数学分析课本华师大三版习题及答案第四章.docx
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数学分析课本华师大三版习题及答案第四章
篇一：
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第八章
第八章不定积分
一.填空题
x
1．若f?
（e）?
1?
x，则f（x）?
___________
2．设f（x）的一个原函数为xe，则?
xf?
（x）dx?
_____________3．若e
?
x
x
是f（x）的一个原函数，则?
xf（x）dx?
________________
4．若f（x）?
1，则f（x）?
____________5．?
max（x,x）dx?
___________________
6．若f（x）有原函数xlnx，则?
xf（x）dx?
_______________7．?
ln（sinx）sin
2
?
3
2
x
dx?
________________
8．若?
dx（1?
2cosx）
2
?
Asinx1?
2cosx
?
B?
dx1?
2cosx
，则A?
__________，B?
__________
9．设?
xf（x）dx?
arcsinx?
C，则?
dxx（4?
x）
lnx?
1x
2
dxf（x）
?
_________
10．?
?
_________________
11．?
dx?
_________________
12．?
13．?
14．?
?
a?
sin（lnx）?
cos（lnx）
n
x
?
________________
?
f（x）?
xf?
（x）?
dx
dx1?
e
x
?
________________
?
_____________
15．?
16．?
xe
x2
（1?
x）
dx?
_____________________
4sinx?
3cosxsinx?
2cosx
dx?
______________
2
17．已知f?
（2?
cosx）?
sinx?
tan
2
x，则f（x）?
_______________
18．?
f?
（x）1f（x）?
2
dx?
______________
19.若?
f（x）dx?
F（x）?
C,而u（x）,则?
f（u）du?
___________.20设函数f（x）的二阶导数f（x）连续,那么?
xf（x）dx?
__________.21设f（x）的原函数是
sinxx
,则?
xf?
（x）dx?
__________.
112
22已知曲线y?
f（x）上任一点的切线斜率为3x2?
3x?
6,且x1时,y?
则f（x）?
__________;f（x）的极小值是__________.
1?
x
2
是极大值,
23已知一个函数的导数为f（x）?
并且当x?
1时,这个函数值等于
32
?
则这个函
数为F（x）?
__________.24设f?
（sin
2
x）?
cosx（x?
1）,则f（x）?
__________.
2
25若f（x）为连续函数,且f?
（x）?
f（x）,则?
f（x）dx?
__________.26若（?
f（x）dx）lnx,则f（x）?
__________.27已知e28
?
x
2
是f（x）的一个原函数,则?
f（tanx）secxdx?
__________.
2
2?
f（）dx?
__________.2
xx
1?
x
29设f（x）dxC,则f（x）?
__________.
1?
x
?
1
?
30在积分曲线族?
二、选择填空题1．设I?
1xx
dx中,过（1,1）点的积分曲线是y?
__________.
?
x
e?
1e?
1
x
x
，则I?
（）
A.ln（1?
e）?
CB.2ln（1?
e）?
x?
CC.x?
2ln（1?
e）?
CD.ln（e?
1）?
C
2．设f（x）是连续的偶函数，则期原函数F（x）一定是（）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.有一个是奇函数
x
x
x
3．设I1?
?
1?
xdx,I2?
?
du，则存在函数u?
u（x），使（）
x（1?
xex
）
u（1?
u）
A.I1?
I2?
xB.I1?
I2?
xC.I2I1D.I2?
I14．当n1时，?
xn
lnxdx?
（）n
n?
1
A.x
n
（lnx?
1n
）?
CB.
x
n?
1（lnx?
1n?
1
）?
C
n?
1
C.1?
1
x
n?
1
x
n（lnx?
1n?
1
）?
CD.
n?
1
lnx?
C
7．?
（cosx2
?
sin
x2
）dx?
（）
A.2（sinx?
cos
x）?
CB.2（cos
xx2
2
2?
sin
2）?
C
C.sinx?
cosx
xx22?
CD.cos2
?
sin2?
C
8．?
x?
sinx
1?
cosx
dx?
（）
A.xcotxxxx2?
CB.xtan2?
CC.x
2cotx?
CD.2tan2
?
