画出路线,写出对应的坐标即可.根据题意,答案不唯一,可依次填（2,1）⇒（2,2）⇒（2,3）等.）

9.（6,5）（解析:

因为小明的入场券写着5排6号用（5,6）表示,即排数在前,列数在后,所以小亮的入场券写着6排5号,就可以表示为（6,5）.）

10.

（2）（2,1）　（3）（2,4）　（4）（2,6）　（3,5）（解析:

根据数对表示位置的方法观察图形可知王昊的座位是第5组第3个,表示为M（5,3）,则

（2）点C表示班上年龄最小的同学的座位,表示为C（2,1）,（3）把李乐的座位向左平移3个座位后,表示为（2,4）,（4）赵明西面相邻同学的座位表示为（2,6）;赵明南面相邻同学的座位表示为（3,5）.）

11.解:

从2街4巷到4街2巷,走最短的路线的走法有:

①（2,4）→（4,4）→（4,2）;②（2,4）→（3,4）→（3,2）→（4,2）;③（2,4）→（3,4）→（3,3）→（4,3）→（4,2）;④（2,4）→（2,3）→（4,3）→（4,2）;⑤（2,4）→（2,2）→（4,2）;⑥（2,4）→（2,3）→（3,3）→（3,2）→（4,2）.

12.解:

（1）因为B点所在的位置是5街3大道的十字路口,所以B点可用（5,3）表示.　

（2）答案不唯一,如（2,5）→（5,5）→（5,3）.　（3）从A到B的最短线路共有10条.

本课时通过生活实例帮助学生领会了“有序数对”对于描述事物位置的重要作用,使学生认识到仅靠语言描述事物位置还是不够的,并且初步学会了用“数对”描述事物的位置.

对于有序实数对的作用的准确性和唯一性没有做出特别重点的强调,在交代了有序数对定义后,没有让学生进行举例,少了生活体验这个环节.

有针对性地纠正本课时的不足之处,重点强调有序数对的准确性和唯一性,让学生从生活经验的角度体验有序数对的重要作用.可以再补充一个例题,强化学生对知识的掌握.

练习（教材第65页）

解:

“（2,5）→（2,4）→（2,3）→（2,2）→（3,2）→（4,2）→（5,2）”,“（2,5）→（2,4）→（3,4）→（3,3）→（3,2）→（4,2）→（5,2）”,“（2,5）→（3,5）→（4,5）→（4,4）→（4,3）→（4,2）→（5,2）”等,答案不唯一.

　如图所示的是中国象棋一次对局时的部分示意图,若“帅”所在的位置用有序数对（5,1）表示,请你用有序数对表示其他棋子的位置.

〔解析〕　由示例可知,有序数对（a,b）中a代表棋子所处的纵列数,b表示棋子所处的横排数.

解:

兵（2,5）,车（3,1）,仕（5,2）,马（6,4）,炮（8,3）,相（9,3）.

7.1.2　平面直角坐标系

认识平面直角坐标系,了解点的坐标的意义,会用坐标表示点,能画出点的坐标位置.

渗透对应关系,提高学生的数感.

体验数、符号是对描述现实生活的重要手段.

【重点】　平面直角坐标系和点的坐标.

【难点】　根据点的位置写出点的坐标,根据点的坐标描出点的位置.

　　【教师准备】　教材图7.1-3,7.1-4,7.1-5,7.1-6的投影图片.

　　【学生准备】　复习有序数对的定义和表示方法.

导入一:

如图是一条数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.例如,点A在数轴上的坐标为-4,点B在数轴上的坐标为2.反过来,知道数轴上一个点的坐标,这个点在数轴上的位置也就确定了.例如,数轴上坐标为5的点是点C.

导入二:

数学家笛卡儿潜心研究能否用代数中的计算来代替几何中的证明.有一天,在梦中他用金钥匙打开了数学宫殿的大门,遍地的珠子光彩夺目,他看见窗框角上有一只蜘蛛正忙着结网,顺着吐出的丝在空中飘动,一个念头闪过脑际:

眼前这一条条的横线和竖线不正是自己全力研究的直线和曲线吗?

由此笛卡儿发明了直角坐标系,你是不是很想知道什么是直角坐标系呢?

就让我们一起进入本节课的学习吧!

　　[过渡语]　数轴上的点是与实数一一对应的,但这种对应有个弊端,就是无法准确确定点的位置.直角坐标系就很好地解决了这个问题.

　　1.建立直角坐标系.

出示教材图7.1-3,回答问题:

（1）你如何表示A,B,C,D这四个点的位置?

