第二章 2.docx
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第二章2
第2课时 直线与圆的方程的实际应用
学习目标
1.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用.2.会用“数形结合”的数学思想解决问题．
导语
当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并以40km/h的速度向西偏北45°方向移动．已知距离台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？
受台风侵袭大概持续多长时间？
一、圆的方程的实际应用
例1 如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为________m.
答案 2
解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
设圆心为C，圆的方程设为x2＋（y＋r）2＝r2（r>0），水面所在弦的端点为A，B，则A（6，－2）．将A（6，－2）代入圆的方程，得r＝10，
则圆的方程为x2＋（y＋10）2＝100.当水面下降1m后，可设点A′（x0，－3）（x0>0），
将A′（x0，－3）代入圆的方程，得x0＝
，
所以当水面下降1m后，水面宽为2x0＝2
（m）．
延伸探究 某圆拱桥的水面跨度为20m，拱高为4m．现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？
解 建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上．依题意，有B（10,0），P（0,4），D（－5,0）．
设圆心C的坐标为（0，b），圆的半径为r，
设这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋（y－b）2＝r2，
把P，B两点的坐标代入圆的方程，
得到方程组
解得
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋（y＋10.5）2＝14.52（0≤y≤4）．
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3m,3<3.1，
所以该船可以从桥下通过．
反思感悟 建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．
跟踪训练1 一辆卡车宽1.6m，要经过一个半圆形隧道（半径为3.6m），则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过（ ）
A．1.4mB．3.5m
C．3.6mD．2.0m
答案 B
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为h，
则A（0.8，h），半圆所在圆的方程为x2＋y2＝3.62，
把点A的坐标代入上式可得，0.82＋h2＝3.62，
解得h＝4
≈3.5m.
二、直线与圆的方程的实际应用
例2 如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40
千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
解
（1）由题意，得A（40,40），B（20,0），设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得
∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0.
（2）该船初始位置为点D，
则D（－20，－20
），
且该船航线所在直线l的斜率为1，
故该船航行方向为直线l：
x－y＋20－20
＝0，
由
（1）得圆C的圆心为C（10,30），半径r＝10
，
由于圆心C到直线l的距离d＝
＝10
<10
，
故该船有触礁的危险．
反思感悟 解决直线与圆的实际应用题的步骤
（1）审题：
从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．
（2）建系：
建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．
（3）求解：
利用直线与圆的有关知识求出未知．
（4）还原：
将运算结果还原到实际问题中去．
跟踪训练2 如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45
m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10m，AB＝100m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：
m）（ ）
A．100
B．100
C．150
D．150
答案 A
解析 以A为坐标原点建立平面直角坐标系（图略），设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0（k>0），则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时
＝45
，
解得k＝1，此时求得小路长度为100
m.
1．知识清单：
（1）直线与圆的方程的应用．
（2）坐标法的应用．
2．方法归纳：
数学建模、坐标法．
3．常见误区：
不能正确进行数学建模．
1．一涵洞的横截面是半径为5m的半圆，则该半圆的方程是（ ）
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25（y≥0）
C．（x＋5）2＋y2＝25（y≤0）
D．随建立直角坐标系的变化而变化
答案 D
2．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4在x轴上方所围成的图形的面积是（ ）
A.
B.
C.
D．π
答案 D
解析 由图知，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的
，
即
×π×22＝π.
3．设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用（x－2）2＋（y＋3）2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________．
答案
－2
解析 从村庄外围到小路的最短距离为圆心（2，－3）到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，
即
－2＝
－2.
4．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：
台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它________（填“会”“不会”）受到台风的影响.
答案 不会
解析 如图，以台风中心为原点O，以东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度．则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方程为x2＋y2＝9；轮船航线所在的直线l的方程为4x＋7y－28＝0.可知直线与圆相离，故轮船不会受到台风的影响．
课时对点练
1．如图，圆弧形拱桥的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为（ ）
A．15米B．13米
C．9米D．6.5米
答案 B
解析 如图，设圆心为O，半径为r，
则由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，
即r2＝（r－4）2＋62，
解得r＝
，
所以拱桥的直径为13米．
2．已知点A（－1,1）和圆C：
（x－5）2＋（y－7）2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是（ ）
A．6
－2B．8C．4
D．10
答案 B
解析 点A关于x轴的对称点A′（－1，－1），A′与圆心（5,7）的距离为
＝10.
∴所求最短路程为10－2＝8.
3.如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围为（ ）
A.
B．（0，π]
C.
D．（0,2－π]
答案 C
解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最大值，
此时四边形ABO2O1为矩形，
且Smax＝2×1－
·
·12×2＝2－
.
4.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离为（ ）
A．6kmB．（4
－1）km
C．（4
＋1）kmD．4km
答案 B
解析 以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系（图略），
则圆O的方程为x2＋y2＝1，
因为点B（8,0），C（0,8），
所以直线BC的方程为x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线（距BC较近的一条）与圆相切所成切点处时，DE为最短距离，此时DE的最小值为
－1＝（4
－1）km.
5．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在公园外两点A（－2,0），B（0,2）与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台面积的最小值为（ ）
A．3－
B．3＋
C．3－
D.
答案 A
解析 lAB：
x－y＋2＝0，圆心（1,0）到l的距离d＝
＝
，
所以AB边上的高的最小值为
－1.
所以Smin＝
×2
×
＝3－
.
