课时作业三A第一章 2 一定是直角三角形吗.docx
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课时作业三A第一章2一定是直角三角形吗
课时作业（三）A
[第一章 2 一定是直角三角形吗]
一、选择题
1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．5，12，13B．8，9，10
C．3，4，5D．7，24，25
2．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．2，3，4B．0.3，0.4，0.5
C．7，24，25D.
，
，
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＝c2，∠A＝15°，则∠B的度数为（ ）
A．15°B．75°C．90°D．105°
4．如图3－K－1所示，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC的长为（ ）
图3－K－1
A．10B．11C．12D．13
5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a＋b）（a－b）＝c2－2b2，则（ ）
A．△ABC是直角三角形，且∠A为直角
B．△ABC是直角三角形，且∠B为直角
C．△ABC是直角三角形，且∠C为直角
D．△ABC不是直角三角形
6．如图3－K－2，在四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝3cm，CD＝4cm，∠C＝90°，当AD为________时，∠ABD＝90°（ ）
图3－K－2
A．5cmB．8cmC．12cmD．13cm
二、填空题
7．现有两根木棒的长度分别是40cm和50cm，若再取一根木棒使三根木棒首尾相连钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，则所需木棒的最短长度为________cm.
8．若一个三角形的三边长分别为8，15，17，则它的最长边上的高为________．
9．如图3－K－3是由边长均为1的小正方形组成的网格图，A，B，C，D是网格线的交点，在以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成________个直角三角形．
图3－K－3
10．观察下面几组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5； ②6，8，10；
③8，15，17;④10，24，26……
请你根据规律写出第⑤组勾股数：
__________．
三、解答题
11．如图3－K－4，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝4，BD＝2，CD＝8.求∠BAC的度数．
图3－K－4
12．如图3－K－5，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝17，BC＝8，CD＝12，DA＝9.
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
图3－K－5
13．如图3－K－6，在由6个大小相同的小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C是三个格点（即小正方形的顶点）．判断AB与BC的关系，并说明理由．
图3－K－6
14．如图3－K－7，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后再沿另一方向走100m回到家A处．小明在河边B处取水后是沿哪个方向走的？
图3－K－7
15．如图3－K－8所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，它的周长为36cm，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P，Q同时出发，那么经过3秒时，△BPQ的面积为多少？
图3－K－8
探索性问题题目：
王老师在一次“构造勾股数”的探究性学习中，给出了下表：
m
2
3
3
4
…
n
1
1
2
3
…
a
22＋12
32＋12
32＋22
42＋32
…
b
4
6
12
24
…
c
22－12
32－12
32－22
42－32
…
其中m，n为正整数，且m＞n.
（1）观察表格，当m＝2，n＝1时，对应的a，b，c的值能不能为直角三角形三边的长？
说明你的理由．
（2）探究a，b，c与m，n之间的关系，并用含m，n的代数式表示：
a＝________，b＝________，c＝________．
（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？
如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．
教师详解详析
【课时作业A】
[课堂达标]
1．B
2．[解析]C A．因为22＋32≠42，所以不是勾股数，故此选项错误；B.因为0.32＋0.42＝0.52，但0.3，0.4，0.5不是正整数，所以不是勾股数，故此选项错误；C.因为72＋242＝252，且7，24，25是正整数，所以是勾股数，故此选项正确；D.因为（
）2＋（
）2≠（
）2，所以不是勾股数，故此选项错误．故选C.
3．[解析]B 因为a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.所以∠A＋∠B＝90°.又因为∠A＝15°，所以∠B＝90°－15°＝75°.故答案为B.
4．D
5．[解析]C 利用平方差公式，得a2－b2＝c2－2b2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC是直角三角形，其中c为斜边，∠C为直角．故选C.
6．[解析]D 在△BDC中，∠C＝90°，BC＝3cm，CD＝4cm，根据勾股定理，得BD2＝BC2＋CD2，
即BD2＝32＋42＝25，所以BD＝5cm.当∠ABD＝90°时，AD2＝BD2＋AB2，其中AB＝12cm，BD＝5cm，则AD2＝122＋52＝169，所以AD＝13cm.
7．[答案]30
[解析]现有两根木棒的长度分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，当斜边为50cm，直角边为40cm时，所需第三根木棒的长度最短，此时，502－402＝900＝302，所以木棒的最短长度为30cm.
8．[答案]
[解析]因为三角形的三边长分别为8，15，17，82＋152＝289＝172，所以此三角形是直角三角形，长为17的边是最长边．设这个三角形最长边上的高是h，则8×15＝17h，解得h＝
.
9．[答案]3
[解析]由勾股定理得AD2＝BD2＝12＋32＝10，AC2＝12＋22＝5，AB2＝22＋42＝20，BC2＝CD2＝25.
因为AD2＋BD2＝AB2，AC2＋AB2＝BC2，AC2＋AB2＝CD2，
所以能够组成3个直角三角形．
10．[答案]12，35，37
[解析]观察前4组数据的规律可知：
第一个数是2（n＋1）；第二个数是n（n＋2）；第三个数是（n＋1）2＋1.所以第⑤组勾股数是12，35，37.
11．解：
因为AD⊥BC，AD＝4，BD＝2，
所以AB2＝AD2＋BD2＝20.
因为AD⊥BC，CD＝8，AD＝4，
所以AC2＝CD2＋AD2＝80.
因为BC＝BD＋CD＝10，
所以BC2＝100.
所以AC2＋AB2＝100＝BC2.
所以△ABC是直角三角形，即∠BAC＝90°.
12．解：
（1）因为AC⊥BC，
所以AC2＝AB2－BC2＝172－82＝225.
所以AC＝15.
（2）因为AD2＋CD2＝92＋122＝225＝AC2，
所以∠D＝90°.
所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝
×8×15＋
×12×9＝114.
13．解：
AB＝BC，AB⊥BC.
理由：
如图，连接AC.
由勾股定理可得AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，
所以AB＝BC，AB2＋BC2＝AC2.
所以△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，即AB⊥BC.
14．解：
因为AB＝60m，BC＝80m，AC＝100m，
所以AB2＋BC2＝AC2.
所以∠ABC＝90°.
因为AD∥NM，
所以∠NBA＝∠BAD＝30°.
所以∠MBC＝180°－90°－30°＝60°.
所以小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
15．解：
设AB＝3xcm，则BC＝4xcm，AC＝5xcm.
因为△ABC的周长为36cm，
所以AB＋BC＋AC＝36cm，
即3x＋4x＋5x＝36，解得x＝3.
所以AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm.
因为AB2＋BC2＝AC2，
所以△ABC是直角三角形．
经过3秒时，BP＝9－3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
所以S△BPQ＝
BP·BQ＝
×6×6＝18（cm2）．
故经过3秒时，△BPQ的面积为18cm2.
[素养提升]
解：
（1）能．理由：
当m＝2，n＝1时，a＝5，b＝4，c＝3.
因为32＋42＝52，
所以当m＝2，n＝1时，对应的a，b，c的值能为直角三角形三边的长．
（2）观察得a＝m2＋n2，b＝2mn，c＝m2－n2.
（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．
理由：
因为a2＝（m2＋n2）2＝m4＋2m2n2＋n4，
b2＋c2＝4m2n2＋m4－2m2n2＋n4＝m4＋2m2n2＋n4，
所以a2＝b2＋c2.
所以以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．
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