第二章 2.docx

1、第二章 2第2课时直线与圆的方程的实际应用学习目标1. 理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用.2.会用“数形结合”的数学思想解决问题导语当前台风中心P在某海滨城市O向东300 km处生成，并以40 km/h的速度向西偏北45方向移动已知距离台风中心250 km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？受台风侵袭大概持续多长时间？一、圆的方程的实际应用例1如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为_m.答案2解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系设圆心为C，

2、圆的方程设为x2(yr)2r2(r0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，2)将A(6，2)代入圆的方程，得r10，则圆的方程为x2(y10)2100.当水面下降1 m后，可设点A(x0，3)(x00)，将A(x0，3)代入圆的方程，得x0，所以当水面下降1 m后，水面宽为2x02(m)延伸探究某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？解建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上依题意，有B(10,0)，P(0,4)，D(5,0)设圆心C的坐标为(0，b)，圆的半径为r，设这座圆拱桥的拱圆的方程是x2(yb)2r2，把P，B两点的坐标

3、代入圆的方程，得到方程组解得所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2(y10.5)214.52(0y4)把点D的横坐标x5代入上式，得y3.1.由于船在水面以上高3 m,33.1，所以该船可以从桥下通过反思感悟建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题跟踪训练1一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A1.4 m B3.5 mC3.6 m D2.0 m答案B解析建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为h，则A(0.8，h)，半圆所在圆的方程为x2y23.62，把点A的坐标代入上式可得

4、，0.82h23.62，解得h43.5 m.二、直线与圆的方程的实际应用例2如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O，A，B三点(1)求圆C的方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？解(1)由题意，得A(40,40)，B(20,0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2y2DxEyF0，则解得圆C的方

5、程为x2y220x60y0.(2)该船初始位置为点D，则D(20，20)，且该船航线所在直线l的斜率为1，故该船航行方向为直线l：xy20200，由(1)得圆C的圆心为C(10,30)，半径r10，由于圆心C到直线l的距离d100)，则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时45，解得k1，此时求得小路长度为100 m.1知识清单：(1)直线与圆的方程的应用(2)坐标法的应用2方法归纳：数学建模、坐标法3常见误区：不能正确进行数学建模1一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是()Ax2y225Bx2y225(y0)C(x5)2y225(y0) D随建立直角坐标系的变化而变化答案D2

6、y|x|的图象和圆x2y24在x轴上方所围成的图形的面积是()A. B.C. D答案D解析由图知，所求面积是圆x2y24面积的，即22.3设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x2)2(y3)24表示，村外一小路方程可用xy20表示，则从村庄外围到小路的最短距离是_答案2解析从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，3)到直线xy20的距离减去圆的半径2，即22.4一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它_(填“会”“不会”)受到台风的影

7、响. 答案不会解析如图，以台风中心为原点O，以东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10 km为单位长度则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方程为x2y29；轮船航线所在的直线l的方程为4x7y280.可知直线与圆相离，故轮船不会受到台风的影响课时对点练1如图，圆弧形拱桥的跨度|AB|12米，拱高|CD|4米，则拱桥的直径为()A15米 B13米C9米 D6.5米答案B解析如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得|OB|2|OD|2|BD|2，即r2(r4)262，解得r，所以拱桥的直径为13米2已知点A(1,1)和圆C：(x5)2(y7)24，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短

8、路程是()A62 B8 C4 D10答案B解析点A关于x轴的对称点A(1，1)，A与圆心(5,7)的距离为10.所求最短路程为1028.3.如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围为()A. B(0，C. D(0,2答案C解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最大值，此时四边形ABO2O1为矩形，且Smax211222.4.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着

9、向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离为()A6 km B(41)kmC(41)km D4 km答案B解析以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则圆O的方程为x2y21，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为xy8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离，此时DE的最小值为1(41)km.5设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2y22x0表示，在公园外两

10、点A(2,0)，B(0,2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台面积的最小值为()A3 B3C3 D.答案A解析lAB：xy20，圆心(1,0)到l的距离d，所以AB边上的高的最小值为1.所以Smin23.6(多选)从点A(3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2y24x4y70上，则下列结论正确的是()A若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x4y30B若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为xy0C若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是51D若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是答案BCD解析点A(3,3)关于x轴的对称点为A(3，3)圆的

