数学分析课本华师大三版习题及答案第四章.docx

1、数学分析课本华师大三版习题及答案第四章篇一：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章第八章 不定积分一. 填空题x1若f?(e)?1?x，则f(x)?_2设f(x)的一个原函数为xe，则?xf?(x)dx?_ 3若e?xx是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?_4若f(x)?1，则f(x)?_ 5?max(x,x)dx?_6若f(x)有原函数xlnx，则?xf(x)dx?_ 7?ln(sinx)sin2?32xdx?_8若?dx(1?2cosx)2?Asinx1?2cosx?B?dx1?2cosx，则A?_，B?_9设?xf(x)dx?arcsinx?C，则?dxx(4?x)lnx?

2、1x2dxf(x)?_10?_11?dx?_12?13?14?a?sin(lnx)?cos(lnx)nx?_?f(x)?xf?(x)?dxdx1?ex?_?_15?16?xex2(1?x)dx?_4sinx?3cosxsinx?2cosxdx?_217已知f?(2?cosx)?sinx?tan2x，则f(x)?_18?f?(x)1f(x)?2dx?_19. 若?f(x)dx?F(x)?C,而u(x),则?f(u)du?_. 20设函数f(x)的二阶导数f(x)连续,那么?xf(x)dx?_. 21设f(x)的原函数是sinxx,则?xf?(x)dx?_.11222已知曲线y?f(x)上任一点的

3、切线斜率为3x2?3x?6,且x1时,y?则f(x)?_;f(x)的极小值是_.1?x2是极大值,23已知一个函数的导数为f(x)?,并且当x?1时,这个函数值等于32?,则这个函数为F(x)?_. 24 设f?(sin2x)?cosx(x?1),则f(x)?_.225 若f(x)为连续函数,且f?(x)?f(x),则?f(x)dx?_. 26 若(?f(x)dx)lnx,则f(x)?_. 27 已知e28?x2是f(x)的一个原函数,则?f(tanx)secxdx?_.22?f()dx?_. 2xx1?x29 设f(x)dxC,则f(x)?_.1?x?1?30 在积分曲线族?二、选择填空题

4、1设I?1xxdx中,过(1,1)点的积分曲线是y?_.?xe?1e?1xx，则I?()A.ln(1?e)?C B.2ln(1?e)?x?C C.x?2ln(1?e)?C D.ln(e?1)?C2设f(x)是连续的偶函数，则期原函数F(x)一定是() A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数xxx3设I1?1?xdx,I2?du，则存在函数u?u(x)，使()x(1?xex)u(1?u)A.I1?I2?x B.I1?I2?x C.I2I1 D.I2?I1 4当n1时，?xnlnxdx?() nn?1A.xn(lnx?1n)?C B.xn?1(lnx?1n?1)?Cn?1C.1?

5、1xn?1xn(lnx?1n?1)?CD.n?1lnx?C7?(cosx2?sinx2)dx?()A.2(sinx?cosx)?C B.2(cosxx222?sin2)?CC.sinx?cosxxx22?C D.cos2?sin2?C8?x?sinx1?cosxdx?()A.xcotxxxx2?CB.xtan2?CC.x2cotx?CD.2tan2?C9若f(x)的导函数是e?x?cosx，则f(x)的一个原函数为()A.e?x?cosxB.?e?x?sinxC.?e?x?cosxD.e?x?sinx10若f(x)是以l为周期的连续函数，则其原函数()。 A.是以l为周期的函数B.是周期函数，

6、但周期不是l C.不是周期函数D.不一定是周期函数12已知函数y?3x2的一条积分曲线过(1,1)点，则其积分曲线的方程为() A.y?x3B.y?x3?1C.y?x3?2 D.y?x3?C 13?xf(x)dx?() A.xf(x)?f(x)dx B.xf(x)?f(x)?CC.xf(x)?f(x)?C D.f(x)?xf(x)?C 14sin2x的原函数是()A.2cos2xB.12cos2xC.?cos2xD.12sin2x15若f(x)为连续函数，则?f(2x)dx?() A.f(2x)?CB.f(x)?CC.12f(2x)?CD.2f(2x)?C16. 一个函数的原函数如果有的话有(

7、 ).(A) 一个 ； (B) 两个 ； (C) 无穷多个 ； (D) 都不对 .17. 若?f(x)dx?F(x)?C,且x?at?b,则?f(t)dt?( ). (A) F(x)?c; (B) F(t)?c ;(C)1aF(at?b)?C; (D) F(at?b)?C.18. 设f(x)为可导函数,则( ). (A)?f(x)dx?f(x);(B)?f?(x)dx?f(x); f(x)?C.(C) (?f(x)dx)f(x) ;(D) (?f(x)dx)19. 若u,v都是x的可微函数,则?udv?( ). (A) uv?(C) uv?vdu ;(B) uvu?vdu; ?v?du; (D