C
9．若f（x）的导函数是e?
x
?
cosx，则f（x）的一个原函数为（）
A.e
?
x
?
cosxB.?
e
?
x
?
sinxC.?
e?
x
?
cosxD.e
?
x
?
sinx
10．若f（x）是以l为周期的连续函数，则其原函数（）。
A.是以l为周期的函数B.是周期函数，但周期不是lC.不是周期函数D.不一定是周期函数
12．已知函数y?
3x2
的一条积分曲线过（1,1）点，则其积分曲线的方程为（）A.y?
x3
B.y?
x3
?
1C.y?
x3
?
2D.y?
x3
?
C13．?
xf（x）dx?
（）A.xf'（x）?
?
f（x）dxB.xf'（x）?
f'（x）?
C
C.xf'（x）?
f（x）?
CD.f（x）?
xf'（x）?
C14．sin2x的原函数是（）
A.2cos2xB.
12
cos2xC.?
cos
2
xD.
12
sin2x
15．若f'（x）为连续函数，则?
f'（2x）dx?
（）A.f（2x）?
CB.f（x）?
CC.
12
f（2x）?
CD.2f（2x）?
C
16.一个函数的原函数如果有的话有（）.
（A）一个；（B）两个；（C）无穷多个；（D）都不对.
17.若?
f（x）dx?
F（x）?
C,且x?
at?
b,则?
f（t）dt?
（）.（A）F（x）?
c;（B）F（t）?
c;（C）
1a
F（at?
b）?
C;（D）F（at?
b）?
C.
18.设f（x）为可导函数,则（）.（A）
?
f（x）dx?
f（x）;（B）
?
f?
（x）dx?
f（x）;f（x）?
C.
（C）（
?
f（x）dx）
f（x）;（D）（
?
f（x）dx）
19.若u,v都是x的可微函数,则?
udv?
（）.（A）uv?
（C）uv?
?
vdu;（B）uvu?
vdu;?
v?
du;（D）uvuv?
du.
?
x
2
20．已知f（x）的一个原函数是e（A）?
2xe（C）e
?
x
2
,求?
xf?
（x）dx?
（）.
?
2xe
2
?
x
2?
x
2
?
C;（B）
2
;f（x）dx..
（?
2x?
1）?
C;（D）xf（x）?
?
21.已知曲线上任意点的二阶导数y?
6x,且在曲线上（0,-2）处的切线为2x?
3y?
6,则这条曲线的方程为（）.
（A）y?
x?
2x?
2;（B）3x?
2x?
3y?
6?
0;（C）y?
x;（D）以上都不对.
33
3
22.若f（x）的一个原函数是ln（2x）,则f?
（x）?
（）.（A）?
1x
2
;（B）
1x
;（C）ln（2x）;（D）x?
ln2x.
23.若?
df（x）dg（x）,则下列各式中不成立的是（）.
（A）f（x）?
g（x）;（B）f?
（x）?
g?
（x）;（C）df（x）?
dg（x）;（D）d
?
f?
（x）dx?
d?
g?
（x）dx.
24.若f?
（x2）?
1x
（x?
0）,则f（x）?
（）.
1x
（A）2x?
C;（B）lnx?
C;（C）2x?
C;（D）
f?
（lnx）x
?
C
25.若f（x）?
e?
2x,则?
（A）
1x
2
dx?
（）.
?
C;（B）?
1x
2
?
C;（C）?
lnx?
C;（D）lnx?
C.
?
x
26.设?
f（x）dx?
F（x）?
C,则?
e（A）F（e）?
C;（B）F（e
x
f（e
?
x
）dx?
（）.
?
x
）?
C;（C）
F（ex
?
x
）
?
C;（D）?
F（e
?
x
）?
C.
27.设sinx是f（x）的一个原函数,则?
xf（x）dx?
（）.
（A）xsinx?
cosx?
C;（B）xsinx?
cosx?
C;（C）xcosx?
sinx?
C;（D）xcosx?
sinx?
C.
28.设f（x）?
cosx,则f（x）在区间（）是可积的.
（A）（,）;（B）[0,）;（C）[,?
];（D）[?
1,0.
29.在计算积分?
x
2?
xdx时,为使被积函数有理化,可做变换（）.