（2）用一条数轴能否表示这四个点的位置?

（3）用两个原点互相重合、垂直的数轴,能表示这四个点的位置吗?

活动方式:

学生交流、讨论、动手操作.

问题预设:

第

（1）问学生可能会想到用上个课时的“有序数对”的知识进行说明,采取横纵标上数字的办法.对于学生的这种做法要给予积极的肯定,鼓励学生再去尝试其他的方法.第

（2）问,从A,B,C,D这四个点的位置看都不在同一条直线上,用一个数轴只能表示出两个点的位置.第（3）问首先介绍了利用两条数轴的方法,也就是原点重合、互相垂直,这也是直角坐标系建立的基本条件.两个这样的坐标轴放到图7.1-3上,注意相应的横线和竖线分别与坐标轴重合,这样就可以读出A,B,C,D四个点的坐标.

2.平面直角坐标系的相关概念.

（1）建立直角坐标系.

在平面内,两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系,如图所示.

水平的数轴称为x轴或横轴,竖直的数轴称为y轴或纵轴,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.

（2）平面直角坐标系的点.

把直角坐标系如下图建立起来,就可以读出A,B,C,D四个点的坐标.

问题1:

由点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是3,垂足N在y轴上的坐标是4,我们说点A的横坐标是3,纵坐标是4,有序数对（3,4）就叫做点A的坐标,记作A（3,4）.类似地,请你写出点B,C,D的坐标:

B（　　,　　）,C（　　,　　）,D（　　,　　）. 

处理方式:

学生交流讨论完成,老师巡视指导.

问题2:

原点O的坐标是什么?

x轴和y轴上的点的坐标有什么特点?

提示:

原点O的坐标为（0,0）;x轴上的点的纵坐标为0,例如（1,0）,（-1,0）,…;y轴上的点的横坐标为0,例如（0,1）,（0,-1）,….

（3）平面直角坐标系的象限.

问题:

什么是象限?

坐标原点属于哪个象限?

提示:

建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分（图7.1-5）,每个部分称为象限,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限.

3.例题讲解.

　（补充）如图所示,其中所画的平面直角坐标系符合要求的是（　　）

〔解析〕　A选项中x轴与y轴不互相垂直,故此选项不正确,B选项中两数轴的交点不对,故B选项也不正确;D选项中没有标明坐标原点及x轴与y轴,故也排除.故选C.

　（教材例题）在平面直角坐标系中描出下列各点:

A（4,5）,B（-2,3）,C（-4,-1）,D（2.5,-2）,E（0,-4）.

解:

先在x轴上找出表示4的点,再在y轴上找出表示5的点,过这两个点分别作x轴和y轴的垂线,垂线的交点就是点A.类似地,在图上描出点B,C,D,E.

4.坐标平面内的点与有序实数对的一一对应.

数轴上的点与实数是一一对应的.坐标平面内的点与一对有序实数是一一对应的吗?

对于坐标平面内任意一点M,都有唯一的一对有序实数（x,y）（即点M的坐标）和它对应;反过来,对于任意一对有序实数（x,y）,在坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.

　　[知识拓展]　

（1）求点的坐标时,横坐标要写在前面,纵坐标写在后面,中间用逗号隔开,再把它们括起来.

（2）坐标轴上点的坐标:

x轴上到原点的距离为|a|的点的坐标为（±a,0）,y轴上到原点的距离为|b|的点的坐标为（0,±b）.可类比数轴上的点与实数的关系来研究.

（3）建立直角坐标系的方法不同,同一个点在不同的直角坐标系中的坐标是不同的.

1.平面直角坐标系的相关概念:

横轴、纵轴、原点、象限.

2.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.

1.点（-2,1）所在的象限是（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析:

点（-2,1）的横坐标在x轴的负半轴上,纵坐标在y的正半轴上,所以点（-2,1）在第二象限.故选B.

　　2.在平面直角坐标系中,点P（-3,4）到x轴的距离为（　　）

A.3B.-3

C.4D.-4

解析:

点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值,到y轴的距离为点的横坐标的绝对值.因为|4|=4,所以点P（-3,4）到x轴距离为4.故选C.

　　3.如图所示,点A关于y轴的对称点的坐标是　　　　. 

解析:

首先根据平面直角坐标系可知点A的坐标为（-5,3）,再由平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点:

横坐标互为相反数,纵坐标相等,可得点A关于y轴的对称点的坐标是（5,3）.故填（5,3）.