8、) uvuv?du.?x220 已知f(x)的一个原函数是e(A) ?2xe(C) e?x2,求?xf?(x)dx?( ).?2xe2?x2?x2?C; (B)2; f(x)dx.(?2x?1)?C;(D) xf(x)?21. 已知曲线上任意点的二阶导数y?6x,且在曲线上(0,-2)处的切线为2x?3y?6,则这条曲线的方程为( ).(A) y?x?2x?2; (B) 3x?2x?3y?6?0; (C) y?x; (D) 以上都不对.33322. 若f(x)的一个原函数是ln(2x),则f?(x)?( ). (A) ?1x2;(B)1x;(C) ln(2x); (D) x?ln2x.23.

9、若?df(x)dg(x),则下列各式中不成立的是( ).(A) f(x)?g(x); (B) f?(x)?g?(x); (C)df(x)?dg(x); (D) d?f?(x)dx?d?g?(x)dx.24. 若f?(x2)?1x(x?0),则f(x)?( ).1x(A) 2x?C;(B) lnx?C; (C) 2x?C;(D)f?(lnx)x?C25. 若f(x)?e?2x,则?(A)1x2dx?( ).?C; (B) ?1x2?C; (C) ?lnx?C; (D) lnx?C.?x26. 设?f(x)dx?F(x)?C,则?e(A) F(e)?C;(B) F(exf(e?x)dx?( ).?

10、x)?C;(C)F(ex?x)?C;(D) ?F(e?x)?C.27. 设sinx是f(x)的一个原函数,则?xf(x)dx?( ).(A) xsinx?cosx?C; (B) xsinx?cosx?C; (C) xcosx?sinx?C; (D) xcosx?sinx?C.28. 设f(x)?cosx,则f(x)在区间( )是可积的.(A) (,);(B) 0,);(C) ,?;(D) ?1,0.29. 在计算积分?x2?xdx时,为使被积函数有理化,可做变换( ).(A) x?sint; (B) x?tant;(C) x?sect; (D) t?3?x.30.?x2x2?2x?5dx?(x

11、?1)2x?2?22?4dx?( ).x?1x?122?c;(B) lnx?2x?5?arcta?c; (A) lnx?2x?5?2arcta22x?11x?122?c;(D) lnx?2x?5?arcta?c. (C) lnx?2x?5?2arcta424三、计算题1. 求一曲线y=f(x),使它在点(x、f(x)处的切线的斜率为2x,且通过点(2、5). 2. 求下列不定积分:篇二：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十二章第二十二章 曲面积分一、证明题1.证明:由曲面S所包围的立体V的体积等于V=余弦.2.若S为封闭曲面,L为任何固定方向,则cos?n,L?ds=0S1?xcosy

12、coszcosr?ds其中cos?,cos?, cpsr3S为曲面S的外法线方向其中n为曲面S的外法线方向.3. 证明 公式?Vdxdydzr=1cos?r,n?ds 2S其中S是包围V的曲面,n为S的外法线方向. r=x2?y2?z2,r=(x,y,z).4.证明: 场A=?yz?2x?y?z?,zs?x?2y?z?, xy?x?y?2z是有势场并求其势函数.二、计算题1.计算下列第一型曲面积分:(1) ?x?y?z?ds,其中S为上半球面S2222x?y?z=az?0;(2) ?xS2?y2?ds,其中S为主体x?y22?z?1的边界曲面;(3) S1x?y22ds,其中S为柱面x2?y2

13、?R2被平面Z=0,Z=H所截取的P分;(4) xyzdsS,其中S为平面在第一卦限中的部分.2.计算zds,其中S为圆锥表面的一部分.S2?x?rcos?sin0?r?a?S:?y?rsin?sin? D:? 0?2?z?rcos这里为常数(01,y0,z0)的215.设流速A=y,x,c?(c为常数)求环流量(1)沿圆周x?y=1,z=0;2(2)沿圆周?x?2y=1,z=0. 222三、考研复习题?u?x221.证明:若?u=+?u?y22+?u?z22,S为包围区域V的同面的外例,则(1)udxdydz=VS?u?nds; (2)uS?u?nds=udxdydz+?uudxdydz V

14、V2.设S为光滑闭曲面,V为S所围的区域,在V上与S上函数u(x,y,z)二阶偏导连续,函数W(x,y,z)偏导连续,证明: ?u?x?w?x(1)?WVdxdydz=uwdydz?S?Vudxdydz;(2)?Wudxdydz=WVS?u?nds?uVWdxdydz.3.设A=rr3S为一封闭曲面,r=(x,y,z).证明当原点在曲面S外,上,内时分别有AdsS=0.2,4.4.证明公式:f?msin?cosnsin?sinPcossin?d?d?D=2fum?u?p?11?222?du篇三：数学分析(华师大二版)课本上的习题6P.124 习题1试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点?，使f