（A）x?
sint;（B）x?
tant;
（C）x?
sect;（D）t?
3
?
x.
30.
?
x
2x
2
?
2x?
5
dx?
?
（x?
1）
2x?
2?
2
2
?
4
dx?
（）.
x?
1x?
122
?
c;（B）lnx?
2x?
5?
arcta?
c;（A）lnx?
2x?
5?
2arcta22x?
11x?
122
?
c;（D）lnx?
2x?
5?
arcta?
c.（C）lnx?
2x?
5?
2arcta424
三、计算题
1.求一曲线y=f（x）,使它在点（x、f（x））处的切线的斜率为2x,且通过点（2、5）.2.求下列不定积分:
篇二：
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第二十二章
第二十二章曲面积分
一、证明题
1.证明:
由曲面S所包围的立体V的体积等于
V=
余弦.
2.若S为封闭曲面,L为任何固定方向,则cos?
n,L?
ds=0
S1?
xcosycoszcosr?
ds其中cos?
cos?
cpsr3S为曲面S的外法线方向
其中n为曲面S的外法线方向.
3.证明公式
?
Vdxdydzr=1cos?
r,n?
ds2S
其中S是包围V的曲面,n为S的外法线方向.r=x2?
y2?
z2,r=（x,y,z）.
4.证明:
场A=?
yz?
2x?
y?
z?
zs?
x?
2y?
z?
xy?
x?
y?
2z是有势场并求其势函数.
二、计算题
1.计算下列第一型曲面积分:
（1）?
x?
y?
z?
ds,其中S为上半球面
S
2222x?
y?
z=az?
0;
（2）?
x
S2?
y2?
ds,其中S为主体x?
y22?
z?
1的边界曲面;
（3）
S1x?
y22ds,其中S为柱面x2?
y2?
R2被平面Z=0,Z=H所截取的P分;
（4）xyzds
S,其中S为平面在第一卦限中的部分.
2.计算zds,其中S为圆锥表面的一部分.
S2
?
x?
rcos?
sin0?
r?
a?
S:
?
y?
rsin?
sin?
D:
?
0?
2?
z?
rcos
这里θ为常数（0<θ
2）.
3.计算下列第二型曲面积分
（1）y?
x?
z?
dydz+x2dzdx+?
y2?
xz?
dxdy,其中S为x=y=z=0,x=y=z=a平成所围成
S
的正方体并取处侧为正向;
（2）?
x?
y?
dydzy?
z?
dzdxz?
x?
dxdy,其中S是以原点中心,边长为2的正方体
S
表面并取外侧正向;
（3）xydydz?
yzdzdx?
zxdxdy,其中S是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体
S
表面并取外侧为正向;
（4）yzdzdx,其中S是球面,x2?
y2?
z2=1的上半部分并取外侧为正向;
S
2（5）xdydz?
ydzdx?
zdxdy,其中S是球面?
x?
a?
+?
y?
b?
+?
x?
c?
=R并取222222
S
外侧为正向.
4.设某流体的流速为V=（x,y,0）,求单位时间内从球面x2+y2+z2=4的内部流过球面的流量
5.计算第二型曲面积分
I=f?
x?
dydz+g?
y?
dzdx+h?
z?
dxdy
S
其中S是平行分面体（0?
x?
a,0?
y?
b,0?
z?
c）表面并取外侧,f（x）,g（y）,h（z）为S上的连续函数,
6.设磁场强度为E（x,y,z）,求从球内出发通过上半球面x2+y2+z2=a2,z=0的磁通量,
7.应用高斯公式计算下列曲面积分:
（1）
（2）Syzdydz?
zxdzds?
sydxdy,其中S为单位球面x2+y2+z2=1的外侧;xdydz?
ydzds?
zdxdy,其中S是立方体0?
x,y,z?
a的表面取外侧;
xdydz?
ydzds?
zdxdy,其中S为锥面x2+y2=z2与平面z=h所围的空间区222222S
S（3）域（0?
z?
h）的表面方向取外侧;
（4）x
S2dydz?
ydzds?
zdxdy,其中S是单位球面x2+y2+z2=1的外侧;33
（5）xdydz
S?
ydzds?
2dxdy,其中S为上半球面Z=a2?
x2?
y2的外侧.