4.如图所示,根据坐标平面内点的位置,分别写出图中点A,B,E的坐标.

解:

点的坐标分别为:

A（2,4）,B（1,3）,E（3,3）.

7.2.2　平面直角坐标系

1.建立直角坐标系

2.平面直角坐标系的相关概念

3.例题讲解

例1

例2

4.坐标平面内的点与有序实数对的一一对应

一、教材作业

【必做题】

教材第68页练习第1,2题.

【选做题】

教材第68页习题7.1第14题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.有以下三个说法:

①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的;②除了平面直角坐标系,我们也可以用方向和距离来确定物体的位置;③平面直角坐标系内的所有点都属于四个象限.其中错误的是（　　）

A.只有①B.只有②

C.只有③D.①②③

2.在平面直角坐标系中,位于第三象限的点是（　　）

A.（0,-1）B.（1,-2）

C.（-1,-2）D.（-1,2）

3.若点A（2,n）在x轴上,则点B（n-2,n+1）在（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.若点A（m+2,3）与点B（-4,n+5）关于y轴对称,则m+n=　　　　. 

5.如果点A的坐标为（-a2-3,b2+3）,那么点A在第几象限?

说说你的理由.

【能力提升】

6.若点P（x,y）满足xy=0,则点P在（　　）

A.原点处

B.四个象限中的某一个

C.y轴上

D.x轴上或y轴上或原点处

7.若点P（m,1-2m）的横坐标与纵坐标互为相反数,则点P一定在（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

8.点A在y轴的左侧,到x轴,y轴的距离分别是2和3,则点A的坐标是（　　）

A.（-3,2）B.（-3,-2）

C.（3,2）或（-3,2）D.（-3,2）或（-3,-2）

9.已知点P在第四象限,它的横坐标与纵坐标的和为-3,则点P的坐标是　　　　.（写出符合条件的一个点即可） 

10.如图所示,平面直角坐标系中,已知点A（-3,-2）,B（0,3）,C（-3,2）,求△ABC的面积.

【拓展探究】

11.如图所示,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点（1,1）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,…,按这样的运动规律,经过2015次运动后,动点P的坐标是　　　　. 

12.如图所示.

（1）写出五边形ABCDEF的顶点A,B,C,D,E,F的坐标;

（2）C,E两点的坐标有什么特征?

（3）直线CE与两条坐标轴有怎样的位置关系?

答案与解析

1.C（解析:

说法①②正确,说法③错误,因为平面直角坐标系把坐标平面分成四个部分,即把坐标平面分为四个不同象限,而在坐标轴上的点是不属于任何象限的.故选C.）

2.C（解析:

因为第三象限点的坐标特点是横纵坐标均为负数,所以只有选项C符合条件.故选C.）

3.B（解析:

由于点A（2,n）在x轴上,则n=0,那么点B的坐标为（-2,1）,所以点B在第二象限.故选B.）

4.0（解析:

因为点A（m+2,3）与点B（-4,n+5）关于y轴对称,所以m+2=4,3=n+5,解得m=2,n=-2,所以m+n=0,故答案为0.）

5.解:

因为-a2≤0,所以-a2-3≤-3,而b2≥0,所以b2+3≥3,即点A的横坐标一定小于零,而纵坐标一定大于零,所以点A一定在第二象限.

6.D（解析:

由xy=0可知x=0或y=0或x=y=0,所以该点位于x轴上或y轴上或原点处.）

7.D（解析:

因为点P（m,1-2m）的横坐标与纵坐标互为相反数,所以m=-（1-2m）,解得m=1,即1-2m=-1,所以点P的坐标是（1,-1）,所以点P在第四象限.故选D.）

8.D（解析:

因为点A在y轴的左侧,所以该点位于第二或第四象限,又因为该点到x轴,y轴的距离分别是2和3,所以其坐标为（-3,2）或（-3,-2）.）

9.答案不唯一,如（1,-4）（解析:

点P在第四象限,横坐标大于0,纵坐标小于0.先确定一个坐标的值,进而根据和为-3求解.设点P的坐标是（x,y）,则x>0,y<0,又因为横坐标与纵坐标的和为-3,所以当x=1时,就可以求出y=-4,就得到满足条件的一个坐标.）

10.解:

AC=2-（-2）=4,过点B作AC边上的高BD,垂线段BD的长与点A到y轴的距离相等.因为点A的坐标是（-3,-2）,所以BD=|-3|=3,所以△ABC的面积S=

×4×3=6.

11.（2015,2）（解析:

因为动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点（1,1）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,所以第4次运动到点（4