6．（多选）从点A（－3,3）发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：
x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是（ ）
A．若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0
B．若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0
C．若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是5
－1
D．若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是
答案 BCD
解析 点A（－3,3）关于x轴的对称点为A′（－3，－3）．圆的方程为（x－2）2＋（y－2）2＝1，求题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k（x＋3），即kx－y＋3k－3＝0.由相切知
＝1，
解得k＝
或k＝
.
∴反射光线方程为y＋3＝
（x＋3）或y＋3＝
（x＋3）．
即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误．
又A′（－3，－3），C（2,2）的方程为y＝x，故B正确；
因为|A′C|＝
＝5
，所以直线的最短路程为5
－1，故C正确．
由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为（1,0）和
，所以被挡住的范围是
，故D正确．
7．某圆弧形拱桥的水面跨度是20m，拱高为4m．现有一船宽9m，在水面以上部分高3m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低________m时，船才能安全通过桥洞．（结果精确到0.01m）
答案 1.22
解析 以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
设圆拱所在圆的方程为x2＋（y－b）2＝r2，
∵圆经过点B（10,0），C（0,4），
∴
解得
∴圆的方程是x2＋（y＋10.5）2＝14.52（0≤y≤4），
令x＝4.5，得y≈3.28，
故当水位暴涨1.5m后，船身至少应降低1.5－（3.28－3）＝1.22（m），船才能安全通过桥洞．
8．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区的时间为________h.
答案 1
解析 如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则台风中心经过以B（40,0）为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，
即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得|MN|＝20，
所以时间为1h.
9．设有半径长为3km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：
甲、乙两人在何处相遇？
解 如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系．
设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，设D点坐标为（a,0），C点坐标为（0，b），则CD所在直线的方程为
＋
＝1（a＞3，b＞3），乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有
解得
所以乙向北前进3.75km时甲、乙两人相遇．
10.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h.问：
这艘外籍轮船能否被海监船监测到？
若能，持续时间多长？
（要求用坐标法）
解 如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，
则A（40,0），B（0,30），
圆O的方程为x2＋y2＝252.
直线AB的方程为
＋
＝1，
即3x＋4y－120＝0.
设点O到直线AB的距离为d，
则d＝
＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设监测时间为t，
则t＝
＝0.5（h）．
11．（多选）如图所示，已知直线l的方程是y＝
x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点（0,1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为（ ）
A．6秒B．8秒C．10秒D．16秒
答案 AD
解析 设当圆与直线l相切时，圆心坐标为（0，m），
则圆心到直线l的距离为
＝
，
得m＝－
或m＝－
，
所以该圆运动的时间为
＝6（秒）或
＝16（秒）．
12．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为（ ）
A．（12
－24）mB．（12
＋24）m
C．（24－12
）mD．不确定
答案 A
解析 如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为（－18,0），（18,0），（0,6）．
设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为A，B，P在此圆上，故有
解得
故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.
将点P2的横坐标x＝6代入上式，
结合图形解得y＝－24＋12
.
故支柱A2P2的长为（12
－24）m.
13.如图是一公路隧道截面图，下方ABCD是矩形，且AB＝4m，BC＝8m，隧道顶APD是一圆弧，拱高OP＝2m，隧道有两车道EF和FG，每车道宽3.5m，车道两边留有0.5m人行道BE和GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6m的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是________m．（精确到0.01m，
≈7.141）
答案 3.97
解析 建立如图所示的平面直角坐标系xOy，
设弧APD所在圆的圆心坐标为O1（0，b），半径为r，则其方程为x2＋（y－b）2＝r2.
将P（0,2），D（4,0）的坐标代入以上方程，
解得b＝－3，r＝5，
故圆O1的方程为x2＋（y＋3）2＝25.
过点E作AD的垂线交AD于点M，延长交弧AD于点N，
将N（－3.5，h）代入圆O1的方程，
解得h≈0.571，即|MN|≈0.571，
则|EN|≈4＋0.571＝4.571，
从而车辆的限高为4.571－0.6≈3.97（m）．
14．自圆外一点P作圆O：
x2＋y2＝1的两条切线PM，PN（M，N为切点），若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是________________．
答案 x2＋y2＝2
解析 设点P的坐标为（x，y），
则|PO|＝
.
∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，
∴|PO|＝
|OM|＝
，
∴
＝
，即x2＋y2＝2.
15．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为（ ）
A．2.4米B．3.5米C．3.6米D．2.0米
答案 B
解析 以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62（y≥0），
由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，
此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，
得y≈3.5（负值舍去）．
16.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：
新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO＝
.
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
解
（1）如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
由条件知，A（0,60），C（170,0），
直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－
.
又因为AB⊥BC，
所以直线AB的斜率kAB＝
.
设点B的坐标为（a，b），
则kBC＝
＝－
，①
kAB＝
＝
，②
联立①②解得a＝80，b＝120.
所以|BC|＝
＝150.
因此新桥BC的长为150m.
（2）设保护区的边界圆M的半径为rm，|OM|＝dm（0≤d≤60）．
由条件知，直线BC的方程为y＝－
（x－170），
即4x＋3y－680＝0.
由于圆M与直线BC相切，
故点M（0，d）到直线BC的距离是r，
即r＝
＝
.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，
所以
即
解得10≤d≤35.
故当d＝10时，r＝
最大，即圆的面积最大．
所以当|OM|＝10m时，圆形保护区的面积最大．
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