11、方程为(x2)2(y2)21，求题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y3k(x3)，即kxy3k30.由相切知1，解得k或k.反射光线方程为y3(x3)或y3(x3)即4x3y30或3x4y30，故A错误又A(3，3)，C(2,2)的方程为yx，故B正确；因为|AC|5，所以直线的最短路程为51，故C正确由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1,0)和，所以被挡住的范围是，故D正确7某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低_m时，船才能安全通过桥洞(结果精确

12、到0.01 m)答案1.22解析以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设圆拱所在圆的方程为x2(yb)2r2，圆经过点B(10,0)，C(0,4)，解得圆的方程是x2(y10.5)214.52(0y4)，令x4.5，得y3.28，故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5(3.283)1.22 (m)，船才能安全通过桥洞8台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为_h.答案1解析如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B

13、(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得|MN|20，所以时间为1 h.9设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为31，问：甲、乙两人在何处相遇？解如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，设D点坐标为(a,0)，C点坐标为(0，b)，则CD所在直线的方程为1(a3，b3)，乙的速度为v，则甲的速度为

14、3v.依题意，有解得所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇10.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O的方程为x2y2252.直线AB的方程为1，即3x4y1200.设点O到直线AB的距离为d，则d2425，所以外籍轮船能被海监船监测到设监测时间为t，则t0.5(h)11(

15、多选)如图所示，已知直线l的方程是yx4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为()A6秒 B8秒 C10秒 D16秒答案AD解析设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心到直线l的距离为，得m或m，所以该圆运动的时间为6(秒)或16(秒)12某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为()A(1224)m B(1224)mC(2412)m D不确定答案A解析如图，以线

16、段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(18,0)，(18,0)，(0,6)设圆拱所在的圆的方程是x2y2DxEyF0.因为A，B，P在此圆上，故有解得故圆拱所在圆的方程是x2y248y3240.将点P2的横坐标x6代入上式，结合图形解得y2412.故支柱A2P2的长为(1224)m.13.如图是一公路隧道截面图，下方ABCD是矩形，且AB4 m，BC8 m，隧道顶APD是一圆弧，拱高OP2 m，隧道有两车道EF和FG，每车道宽3.5 m，车道两边留有0.5 m人行道BE和GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙，则此

17、隧道允许通行车辆的限高是_m(精确到0.01 m，7.141)答案3.97解析建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设弧APD所在圆的圆心坐标为O1(0，b)，半径为r，则其方程为x2(yb)2r2.将P(0,2)，D(4,0)的坐标代入以上方程，解得b3，r5，故圆O1的方程为x2(y3)225.过点E作AD的垂线交AD于点M，延长交弧AD于点N，将N(3.5，h)代入圆O1的方程，解得h0.571，即|MN|0.571，则|EN|40.5714.571，从而车辆的限高为4.5710.63.97 (m)14自圆外一点P作圆O：x2y21的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若MPN90，则动点

18、P的轨迹方程是_答案x2y22解析设点P的坐标为(x，y)，则|PO|.MPN90，四边形OMPN为正方形，|PO|OM|，即x2y22.15一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为()A2.4米 B3.5米 C3.6米 D2.0米答案B解析以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系易知半圆所在的圆的方程为x2y23.62(y0)，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x0.8或x0.8，代入x2y23.62，得y3.5(负值舍去)16.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一

19、座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan BCO.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.由条件知，A(0,60)，C(170,0)，直线BC的斜率kBCtan BCO.又因为ABBC，所以直线AB的斜率kAB.设点B的坐标为(a，b)，则kBC，kAB，联立解得a80，b120.所以|BC|150.因此新桥BC的长为150 m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，|OM|d m(0d60)由条件知，直线BC的方程为y(x170)，即4x3y6800.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以即解得10d35.故当d10时，r最大，即圆的面积最大所以当|OM|10 m时，圆形保护区的面积最大