15、?(?)?0：1xsin（1）f(x)x0解 （1）因为f在0,理，?(0,0?x?x?01?， （2）f(x)?|x|?1?x?111?连续，在(0,?1)可导，且f(0)?f()，所以由Rolle定?1?)，使得f?(?)?0。?1x?0，且f?(0)不存在，故不存在一点?，使f?(?)?0?1x?0?3（2）因为f?(x)2证明：（1）方程x?3x?c?0（这里c为常数）在区间0,1内不可能有两个不同的实根；32证明 设f(x)?x?3x?c，由于方程f?(x)?3x?3?0在(0,1)内没有根，所以（由P.120，例1）方程x?3x?c?0在区间0,1内不可能有两个不同的实根。（2）方

16、程x?px?q?0（n为正整数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。证明 设f(x)?x?px?q，于是f?(x)?nx奇数，故方程f?(x)?nxnn?1nn?1n3?p?0。当n为偶数时，n-1为?p?0至多有一个实根（因为幂函数nxn?1?p严格递增），从而方程x?px?q?0至多有两个实根；当n为奇数时，n-1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程nf?(x)?nxn?1?p?0至多有两个实根，从而方程x?px?q?0当n为奇数时至多有三个实根。3证明：若函数f和g均在区间I上可导，且f?(x)?g?(x)，x?I，则在区间I上f和g只相差一常数，即f(x)?

17、g(x)?c（c为某一常数）证明 令F(x)?f(x)?g(x)，则F在区间I上可导，且F?(x)?f?(x)?g?(x)?0，由推论1，存在常数c，使得F(x)?c，即f(x)?g(x)?c4证明 （1）若函数f在a,b上可导，且f?(x)?m，则f(b)?f(a)?m(b?a) （2）若函数f在a,b上可导，且|f?(x)|?M，则|f(b)?f(a)|?M(b?a) （3）对任意实数x1,x2，都有|sinx1?sinx2|?|x2?x1|证明 因为f在a,b上可导，所以f在a,b上满足Lagrange中值定理的条件，于是?(a,b)，使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)（1）因

18、为f?(x)?m，所以f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)?m(b?a)，从而有f(b)?f(a)?m(b?a)（2）因为|f?(x)|?M，所以|f(b)?f(a)|?|f?(?)|?|b?a|?M(b?a) （3）不妨设x1?x2，正弦函数f(x)?sinx在x1,x2上连续，在(x1,x2)可导，于是?(a,b)，使得|sinx1?sinx2|?|cos?|?|x1?x2|?|x2?x1|5应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1）b?abb?a，其中0?a?b ?ln?baa证明 设f(x)?lnx，则f在a,b上连续且可导，所以f在a,b上满足Lagrange中值定理的条件，于

19、是?(a,b)，使得lnb1?lnb?lna?f?(?)(b?a)?(b?a)，a?因为0?a?b，所以b?ab?ab?ab?abb?a，从而 ?ln?b?abaah2?arctanh?h，其中h?0 （2）21?h证明 设f(x)?arctanx，则f在0,h上满足Lagrange中值定理的条件，于是?(0,h)，使得arctanh?arctanh?arctan0?f?(?)(h?0)?h。因为 21h2hhh，从而?arctanh?h。 0?h，所以21?h2121?h6确定下列函数的单调区间：（1）f(x)?3x?x （2）f(x)?2x?lnx22x2?1（3）f(x)?2x?x （4

20、）f(x)?x2解 （1）f?(x)?3?2x，令f?(x)?0，得x?当x?3 233时，f?(x)?0，f递增；当x?时，f?(x)?0，f递减。 2214x2?11（2）f的定义域为x?0。f?(x)?4x，令f?(x)?0，得x?xx2当0?x?11时，f?(x)?0，f递减；当x?时，f?(x)?0，f递增。221?x2x?x2（3）f的定义域为0?x?2。f?(x)?，令f?(x)?0，得x?1当0?x?1时，f?(x)?0，f递增；当1?x?2时，f?(x)?0，f递减。1x2?1?0，故f在其定义域 （4）f的定义域为x?0。f?(x)?1?2?2xx(,0)?(0,)递增。7应用函数的单调性证明下列不等式：x3?（1）tanx?x?，x?(0,)33x3证明 设f(x)?tanx?x?，则f在x?0连续，且f(0)?0。因为3f?(x)?sec2x?1?x2?tan2x?x2?0，x?(0,?3)，故f在(0,?3)严格单调递x3?增，又因f在x?0连续，于是f(