8.应用高斯公式计算三重积分
xy?
yz?
zx?
dxdydz
V
其中v是由x?
0,y?
0,0?
z?
1与x2?
y2?
所确定的空间区域.
9.应用斯托克斯公式计算下列曲线积分
（1）?
y?
z?
dx+?
x2?
z2?
dy+?
x2?
y2?
dz,其中L为x+y+z=1与三坐标面的交线,它22
L
的走向使新围平面区域上侧在曲线的左侧;
（2）xydx?
dy?
zdz,其中为y2?
z2=1,x=y所交的椭圆的正向;L22
（3）?
z?
y?
dx+?
x?
z?
dy+?
y?
x?
dz,其中L是以A（a,0,0）,B（0,a,0）,C（0,0,a）为顶点的三角形L
沿ABCA的方向.
10.若L是平面xcos?
+ycos?
+zcosr－p=0上的闭曲线,它所包围区域的面积为S,求
dxdydz
Lcos?
cos?
cosr
xyz
其中L依正向进行.
11.若r=x2?
y2?
z2,计算?
r2,?
1
r,?
f?
r?
?
rn（n=3）
12.求u=x2?
2y2?
3z2+2xy－4y+2y－4z在点0（0,0,0）,A（1,1,1）,B（―1,―1,―1）的梯度,并求梯度为零之点.
13.计算下列向量场A的散度和旋度:
（1）A=?
y?
z,z?
x,x?
y222222?
;
（2）A=?
xyz,xyz,xyz222?
;（3）A=?
x?
yzzx,y,z.xy
22214.流体流速A=?
x,y,z
流量.?
求单位时间内穿过1球面x82+y+z2=1（x>1,y>0,z>0）的2
15.设流速A=y,x,c?
（c为常数）求环流量
（1）沿圆周x?
y=1,z=0;
2
（2）沿圆周?
x?
2y=1,z=0.222
三、考研复习题
?
u
?
x221.证明:
若?
u=+?
u?
y22+?
u?
z22,S为包围区域V的同面的外例,则
（1）udxdydz=VS?
u?
nds;
（2）u
S?
u?
nds=udxdydz+?
uudxdydzVV
2.设S为光滑闭曲面,V为S所围的区域,在V上与S上函数u（x,y,z）二阶偏导连续,函数W（x,y,z）偏导连续,证明:
?
u
?
x?
w?
x
（1）?
WVdxdydz=uwdydz?
S?
Vudxdydz;
（2）?
Wudxdydz=WVS?
u?
nds?
uVWdxdydz.
3.设A=r
r3S为一封闭曲面,r=（x,y,z）.证明当原点在曲面S外,上,内时分别有
Ads
S=0.2π,4π.
4.证明公式:
f?
msin?
cosnsin?
sinPcossin?
d?
d?
D
=2fum?
u?
p?
11?
222?
du
篇三：
《数学分析》（华师大二版）课本上的习题6
P.124习题
1．试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点?
，使f?
（?
）?
0：
1xsin
（1）f（x）x
0
解
（1）因为f在[0,理，?
（0,
0?
x?
x?
0
1
?
，
（2）f（x）?
|x|?
1?
x?
1
1
1
?
]连续，在（[0,
?
1
）可导，且f（0）?
f（），所以由Rolle定
?
1
?
），使得f?
（?
）?
0。
?
1x?
0
，且f?
（0）不存在，故不存在一点?
，使f?
（?
）?
0
?
1x?
0?
3
（2）因为f?
（x）
2．证明：
（1）方程x?
3x?
c?
0（这里c为常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；
32
证明设f（x）?
x?
3x?
c，由于方程f?
（x）?
3x?
3?
0在（0,1）内没有根，所以
（由P.120，例1）方程x?
3x?
c?
0在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根。
（2）方程x?
px?
q?
0（n为正整数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。
证明设f（x）?
x?
px?
q，于是f?
（x）?
nx奇数，故方程f?
（x）?
nx
n
n?
1n
n?
1
n
3
?
p?
0。
当n为偶数时，n-1为
?
p?
0至多有一个实根（因为幂函数nxn?
1?
p严格递增），
从而方程x?
px?
q?
0至多有两个实根；
当n为奇数时，n-1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：
方程
nf?
（x）?
nxn?
1?
p?
0至多有两个实根，从而方程x?
px?
q?
0当n为奇数时至多有三
个实根。
3．证明：
若函数f和g均在区间I上可导，且f?
（x）?
g?
（x），x?
I，则在区间I上
f和g只相差一常数，即f（x）?
g（x）?
c（c为某一常数）
证明令F（x）?
f（x）?
g（x），则F在区间I上可导，且F?
（x）?
f?
（x）?
g?
（x）?
0，由推论1，存在常数c，使得F（x）?
c，即f（x）?
g（x）?
c
4．证明
（1）若函数f在[a,b]上可导，且f?
（x）?
m，则f（b）?
f（a）?
m（b?
a）
（2）若函数f在[a,b]上可导，且|f?
（x）|?
M，则|f（b）?
f（a）|?
M（b?
a）（3）对任意实数x1,x2，都有|sinx1?
sinx2|?
|x2?
x1|
证明因为f在[a,b]上可导，所以f在[a,b]上满足Lagrange中值定理的条件，于是?
（a,b），使得f（b）?
f（a）?
f?
（?
）（b?
a）
（1）因为f?
（x）?
m，所以f（b）?
f（a）?
f?
（?
）（b?
a）?
m（b?
a），从而有
f（b）?
f（a）?
m（b?
a）
（2）因为|f?
（x）|?
M，所以|f（b）?
f（a）|?
|f?
（?
）|?
|b?
a|?
M（b?
a）（3）不妨设x1?
x2，正弦函数f（x）?
sinx在[x1,x2]上连续，在（x1,x2）可导，于是?
（a,b），使得|sinx1?
sinx2|?
|cos?
|?
|x1?
x2|?
|x2?
x1|
5．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
（1）
b?
abb?
a
，其中0?
a?
b?
ln?
baa
证明设f（x）?
lnx，则f在[a,b]上连续且可导，所以f在[a,b]上满足Lagrange中值定理的条件，于是?
（a,b），使得ln
b1
?
lnb?
lna?
f?
（?
）（b?
a）?
（b?
a），a?
因为0?
a?
b，所以
b?
ab?
ab?
ab?
abb?
a，从而?
ln?
b?
abaa
h2
?
arctanh?
h，其中h?
0
（2）2
1?
h
证明设f（x）?
arctanx，则f在[0,h]上满足Lagrange中值定理的条件，于是
?
（0,h），使得arctanh?
arctanh?
arctan0?
f?
（?
）（h?
0）?
h
。
因为2
1
h2hh
h，从而?
arctanh?
h。
0?
h，所以2
1?
h2121?
h
6．确定下列函数的单调区间：
（1）f（x）?
3x?
x
（2）f（x）?
2x?
lnx
2
2
x2?
1
（3）f（x）?
2x?
x（4）f（x）?
x
2
解
（1）f?
（x）?
3?
2x，令f?
（x）?
0，得x?
当x?
32
33
时，f?
（x）?
0，f递增；当x?
时，f?
（x）?
0，f递减。
22
14x2?
11
（2）f的定义域为x?
0。
f?
（x）?
4x，令f?
（x）?
0，得x?
xx2
当0?
x?
11
时，f?
（x）?
0，f递减；当x?
时，f?
（x）?
0，f递增。
22
1?
x2x?
x
2
（3）f的定义域为0?
x?
2。
f?
（x）?
，令f?
（x）?
0，得x?
1
当0?
x?
1时，f?
（x）?
0，f递增；当1?
x?
2时，f?
（x）?
0，f递减。
1x2?
1
?
0，故f在其定义域（4）f的定义域为x?
0。
f?
（x）?
1?
2?
2
xx（,0）?
（0,）递增。
7．应用函数的单调性证明下列不等式：
x3?
（1）tanx?
x?
，x?
（0,）
33
x3
证明设f（x）?
tanx?
x?
，则f在x?
0连续，且f（0）?
0。
因为
3f?
（x）?
sec2x?
1?
x2?
tan2x?
x2?
0，x?
（0,
?
3
），故f在（0,
?
3
）严格单调递
x3?
增，又因f在x?
0连续，于是f（
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